紧凑的空间

密实度是一个拓扑这是最基本的实分析，代数几何，以及许多其他数学领域。在 ${} \ mathbb R ^ n$(在标准拓扑中)，紧集就是这些集合关闭和有界。紧性可以被认为是这些性质在更抽象的拓扑空间上的推广。

紧集对于连续函数；特别地，紧函数的连续像是紧的，所以从紧集到的连续函数 $R \ mathbb$必须有一个有限的最小值和最大值，并且必须在定义域的某个点上达到它们中的每一个(极值定理)．这在应用程序中是非常有用的优化以及其他相关领域。

紧性的定义，是最一般的，对证明最有效的，在开盖方面是一个相对不直观的定义。

让 $Z$是a的子集拓扑空间 $X。$然后 $Z$是紧凑的如果,只要 $Z$是否包含在一个联盟中 $\ bigcup \ limits_ \αU_{\α}$开放的集 $U_{\α},$有有限多的开集 $U_{al_}， U_{al_}， \ldots, U_{al_ n}$这样 $Z$包含在 $\ bigcup \ limits_ {k = 1} ^ n U_ {\ _k}。$也就是说,

$Z$是紧的，如果每个开盖都有一个有限子盖。

这个定义通常被扩展到整个空间:一个拓扑空间 $X$是紧的当且仅当它作为自身的子集是紧的。这一点不难证明 $Z \ subseteq X$是紧的子集吗 $X$当且仅当它是紧致的拓扑空间时，当给定子空间拓扑结构；所以定义是一致的。

是 $(0,1)$集合的子集 $R \ mathbb吗?$是 $[0, \ infty) ?$是 $[0, 1] ?$

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这些问题的答案分别是否定、否定和肯定。一个“不”的回答更容易证明，简单地通过展示一个没有有限子封面的开放封面。例如 $(0, 1),$考虑开放集 $\ (0 \ frac12 \右),\离开(0 \ frac23 \右),\离开(0 \ frac34 \右),\ ldots$： $U_ \α= \离开(0 \ dfrac{\α}{\α+ 1}\右)$为 ${mathbb N}中的\alpha \。$请注意, $U_ \α$封面 $(0, 1),$因为在这个区间内的每一个元素都是 $U_{\α}。$但是没有有限子覆盖:如果有，那么有限子覆盖的并将是 $U_k$对于一些 $k$(有限索引集中最大的)，以及 $U_k = \离开(0 \压裂{k} {k + 1} \右)$不能等于全部 $(0, 1)。$

$[0, \ infty)$就更简单了:考虑一下开放的间隔时间 $(1,1),(0, 2),(1、3)\ ldots$；这些封面 $[0 \ infty)$但很明显，没有一个有限子集是这样的。

证明 $[0, 1]$而紧凑则要困难得多。它将在后面的小节中跟随结果。 $_ \广场$

的无界子集 ${} \ mathbb R ^ n$不会是紧的(因为有界集的开覆盖不能有有限子覆盖)，而非闭集不会是紧的(通过取“接近”一个极限点的覆盖)。

当 $X$是一个抽象的拓扑空间，有另外一个紧凑的公式偶尔是有用的。

$X$的闭子集的集合是紧的当且仅当 $X$与有限的交点属性非空的十字路口。(“有限交集性质”是指有限多个集合的任何交集都是非空的。)

$X$非紧性当且仅当存在一个没有有限子覆盖的开盖。开集的补集构成的闭子集的集合 $X$具有有限交集属性(因为没有有限子覆盖)，但其交集是空的(因为开集形成一个覆盖)。结果如下。

当 $X$是一个度量空间在美国，有几个更实际的公式通常更容易使用。

下面是等价的 $X$一个度量空间:

1. $X$紧凑。
2. $X$是按顺序紧凑:每一个无穷序列的点 $X$有收敛于极限的子序列吗 $X。$
3. $X$是极限点紧凑:的每个无限子集 $X$有一个极限点在 $X。$

$(1) \ Rightarrow (2):$如果 $X$是紧的，假设有一个无限序列 $x_n$点的 $X$没有收敛子序列。索赔: $x$在 $X,$这是一个开放的集合 $U_x$包含 $x$但数量有限 $x_n。$证明:如果不是，那么对一些人来说 $x,$每个开集包含 $x$包含无穷多 $x_n。$让 $间{n_k}$成为重点 $B \大(x, \ frac1k \大)$这样 $n_k$大于 $n_1、甲烷、\ ldots n_ {k - 1}。$然后 $间{n_k} \ x,$矛盾。

