拓扑结构
拓扑结构是研究几何空间的性质,由连续变形保存(直观地说,拉伸、旋转或弯曲是连续变形;撕裂或粘合则不是)。该理论起源于对形状进行分类和研究的一种方法 但是现在被称为点集拓扑的公理已经被证明足够丰富和广泛,可以将抽象拓扑的思想应用到许多其他数学领域。例如,拓扑思想自然地出现在微积分和分析中,但它们在现代也相当重要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-theory/" class="wiki_link" title="数论"target="_blank">数论.拓扑学的基本结构是一种解释集合中两点何时“接近”的公理方法。在实际的情况下,比如欧几里得空间, 有一个标准的欧氏距离函数,用来测量两点之间的距离。这 成一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间"target="_blank">度量空间,这是拓扑空间最自然的例子。等概念<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="连续性"target="_blank">连续性而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/two-sided-limits/" class="wiki_link" title="限制"target="_blank">限制可以用这个距离函数(或度规).
更一般地说,即使没有度规,拓扑的主要概念也可以通过用的概念替换度规来定义<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开集"target="_blank">开集.在度量空间中,如果集合中的每个点都有一个社区完全包含在集合中。一个点的邻域 在度规空间中是在一定距离内的所有点的集合
当没有定义良好的距离函数时,更抽象的定义则直接指定哪些子集是开放的。在某些必要的假设下,这个开集集合(称为a拓扑结构),就有可能有意义地扩展一些重要概念的定义,如连续性、<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/connected-space/" class="wiki_link" title="连通性"target="_blank">连通性,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="密实度"target="_blank">密实度这些更抽象的拓扑空间。
点集拓扑
正如导言中提到的,集合上拓扑的一般概念是该理论的基础。
让 是一个集。一个拓扑结构在 是一家集 的子集 满足下列性质:
而且 都是在
集合集合的并集 是在
有限多个的交集 是在
的子集 被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开设置"target="_blank">打开设置.
每个集合都有两个基本的(但很重要的)拓扑。的离散拓扑在 的拓扑结构 的每一个子集的 (“每个子集都是开放的”)。的不分开的拓扑在 的拓扑结构 这样只有两个子集 是 而且 (“没有打开的非空固有子集”)。这两者显然都是拓扑(它们满足定义中的条件)。
离散拓扑是唯一的拓扑,其中每一个点的子集 是开放的:如果每个点子集都是开放的,那么每个子集都可以表示为一个点子集的并集,因此根据公理2,它是开放的。
度量空间
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间"target="_blank">度量空间
拓扑空间最自然的例子来自于度规,是一个函数 它赋予任意两点一个非负实数距离 在空间。定义度量的条件是
- (<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/triangle-inequality/" class="wiki_link" title="三角不等式"target="_blank">三角不等式两点之间最短的距离是直线)。
拓扑 由度规诱发 包含<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开设置"target="_blank">打开设置 对于任意一点 有一些 这样所有的点 与 也在 也就是说,在 有一个“半径球? “围绕着它,它完全包含在里面
度量空间引起的拓扑具有许多任意拓扑所不具有的特殊性质。一个有用的例子是豪斯多夫性质:任意两个不同的点 而且 可以用开集分开。也就是说,有开放集 与 为了看到这一点,假设 ;然后让 而且 是半径的球 周围 而且 分别。这一事实 而且 是三角形不等式中不相交的。
如果拓扑的开集与由某个度规诱发的开集相同,则称为拓扑可度量.非hausdorff拓扑(像上的有限拓扑 )是non-metrizable。
基地
让 是一个集。一个基础为 是一家集 的子集 这样
- 对于任意两个集合 和点 还有第三组 这样 而且
让 是度量空间。收集球 在哪里 是一个基础。
底的两个性质给出了以下定理,其证明留作练习:
集合 集合的集合,集合是基元素的并集 为 在上形成拓扑 这句话常被写成" 是一个基础 "
收集球 在度量空间中是来自度量的标准拓扑的基础。
让 是点集的集合 然后 离散拓扑的基是在上面吗
子空间拓扑与乘积拓扑
有几种方法可以从旧的拓扑空间中生成新的拓扑空间。这里有两个常见的。
让 是一个拓扑空间 的一个子集 的子空间拓扑结构在 的拓扑结构 谁的开放式集合是集合 在哪里 有开放式的布景吗
