良序原则

有序原则说正整数是秩序井然的。一个有序集合据说是秩序井然的如果每个和每个非空子集都有最小或最小的元素。所以有序原则是这样的:

每一个非空的子集 $年代$正整数中最小的元素。

注意，这个属性对于整数的子集(其中有任意小的负数)或正数的子集不成立<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数（其中有任意接近零的元素)。

对有序原则的等价陈述如下:

正整数集不包含任何无限严格递减序列。

证明了该原理与数学归纳法原理的等价性<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/the-well-ordering-principle">下面．

这里有几个可以用良好排序原理证明的整数性质的例子。请注意，它通常用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/proof-by-contradiction/" class="wiki_link" title="反证法" target="_blank">反证法；也就是说，构造一个集合 $年代, 假设 年代 年代 非空，从有序原则中得到矛盾，并得出结论 年代 年代 必须是空的。 在0和1之间没有严格的正整数。 让 年代 年代 是整数的集合 x x 这样 0<米o> < x < 1. 0 < x < 1。 假设 年代 年代 非空的;让 n n 是它最小的元素。两边同时乘以 n < 1 n < 1 通过 n n 给了 n 2 < n ． n ^ 2 < n。 正整数的平方也是正整数，所以 n 2 n ^ 2 整数是这样的吗 0<米o> < n 2 < n < 1. 0 < n ^ 2 < n < 1。 这是一个矛盾的最小值 n ． n。 因此 年代 年代 是空的。 □ _ \广场 没有什么是错的;这个说法是正确的 年代 年代 可能没有最小的元素，所以第二段是错误的 米 − 1 m - 1 不一定是正整数，所以第三段是错的 有一个代数错误，所以第四段是错的 没有矛盾，所以第五段是错误的 下面这个“证明”有什么问题? 对于每个正整数 n ， n, 数量 n 2 + n + 1 n ^ 2 + n + 1 是偶数。 证明: 让 年代 年代 是正整数的子集 n n 的 n 2 + n + 1 n ^ 2 + n + 1 是奇数。假设 年代 年代 非空的。让 米 米 是它最小的元素。然后 米 − 1<米i mathvariant="normal"> ∉ 年代 ， 范围内随意抽查,m - 1 \年代, 所以 （ 米 − 1<米sup> ） 2 + （ 米 − 1<米o stretchy="false"> ） + 1 (m - 1) ^ 2 + (m - 1) + 1 是偶数。但 （ 米 − 1<米sup> ） 2 + （ 米 − 1<米o stretchy="false"> ） + 1<米o> ＝ 米 2 − 米 + 1<米o> ＝ （ 米 2 + 米 + 1<米o stretchy="false"> ） − 2<米i> 米 ， (m-1)^2+(m-1)+1 = m^2-m+1 = m^2+m+1 -2m， 所以 米 2 + 米 + 1 m ^ 2 + m + 1 = （ （ 米 − 1<米sup> ） 2 + （ 米 − 1<米o stretchy="false"> ） + 1<米o fence="false"> ） + 2<米i> 米 ， \大((m - 1) ^ 2 + (m - 1) + 1 \大)+ 2米, 是两个偶数的和，也是偶数。所以 米 ∉ 年代 ； m范围内随意抽查,\ S; 这是一个矛盾。因此, 年代 年代 为空，则结果如下。 每一个正整数 > 1 > 1 有一个质因数。 让 年代 年代 为正整数的集合 > 1 ＞1 没有质因数。假设 年代 年代 非空的。让 n n 是它最小的元素。请注意, n n 是不是不能是素数，因为 n n 分裂自身，如果 n n 如果是质数，它就是它自己的质因数。所以 n n 是合数:它必须有一个除数 d d 与 1<米o> < d < n ． 1 < d < n。 但后来 d d 必须有一个素数除数(由的最小值 n n ）.叫它 p ． p。 然后 p ∣ d ， p d |, 但 d ∣ n ， d | n, 所以 p ∣ n ． p | n。 这是一个矛盾。因此 年代 年代 是空的。 □ _ \广场 每一个正整数 > 1 ＞1 可以写成一个或多个质数的乘积。 让 年代 年代 为正整数的集合 > 1 ＞1 它不能写成质数的乘积。假设 年代 年代 非空的。让 n n 是它最小的元素。请注意, n n 不是质数，从那时起 n ＝ n n = 就是质因数分解。所以 n n 复合材料: n ＝ d e n =德 与 1<米o> < d ， e < n ． 1 < d e < n。 但 d d 和 e e 可以写成质数的乘积，通过极小值 n ． n。 所以 n n 是素数乘积的乘积，因此也是素数乘积本身。这是一个矛盾。因此 年代 年代 是空的。 □ _ \广场 等价与感应 首先，用归纳法证明了良好排序原则:让 年代 年代 是不含最小元素的正整数的子集。很明显, 1<米i mathvariant="normal"> ∉ 年代 ， 1范围内随意抽查,\ S, 因为如果是的话，它将是最小的元素。让 T T 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-complement/" class="wiki_link" title="补充" target="_blank">补充的 年代 ； 年代; 所以 1<米o> ∈ T ． 1 \ T。 现在假设每个正整数 ≤ n \ n 是在 T ． T。 