集
集合的定义
操作与集
可以使用一些有用的操作来组合、比较和分析集合。
联盟:两个集合的并集,记为 它被称为a杯),指两个集合中至少一个集合中的所有元素的集合。例如, 在布尔逻辑,联合表示为逻辑或。
十字路口:两个集合的交集,记作 它被称为a帽),指的是两个集合中元素的集合。例如, 在布尔逻辑中,交集表示为逻辑与。
补充(绝对):表示 ,绝对补指的是不属于一个集合的所有元素的集合。如果我们考虑全集, ,作为所有整数的集合, 将表示除1、2和3之外的所有整数。在布尔逻辑中,补码表示为逻辑上的非。
补充(相对):相对补,表示 ,指在第一个集合中但不在第二个集合中的元素集合。例如, 相对补码也可以用负号表示,因此
对称的区别:对称差分,表示 ,指的是属于这两个集合中的一个但不同时属于这两个集合中的一个的元素集合。例如, 在布尔逻辑中,对称差表示为逻辑异或。
是什么
符号 指两个集合的并集。
因此, 是
给定以下两个集合
如果 是什么
从 我们知道这两个集合 和 必须有 作为一个元素。因此,对于组 我们有
如果 是1,组 是
然后
如果 3,设置 是
然后
因此,价值 满足 是
是什么
符号 表示对称差,表示在两个集合中的一个而不是两个集合中的元素的集合。
因此, 是
制定法律
德·摩根定律在显示等价、转换和简化逻辑表达式时很有用。
- 德摩根第一定律:
它说明了两个集合的并的补是它们的补的交。为两组 和
在布尔逻辑中,德·摩根第一定律表示为 - 德摩根第二定律:
它说明了两个集合的交点的补是两个集合的并。具体地说,
在布尔逻辑中,德摩根第二定律表示为: .
给定以下条件,用德·摩根第二定律来确定
- 在哪里 是这个问题的所有可能值的集合吗
- .
德·摩根第二定律是 因为我们正在寻找 ,我们首先确定方程的左边, .
找到 ,确定 这两个元素的集合 和 所以
找到 ,比较其中的元素 元素在 ,以及里面的元素 里面的元素是什么 但不是在 .所以, .
根据德·摩根第二定律 = .换句话说,就是不同时存在于两者中的元素 和 一定是从哪里不见的 或 (或两者)。
检查 来验证 都缺失了 或 或两者兼而有之。
术语
这里有一些关于集合的重要概念和术语:
通用集:表示 一个全集是一个特定问题的所有可能元素的集合。例如,如果一个问题只处理正的非零整数, .
空/空集:用 或 ,如果一个集合不包含任何元素,则称它为空或空。例如,如果 是不是所有整数的集合 满足 然后一组 没有元素,因此
子集:如果集合中的每个元素 也是集合中的元素吗 然后我们说 是 例如,如果 和 然后 是 或 当两个集合相等时,它们是彼此的子集。
基数:集合的基数 写成 是否有不同元素的数量 例如,如果 是《密西西比》中所有字母的集合吗 因此
容斥原理:包含不相容原则说明任意两个集合 和 满足 换句话说,得到集合并集的大小 和 ,我们首先添加(包括)的所有元素 ,然后我们添加(包括)的所有元素 ,然后删除(排除)它们交集中的元素 ,因为这些元素被计算了两次 即一次 和一次 下面是一个具体的例子 和 ,这使 .然后 , , .根据包容不相容原理, 我们可以直接通过计算元素来验证 注意,交集(4和5)中的元素只计算一次 一旦在 因此有必要将他们排除在外。
对于这个问题,全称集合 是
和它的三个子集 和 如下:
然后是什么
符号 表示所有不在其中的元素的集合 自 一组 是
然后, 是
因此, 是