线性变换
一个线性变换是一个从一个向量空间到另一个向量空间的函数,它遵循每个向量空间的潜在(线性)结构。线性变换也称为线性算子或映射。的范围这个变换可能与定义域相同,当这种情况发生时,这个变换被称为自同态,或者,如果可逆,称为自同态。这两个向量空间必须有相同的下域。
线性变换的定义特性 对任何向量都适用吗 和 在 和标量 和 下面的磁场,
线性变换是有用的,因为它们保持了向量空间的结构。因此,对于线性变换的定义域向量空间的许多定性评估,在一定条件下,可以自动保持线性变换的图像。例如,结构会立即给出内核和图像都是线性变换范围的子空间(而不仅仅是子集)。
大多数线性函数可以看作是在适当的情况下的线性变换。转换的基底公式是线性的,大多数几何运算,包括旋转、反射和收缩/膨胀,都是线性变换。更强大的是,线性代数技术可以应用于某些非常非线性的函数,通过线性函数逼近或在不寻常的向量空间中重新解释为线性函数。对线性变换的全面、有基础的理解揭示了数学领域和对象之间的许多联系。
欧几里得几何中常见的变换是在平面上绕原点旋转。通过把欧几里得点看做向量空间中的向量 ,旋转可以用线性代数的意义来看待。一个旋转的 逆时针方向的角 是由
的线性变换 从 来 由上面的矩阵给出。因为这个矩阵对任何值都是可逆的 ,可以得出这个线性变换实际上是一个自同构。由于旋转可以通过向相反的方向旋转来“撤消”,这是有意义的。
线性变换的类型
线性变换最常被写成矩阵乘法。一个变换 从 维向量空间 来 维向量空间 是由 矩阵 .然而,请注意,这需要选择一个基础为 也是 ,而线性变换的存在与基无关。(也就是说,它可以表示为任意碱基选择的矩阵。)
线性变换 来 定义为 是由矩阵给出的
所以, 也可以定义为向量 通过矩阵乘积
请注意,维初始向量空间的个数是列在矩阵中,而目标向量空间的维数为行在矩阵。
线性变换也存在于无限维向量空间中,其中一些也可以写成矩阵,只是稍微滥用了符号无限矩阵.然而,线性变换的概念与矩阵无关;矩阵只是为有限计算提供了一个很好的框架。
线性变换是满射如果在它的范围内的每个向量都在它的像中。同样的,至少有一个 小的 矩阵是可逆的。它是内射如果每个像上的向量都是定义域上一个向量的像。同样的,至少有一个 小的 矩阵是可逆的。
是线性变换 ,从 来 ,内射?是满射吗?
为一个向量 ,可以写成
是一个 矩阵,所以它是满射因为小 有行列式 因此它是可逆的(因为行列式是非零的)然而,没有 未成年人,所以它不是单射的.
一个线性变换 在两个等维向量空间(有限或无限)之间可逆的如果存在一个线性变换 这样 和 对于任何一个向量 .对于有限维向量空间,一个线性变换是可逆的当且仅当它的矩阵是可逆的。
注意线性变换必须在等维的向量空间中是可逆的。要知道为什么,考虑线性变换 从 来 .这个线性变换有a正确的反 也就是说, 对所有 .然而,它没有左逆因为没有地图 这样 对所有 .这是根据有关的事实得出的排名的 .
线性变换的例子
线性变换可以有多种形式,这取决于所讨论的向量空间。
考虑向量空间 最多是次多项式 .通过注意到 任何这样的多项式的系数,在某种意义上是相等的 成立。然而,有一个自然的线性变换 在向量空间上 满足
对基础的影响
向量空间的线性变换 向量空间 完全由?的基向量的像决定 .这允许更简洁的线性变换表示,并且它为线性变换和矩阵之间的关系提供了线性代数解释(矩阵的列和行表示基)。
让 和 是同一场上的向量空间,并且 是的基向量的集合 .对于任何函数 ,有一个唯一的线性变换 这样 为每一个 .此外,张成的 等于 .
换句话说,可以在基向量上从任何函数(无论外观如何“非线性”)创建线性变换。基向量的性质完全决定了线性变换的性质。
这个证明是由下列事实得出的: 表示为基元素的线性组合,且这种线性组合只有一种可能。
在这种思路下,基的改变可以用来改写矩阵的线性变换的任何基。这对于自同态(从向量空间到自身的线性变换)特别有用。
然而,线性变换本身保持不变,与基的选择无关。也就是说,无论选择什么样的基,线性变换的所有性质都保持不变:注入性、满射性、可逆性、对角性等。
我们也可以建立上的线性变换之间的双射 维空间 来 维空间 .让 做一个这样的转变,并固定基础 为 , 为 .然后我们可以描述 在每个基向量上 如下: .定义矩阵 是变换的矩阵 在基地 .的 th列 描述了 在 基向量的 ,根据前面的观点,我们现在可以用坐标来描述 在任意向量上 通过矩阵乘法。相反,选择一个 矩阵右边乘以向量的线性组合 还定义了an的线性变换 -维空间 -维空间通过矩阵乘法的定义。因为线性变换 来 ,所表示的集合 ,本身是一个向量空间,当这种变换的基是固定的,一个双射由此建立到所有的集合 矩阵。