基数

这基数A.放是一定程度的尺寸，这意味着集合中的元素数。例如，集合 $a = \ {1,2,4 \}$有一个基数 $3.$对于其中的三个元素。套件的基数由垂直条表示，如绝对值标志;例如，对于一组 $一种$它的基数表示 $| A |$。什么时候 $一种$是有限的， $| A |$只是元素的数量 $一种$。什么时候 $一种$是无限的， $| A |$由a表示基数。

二有限如果它们具有相同数量的元素，则将设置为相同的大小。在不参考的情况下制定这种概念而不参考自然数量，人们可能会宣布两个有限的集合 $一种$和 $B.$如果只有存在相同的基数，只有存在bi $一个\到b$。对于有限套，这两个定义是等效的。将存在两伸抑制 $一种$和 $B.$只有当元素 $一种$可以与元素一对一的对应关系配对 $B.$，这必然需要 $一种$和 $B.$具有相同数量的元素。

没有什么可以阻止一个有关无限集的类似定义：

两套 $一种$和 $B.$据说有相同的基数如果存在杀菌 $一个\到b$。

这种看似简单的定义会产生一些最初的违反直觉结果。例如，请注意，该组中存在一个简单的双射击所有整数到了一套甚至整数，通过每种整数加倍。更正式地，这是粉断 $f：\ {\ text {整数} \} \ lightarrow \ {\ text {even整数} \}$在哪里 $f（n）= 2n。$这意味着，在基数方面，所有整数集的大小与偶数整数的组的大小完全相同。

让 $\ mathbb {n} = \ {1,2,3，\ cdots \}$表示一组自然数。

无限套装 $一种$叫做最无限的（或者可数）如果它具有相同的基数 $\ mathbb {n}$。换句话说，有一个粉迹 $a \ to \ mathbb {n}$。

无限套装 $一种$叫做无数无限（或者不可数） 如果是不是可数。换句话说，存在不bi $a \ to \ mathbb {n}$。

这些定义表明，即使在无限集中，也存在不同的“无限大小”。在基数的感觉中，可比无限的套装比无数无限集更为“较小”。当然，有限组比任何无限集是“较小”，但可数和不可数之间的区别也可以比较无限集的尺寸。以下是可数和不可数集合的一些示例。

让 $\ mathbb {z} = \ {\ ldots，-2，-1,0,1,2，\ ldots \}$表示整数集合。是 $\ mathbb {z}$可数或不可数？

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考虑以下地图 $\ mathbb {n} \ to \ mathbb {z}：$

$\ {1,2,3,4,5,6,7,8,9，\ ldots \} \ mapsto \ {0,1，-1,2，-2,3，-3,4，-4，\ ldots \}。$

每个整数都被一些自然数映射到映射到某些自然数，并且没有整数映射到两次。因此，这是一个击倒。我们得出结论 $\ mathbb {z}$是可计算的。 $_\正方形$

让 $\ mathbb {q}$表示一组理性数字。是 $\ mathbb {q}$可数或不可数？

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一张地图 $\ mathbb {n} \ to \ mathbb {q}$只需通过Rational数字列表描述。如果此列表至少包含一次Rational Number，则我们可以删除重复以获取自动影响 $\ mathbb {n} \ to \ mathbb {q}$。

对于合理的数字 $\ frac ab.$（以最低术语），呼叫 $| A |+ | B |$它的高度。每个高度的有限的合理数量有限。因此，如果我们列出了所有理性的高度1，那么高度2的理性，那么高度3等的理性，我们将获得所需的理性列表。

因此，我们得出结论 $\ mathbb {q}$是可计算的。 $_\正方形$

考虑间隔 $[0,1]$。作为一套，是 $[0,1]$可数或不可数？

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经过克兰特著名的对角角论点事实证明，事实证明 $[0,1]$是不可数的。他的论点是矛盾的聪明证明。

认为 $[0,1]$是可计算的，所以我们可以写 $[0,1] = \ {a_1，a_2，a_3，\ ldots \}$，每个人 $a_i \在[0,1]中$。对于每一个人 $A_I.$，写（其中一个）二进制代表性：

$a_i = {0.d_ {i1} d_ {i2} d_ {i3} \ ldots} _ {2}，$每一个地方 $d_i \ in \ {0,1 \}$。

对于每一个人 $一世$， 让 $E_I = 1-D_ {II}$， 以便 $e_i = 0.$如果 $d_ {ii} = 1$和 $e_i = 1$如果 $d_ {ii} = 0$。现在，构建一个数字 $x \在[0,1]$通过写下其二进制表示：

$x = {0。e_1 e_2 e_3 \ ldots} _ {2}。$

自从 $X$不同于 $A_I.$在里面 $我^ \ text {th}$二进制数字，我们知道 $x \ neq a_i$对所有人 $我\ in \ mathbb {n}$。

但这意味着 $X$不在列表中 $\ {a_1，a_2，a_3，\ ldots \}$， 虽然 $x \在[0,1]$。因此，列表不包括集合的每个元素 $[0,1]$，与我们对数量的假设相矛盾！ $_\正方形$

基数的地方A.等价关系在套装上，宣布两套 $一种$和 $B.$是相等的当存在杀菌时 $一个\到b$。由此获得的等效类称为基数。对于一套 $S.$， 让 $| S |$表示它的基数。

关于声明的主要数字有序 $| A |\ Le | B |$什么时候存在注射 $一个\到b$。这实际上是Cantor-Bernstein-Schroeder定理说明如下：

如果 $| A |\ Le | B |$和 $| B |\ Le | A |$， 然后 $| A |= | B |$。

对于有限集，可以用正整数识别基数。最小无限的红衣主教是 $\ Aleph_0.$，代表了等同类 $\ mathbb {n}$。这意味着对于任何无限集 $S.$，一个有 $\ Aleph_0 \ Le | S |$;也就是说，对于任何无限套装，都有注射 $\ mathbb {n} \ to s$。

Cardinal算术定义如下：

两套 $一种$和 $B.$，一个有 $\ begin {对齐} | a | + | b |＆：= | a \ cup b | \\ | A |\ cdot | b |＆= | A \ times b |，\结束{对齐}$在哪里 $\杯子$表示联盟和 $\时代$表示笛卡尔积。

假设这一点首选的公理，无限基本算术的公式甚至更简单，因为选择的公理意味着 $| A \ CUP B |= | A \ Times B |= \ max \ big（| a |，| b | \ big）$。