如果 n + 1<米o> ∈ 年代 ， n + 1 \的年代, 这将是最不重要的 年代 ， 年代, 因为每个整数都小于 n + 1 n + 1 是补语吗 年代 ． 年代。 这不可能，所以 n + 1<米o> ∈ T n + 1 \ T 代替。以上段落暗示每一个正整数是 T ， T, 通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/strong-induction/" class="wiki_link" title="强大的感应" target="_blank">强大的感应．所以 年代 年代 为空集。 □ _ \广场 第二，用良好排序原则证明了归纳法原理:假设 P P 整数的性质是这样的吗 P （ 1<米o stretchy="false"> ） (1页) 是真的, P （ n ） P (n) 为真意味着 P （ n + 1<米o stretchy="false"> ） P (n + 1) 是真的。让 年代 年代 是整数的集合 k k 这样 P （ k ） P (k) 是假的。假设 年代 年代 是不是空的让 k k 成为它最小的元素。自 P （ 1<米o stretchy="false"> ） (1页) 是真的, 1<米i mathvariant="normal"> ∉ 年代 ， 1范围内随意抽查,\ S, 所以 k ≠ 1<米o separator="true"> ， k \ ne 1, 所以 k − 1 k - 1 是正整数吗 k − 1<米i mathvariant="normal"> ∉ 年代 ． 范围内随意抽查,k - 1 \ S。 通过定义 P （ k − 1<米o stretchy="false"> ） P (k - 1) 是真的，但又凭什么性质呢 P P 鉴于以上, P （ k − 1<米o stretchy="false"> ） P (k - 1) 为真意味着 P （ k ） P (k) 是真的。所以 k ∉ 年代 ， 范围内随意抽查,k \年代, 矛盾。所以 年代 年代 是空的;所以 P （ k ） P (k) 对所有人都适用 k ． k。 □ _ \广场 公理的选择;消歧 上面的讨论假设了正整数(以及正整数和正实数)的标准顺序。正如引言中指出的，并不是每个有序集都是有序的，但事实上是这样的每一组都有一种秩序，在这种秩序下它是有序的，如果假设<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="公理的选择" target="_blank">公理的选择．事实上，这两种说法是等价的，而第一个说法有时在文献中被称为“有序原则”，这令人困惑。我们习惯称这个集合理论的表述为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="良序定理" target="_blank">良序定理，并为上面讨论的正整数的性质保留“有序原理”的名称。 引用:良序原则。Brilliant.org．检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/the-well-ordering-principle/">//www.parkandroid.com/wiki/the-well-ordering-principle/ 获得更多的辉煌。报名 报名阅读所有关于数学、科学和工程主题的维基和测验。 登陆Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="login-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_google" data-ax-type="button" data-is_modal="true">使用谷歌登录<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="problem-login-link" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/the-well-ordering-principle/">用电子邮件登录 加入使用Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="signup-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_google" data-ax-type="button">加入使用谷歌<一个href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="signup-email" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-next="/wiki/the-well-ordering-principle/">加入使用电子邮件 忘记了密码?新用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="problem-signup-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-next="/wiki/the-well-ordering-principle/">报名 现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/the-well-ordering-principle/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/the-well-ordering-principle/">登录 × 问题加载…注意加载…设置加载…$