ZFC

ZFC或Zermelo-Fraenkel集理论， 是一个公理系统用于正式定义集合论（也就是说数学）。

具体而言，ZFC是大约9个公理（取决于惯例和精确公式）通过使用集合论.更正式，ZFC是一个谓词逻辑配备二元关系 $\在$，这是指的设置成员资格并被解读为“in”。说得清楚一点，据说 $a\在b中$什么时候 $A.$是一个元素 $B$.

Banach-Tarski悖论，其中一个球可以重新排成与原版相同尺寸的两个球，是首选公理的反向后果。

从历史上看，ZFC是作为定义集合论以这样一种方式，悖论如罗素的悖论尽管该理论仍存在一些不令人满意的方面，但仍然避免了这种情况：特别是，可以证明首选的公理是独立的在剩下的公理中，因此省略了选择公理的ZFC仍然是一个问题持续的理论。这表示为ZF.而且，虽然一致，但它已经不再使用，取而代之的是更自然的ZFC。

一般来说，陈述集合论用来表示一阶逻辑，它使用了许多量词（或逻辑符号）：

• $\在$意思是“在”，如引言中所述。
• $\福尔$意思是“全部”;例如 $\forall n\in\mathbb{R}:n^2\geq 0$ $\大的($真的吗 $N$, $n^2\geq 0\big）$是一种表达的方式平凡不等式.
• $\存在$表示“存在”；例如 $\ forall x \ in \ mathbb {r} \（\存在y \ in \ mathbb {r}：y ^ 3 = x）$ $\大的($真的吗 $x$，存在一个真正的 $Y$以致 $y^3=x\big）$是一种指出每个真实数字都有真实的方式立方根.
• $当场$意思是“相当于”。例如， $x^3>0\equiv x>0$是表达以下事实的一种方式： $x^3$当且仅当 $x$这是积极的。
• $\暗示$意思是“意味着”。例如， $x> 0 \暗示x ^ 2> 0$是一种表达阳性数字的正方形是积极的一种方式。注意 $x> 0 \ not \ Equiv x ^ 2> 0$自从 $x^2>0 \表示x>0$这是一个虚假的陈述 $($e、 g.为了 $x=-1）。$
• $\土地$意味着“逻辑和”;例如 $n ^ 2> 0 \土地n ^ 3 <0$是表达以下事实的一种方式： $n^2$是积极的，也是积极的 $n^3$是否定的；即 $N$答案是否定的。
• $\ lor.$表示“逻辑或”；例如 $n>0\lor n^3\leq 0$是一种说明的方式 $N$是阳性还是阴性 $n^3$是非正面的。

这使得ZFC中的公理可以使用符号简洁地表述，如下一节所示。

ZFC的公理可以用几种等效的方式表述，并且根据来源的不同，其名称和逻辑公式略有不同。当然，每个来源都将严格正确地处理公理，其中一个公理如下：

扩展性的公理： $\对于所有u（u\in X\equiv u\in Y）\n意味着X=Y$

换句话说，如果 $u\in X\iff u\in Y$总的来说 $U$那么 $x = Y.$. 在普通语言中，此语句相当于“如果两个集合具有相同的元素，则它们是相同的集合。”

配对公理： $\对于所有a\forall b\exists z\forall x\big（x\in z\equiv（x=a\lor x=b）\big），$哪里 $\ lor.$表示逻辑或量词。

换句话说，对于所有人来说 $A.$和 $B$，存在一个 $Z$这一切 $x$, $x\in Z$相当于“声明” $x = A.$或者 $x = B.$“。在纯语言中，此语句相当于”给定两个元素，存在包含完全这两个元素的集合“。

理解的原理：元素 $A.$满意 $\ phi.$组队 $B$

理解的公理： $\forall X\forall p\存在于Y\forall u\左侧（u\在Y\equiv\big（u\in X\land\phi（u，p）\big）\right），$哪里 $\土地$是个逻辑与量词，和 $\ phi.$是一个任意财产。

用通俗易懂的语言，该语句相当于“给定任何属性” $\ phi.$设定 $X$，存在一个包含的所有元素的集合 $X$满足 $\菲。$“在非正式的条款中，一个子集一套可以由简洁的规则构建;例如规则 ” $x$应用于整数集的“偶数”将产生一个新的整数集。

联合公理： $\对于所有X\exists Y\forall u\big（u\in Y\equiv\exists z（z\in X\land u\in z）\big），$哪里 $\土地$是逻辑和限定符。

换句话说，对于所有人来说 $X$存在一个 $Y$这一切 $U$, $u\in Y$相当于“存在的声明” $Z$以致 $z\in X$和 $u \在z。$“在简单的语言中，存在一套 $Y$包括联盟所有要素 $X$.

电源结构的公理： $\ forall x \存在y \ for u \ big（u \ y y \ Equiv U \ subseteq x \ big）$

换句话说，对于任何一组 $X$，存在一套 $Y$其元素是 $X$. 简单地说，这条公理表明发电机组的 $X$存在。

无限公理： $\存在S\left（\emptyset\in S\land\big（\forall x\in S（x\cup\{x\}\in S）\big）\right）$

以简单的术语，一个无限的设置存在。

替换公理：如果 $F$是任意函数，则为任意集合 $X$存在一套 $y = f（x）= \ {f（x），x \ in x}$. 逻辑量词中的语句更复杂。

函数取任意集合 $A.$一个新的集合 $B=F（A）$

规则公理： $\对于所有S\big（S\neq\emptyset\implies（\exists x\in S:S\cap x=\emptyset）\big）$

换句话说，对于所有非空集 $s$，存在一个元素 $s$就是不相交具有 $s$（没有任何元素 $s$). 这有两个主要后果：

• 没有设置可以是本身的元素。这解决了罗素的悖论.
• 每个集合都有一个最小的元素 $\在$.

这8条公理定义了一个一致的理论，ZF.（当然，很难证明这一体系是一致的）。当首选的公理加上上面的八条公理，这个理论就变成了ZFC（选择“C”），它是这个系统，通常用作数学的基础。

ZFC只是可以用作数学配方的许多公理系统中的一种，因此在其他类似系统上具有某些优点和缺点。

ZFC的主要优点是便于研究集合论本身，虽然来自某些角度来说，这也是一个缺点。特别地，大多数现代数学可以在较弱的公理系统中被证明Peano公理，所有这些都可以在ZC.：Zermelo设定了理论首选的公理（Zermelo理论是从丢弃替换的公理而获得）。因此，在某种意义上，为了使设定理论更容易，ZFC是“太强烈”。

另一方面，另一个常见的批评是，ZFC太虚弱的与其他公理系统相比。例如连续统假说（连同一些其他问题）可以证明是独立于ZFC的，这意味着它既不能用给定的公理来证明，也不能用给定的公理来反驳。因此，有些人选择采用ZFC的各种扩展，或采用与之密切相关的系统，如ZF +广告- 在地方 -首选的公理被替换为决定性公理.

此外，还有一些反对意见集合论一般情况下（有关详细信息，请参见集合论页面）。

• 谓词逻辑
• 首选的公理
• 确定性的公理