现在的集 $U_x$对 $X,$所以一定有一个有限子覆盖。但是每一个 $U_x$在序列中包含有限多的点，因此这意味着序列是有限的;矛盾。

$(2) \ Rightarrow (3):$这是直接的:给定一个无限子集 $一个,$在这个子集中取一个无穷数列，找到一个收敛子序列，它的极限就是极限点 $一个。$

$(3) \ Rightarrow (1):$省略(但有一个证明在这里)．

下面的定理给出了欧氏空间紧子空间的一个刻画。这对于任意的度量空间并不完全正确，但它表明上面讨论的紧性的定义符合我们的直觉，即在“正常”情况下紧性应该是什么意思。

让 $Z$是…的子集 ${} \ mathbb R ^ n$与标准度规．然后 $Z$是紧的当且仅当它是闭合的且有界的。

首先，我们证明了紧集是闭的且有界的。有界性很明显:任意点 $x \在{\mathbb R}^n$(例如原产地证)，并考虑预约保险 $Z$的球 $B_k (x)$．如果 $Z$是紧致的，它有一个有限的子覆盖，由于球是按包含顺序排列的，最大的球包含所有其他的，所以 $Z$完全包含在某个球里 $B_N (x)$因此它是有界的。

要知道紧化意味着封闭，假设 $Z$紧凑和 $范围内随意抽查,x \ Z。$然后任意点 $y$在 $Z$可以从 $x$由球 $的话$周围 $y$和 $U_y$周围 $x$这样 $的话$和 $U_y$是不相交的。 $\大($如果两者之间的距离 $x$和 $y$是 $d,$然后是有半径的球 $\压裂d2$就足够了。 $\大)$球 $的话$对 $Z,$有一个有限子覆盖 $B_ B_ {y_1}, {y_2}, \ ldots B_求和{k}。$交点 $求和U_ {k}$是脱离联合的吗 $求和B_ {k},$所以它是不相交的 $Z$自 $求和U_ {k}$封面 $Z。$这个论证表明在补码的任何点周围都有一个球 $Z$哪个是完全包含在补语中的 $Z$；也就是。的补充 $Z$是开着的。所以 $Z$是关闭的。

对于相反的情况，使用下面的引理是方便的:

紧集的闭子集是紧集。

引理的证明:让 $K$是紧集的闭子集 $Z$．让 $U_{\α}$是一组开放集覆盖 $K,$,让 $U = Z\set - K。$然后 $U_{\α}$+ $U$给一个公开的封面 $Z,$哪个有一个有限子覆盖 $U_{alpha_1}， \ldots, U_{alpha_k}， U。$ $（$如果 $U$不在有限子覆盖里，把它丢进去也无妨。 $）$很明显 $U_ {\ alpha_1}, \ ldots U_ {\ _k}$封面 $K。$所以 $K$紧凑。

因为任意有界的集合 ${} \ mathbb R ^ n$是 $^ n - k, k$对于一些 $k,$引理暗示证明这一点就足够了 $^ n - k, k$紧凑。通过Tychonoff定理(见下)，就足以证明这一点 $(- k, k)$紧凑。所以我们 $U_{\α}$是这个闭区间的开复，并定义 $t = \sup\big(\{x\in [a,b] \冒号\text{U_{alpha} \text{covers} [a,x]\}\big)的有限子集合。$然后 $A和t和b，$我们的想法就是要证明这一点 $t = b。$的属性，留给读者作为练习上确界． $_ \广场$

Tychonoff定理:一个产品紧空间是紧的。对于有限积，证明是相对基本的，需要一些知识积拓扑．对于任意多个集合的乘积公理的选择也是必要的。

极值定理：紧集的连续象是紧集。从定义中可以清楚地看出:给定图像的一个开盖，将其拉回到原图像的开盖上(原图像中的集合是连续开盖的)，原图像有一个有限子盖;图像的开盖中的相应集必须给出图像的有限子盖。

正如在介绍中提到的，当函数的范围为时，这是特别有用的 $\ mathbb R。$在这种情况下，极值定理意味着紧集的连续像有一个最大值和一个最小值，这两个值都是由函数的值获得的。