很容易检查这种结构总是给出一个有效的拓扑 注意,这引入了关于开集和闭集的一些歧义。假设有一个子集, Is open在没有上下文的情况下是模糊的:它可能在某些子空间拓扑结构中是开放的,但在内部不是开放的
找到子集 的 这样 是开放的 子空间拓扑,但是 不是开放的
一个简单的例子是 不是开放的 但自 而且 是开放的 是开放的
的时间间隔 也在 因为这是交点
第二个结构涉及到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cartesian-product/" class="wiki_link" title="笛卡儿积"target="_blank">笛卡儿积两个拓扑空间的。回想一下两个集合的乘积 由有序对组成 与
让 拓扑空间。然后积拓扑在 由开放集组成工会集 在哪里 是开放的 而且 是开放的
所以乘积拓扑就是它的基由子集组成的拓扑 与 打开 而且 打开
注意,开放集并不是表单的全部 有必要拿工会,既然工会的 而且 是不是一定的形式
显示产品拓扑为on 和标准欧氏拓扑图是一样的
其思想是,乘积拓扑的开放集的基是开放区间的乘积,它是一个开放矩形。标准欧氏拓扑的开集的基是一个开盘。这两种拓扑给出相同的开放集,因为在任何围绕点的开放磁盘内 有一个开放的矩形,在任何一个开放的矩形周围 有一个打开的磁盘。所以一个在一种拓扑中是开放的集合在另一种拓扑中也是开放的。
无穷笛卡尔积上的乘积拓扑更微妙:乘积上的乘积拓扑 有一个由产品组成的基地吗 在哪里除了有限的许多 等于
其基础由产品组成的拓扑 被称为盒拓扑,但对于许多应用程序来说,这并不是“正确的”拓扑——有太多的开放集。特别是,的乘积<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="紧凑的空间"target="_blank">紧凑的空间在盒子拓扑下可能不是紧凑的,但在产品拓扑下是紧凑的。
连续性
定义了数学对象之后,下一步是指定对象之间的映射是什么样子的。拓扑空间之间需要考虑的合适函数是连续函数,连续函数的定义非常简洁:
一个函数 在哪里 拓扑空间是吗连续对于每个开集合 是开放的
这是对定义的正确概括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性"target="_blank">连续性在微积分中,它来自于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的ε - δ定义"target="_blank">极限的ε - δ定义.
同胚
主页:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="同胚"target="_blank">同胚
根据上面给出的连续性的定义,我们可以定义两个拓扑空间相同的含义。本质上,它意味着它们之间应该有一个双射映射,它也是开集上的双射。这样的地图叫做<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="同胚"target="_blank">同胚,则认为两个同胚拓扑空间是相同的。正式定义如下:
一个函数 拓扑空间之间称为同胚如果 是连续的,a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection/" class="wiki_link" title="双射"target="_blank">双射, 也是连续的。
有关非明显同胚性的一个重要例子,请参见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/homeomorphism/" class="wiki_link" title="极射赤面投影"target="_blank">极射赤面投影:一个(二维)球面减去一个点与该平面同胚。
拓扑空间的性质
有许多重要的性质可以用来表征拓扑空间。其中最重要的两个是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/connected-space/" class="wiki_link" title="连通性"target="_blank">连通性而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-space/" class="wiki_link" title="密实度"target="_blank">密实度.因为它们都是由连续函数保存的。连通空间的连续像是连通的,紧空间的连续像是紧的——这些性质在同胚下保持不变。在同胚下不变的性质称为拓扑性质,它们是拓扑空间分类的有用工具。
拓扑性质的其他例子包括
- 单连通
- 正常的;豪斯多夫;常规的, 等等。(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/separation-axioms/" class="wiki_link" title="分离公理"target="_blank">分离公理)
- 可度量
- 可分的,第一可数的,第二可数的,等等<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/countability-conditions-topology/" class="wiki_link" title="可数性条件"target="_blank">可数性条件).