是 $\字母l ^ {\ infty} (\ mathbb {R})$巴拿赫空间吗?

让 $V$是向量空间 $R \ mathbb {}$．一个规范在 $V$是一个函数 $\|\cdot \|: V \to \mathbb{R}$满足下列性质:

• 规范是非否定的: $通用电气\ \ | | v \ 0$对所有 $在v v \$，当且仅当 $v = 0$．
• 范数与向量成比例: $\|cv\| = |c| \cdot \|v\|$对所有 $在v v \$和 $R c \ \ mathbb {}$．
• 范数满足三角形不等式: $v\| v+w\| \le \|v\| + |w\|$对所有 $在v v, w \$．

带有范数的向量空间被称为A，这并不奇怪赋范矢量空间．

假设 $V$是一个赋范向量空间。为 $在v v, w \$，定义函数 $d: V\乘以V\ to \mathbb{R}$通过 $d (v, w) = \ | v-w \ |。$可以验证这个函数 $d$是一个度规在 $V$,给 $V$a的结构度量空间．

如果度量空间结构上 $V$由规范引起的是完整的(例如,柯西序列收敛),然后 $V$被称为巴拿赫空间．

考虑到空间 $\字母l ^ {\ infty} (\ mathbb {R})$，由实数的有界序列组成。这是一个向量空间 $R \ mathbb {}$，使用坐标加法和标量乘法。一个人可以定义一个规范 $\字母l ^ {\ infty} (\ mathbb {R})$通过设置 $\ | (a_1, a_3, \ cdots) \ | = \ sup_{\通用电气1}| ai |。$在这个标准下，是 $\字母l ^ {\ infty} (\ mathbb {R})$巴拿赫空间吗?