齐次线性微分方程

A.齐次线性微分方程是一个微分方程其中每个术语的形式都是 $y^{（n）}p（x）$i、 e.一种 $Y$乘以的函数 $x$. 一般来说，这些都很难处理，但在所有常数都是系数的情况下，它们可以精确求解。在这种情况下，微分方程如下 $a{n}\dfrac{d^ny}{dx^n}+a{n-1}\dfrac{d{n-1}y}{dx{n-1}+\cdots+a{1}\dfrac{dy}{dx}+a{0}y=0，$具有 $a{0}，a{1}，a{n-1}，\ldots，a{n}$是实常数，几乎类似于多项式。事实上，看这个相关多项式的根就能得到微分方程的解。

对问题解决方案的合理猜测 $a_ny^{（n）}+\cdots+a_0y$是 $y=e^{rx}$-这被称为安萨茨．请注意, $\dfrac{d^ky}{dx^k}e^{rx}=r^k e^{rx}，$所以 $e^{rx}$要成为一个解决方案，它必须满足 $a{n}r^n e^{rx}+a{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots+a{1}r e^{rx}+a{0}e^{rx}=0。$自从 $e^{rx}\neq 0$，一定是这样的 $a{n}r^n+a{n-1}r^{n-1}+\cdots+a{1}r+a{0}=0。\qquad（3）。$因此 $e^{rx}$求解微分方程时 $R$是这个多项式的根。

关于微分方程 $a{n}\dfrac{d^ny}{dx^n}+a{n-1}\dfrac{d{n-1}y}{dx{n-1}+\cdots+a{1}\dfrac{dy}{dx}+a{0}y=0，$关联特征方程是 $a\u nr^n+\cdots+a\u 1r+a\u 0=0$．

根据特征多项式根的性质，微分方程的解略有不同。

当根是实的且不同时，解就是 $e^{rx}$为了不同的根 $R$．

如果 $N$根 $r_1，r_2，\ldots，r_{n}$特征方程的特征值是实的和不同的，那么 $y（x）=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+\cdots+c_ne^{r_nx}$是方程的通解 $(1)，$具有 $c_1，c_2，c_n$常数。

解决 $$

$\开始{array}{c}&y'+2y'-8y=0，&y（0）=5，&y'（0）=-2。\end{array}$

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我们需要解特征方程 $r^2+2r-8=0。$

注意 $r=2，-4$是这个方程的根。那么从 $y（x）=c_1e^{2x}+c_2e^{-4x}$是总的解决办法,， $y'（x）=2c_1e^{2x}-4c_2e^{-4x}$. 现在，使用初始条件，我们得到 $y（0）=c_1+c_2=5，y’（0）=2c_1-4c_2=-2\右箭头c_1=3，c_2=2。$

因此，理想的特定解决方案是 $y（x）=3e^{2x}+2e^{-4x}_\广场$

当特征多项式具有重复根时，前面的定理不再适用。

如果特征方程有一个重复的实根 $R$多重性 $K$然后部分微分方程的通解对应于 $R$在方程中，其形式为 $（c_1+c_{2}x+c_{3}x^2+\cdots+c_{k}x^{k-1}）\cdote^{rx}。$

找到问题的通解 $$ $y^{（4）}+3\cdot y^{（3）}+3\cdot y'+y'=0。$

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微分方程的特征方程为 $r^4+3\cdot r^3+3\cdot r^2+r=r\cdot（r+1）^3=0$．

它只有一个根 $r_1=0，$这就给出了解决方案 $y_1=c_1$到一般解，和三重根 $（k=3）$ $r_2=-1，$这给了 $y_2=（c_2+c_{3}x+c_{4}x^2）\cdot e^{-x}。$因此，微分方程的通解为 $y（x）=c_1+（c_2+c_{3}x+c_{4}x^2）\cdot e^{-x}_\广场$

由于微分方程及其特征方程的系数都是实数，因此任意根复出现在复共轭对中 $a\pm bi，$哪里 $A.$和 $B$我和你都是真实的= $\sqrt{-1}。$

如果特征方程有一对复数根，则不重复 $a\pm bi$，则方程通解的相关部分具有形式 $E ^{ax} \cdot (c_1 \cos bx + c_2 \sin bx)$．

解决 $y'-4y'+5y=0。$

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特征方程为 $r^2-4r+5=0，$是谁的根 $下午2点。$因此，一般的解决方案是 $y（x）=e^{2x}\cdot（c_1\cos x+c_2\sinx）。$

当存在重复的复根时，可以用与重复的实根相同的方法来解释它们。

找到问题的通解 $y^{（4）}+4\cdot y^{（3）}+12\cdot y'+16y'+16y=0。$

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特征方程为 $（r^2+2r+4）^2=0，$是谁的根 $-1\pm i\cdot\sqrt{3}$多重性 $2.$因此，一般的解决方案是 $y（x）=e^{-x}\cdot\left（c_1\cos x\sqrt{3}+d_1\sin x\sqrt{3}\right）+xe^{-x}\cdot\left（c_2\cos x\sqrt{3}+d_2\sin x\sqrt{3}\right）。$