线性方程组(联立方程组)

一个线性方程组是一组线性方程包含相同的变量集。作为一个例子,

$\begin{align} x+2y & =2 \\ -x+y & =1 \end{align}$

是有两个变量的方程组吗 $x$和 $y。$线性系统的解是对满足系统中每个方程的变量赋值。对于一个给定的系统，我们可以有一个解，没有解或者无穷多个解。

线性方程组如下图所示: $$

• 不一致:如果一个线性方程组没有解，则称为不相容。
• 一致:如果一个线性方程组至少有一个解，那么它叫做相容的。
• 齐次方程组:如果线性方程组的常数项为零，即“=”号后的值为零，则称为齐次方程组。
• 平凡解和非平凡解:每个齐次方程组都有一个公共解它是0因为所有变量都有一个公共解，也就是0。这个解叫做平凡解。如果存在其他解，则称其为非平凡解。

我们将探讨如何用代换和消元法求解线性方程组。

用这种方法，我们

1. 找出一个关系，隔离其中一个变量改变话题；
2. 将该关系代入另一个(s)方程，使变量数减少1;
3. 重复，直到只剩下一个变量，然后解出它;
4. 将解出的值代回关系式中;
5. 陈述完整的解决方案。

让我们按照上面的步骤来解以下方程组:

$\\ x+y &= 5 \\ x-y &= 3 \\结束\{对齐}$

• 步骤1:分离变量 $x$用第二个等式: $X = 3 + y$．

• 步骤2。将关系式代入另一个方程: $(3 + y) + y = 5 \右转3 + 2y = 5$．

• 步骤3。重复，然后解。因为我们现在只有一个变量，解它: $3 + 2y = 5 \ right tarrow y = 0 \frac{5-3}{2} = 1$．

• 步骤4。代入关系: $X = 3 + y = 3 + 1 = 4$．

• 第5步。陈述完整的解决方案: $(x, y) = (4,1)$．

解方程组

$\\ 2y &= 10\\ 2y &= 8。结束\{对齐}$

---

在这个例子中，因为我们已经知道了 $2 y = 8$在第二个方程中，我们知道 $y = 4$．代入第一个方程，得到 $2x + 4 = 10$,因此 $x = 3$． $_ \广场$

注意:这与我们使用哪个方程和分离出哪个变量有关。在这个例子中，即使我们得到 $X = {10 - y} {2}$从第一个方程，我们发现我们不能把它代入第二个方程，因为没有 $x$术语。

解方程组

$\begin{align} 2x + y &= 4\\ 3x + 2y &= 7。结束\{对齐}$

---

解第一个方程 $y$给了 $y = 4-2x$．代入第二个方程得到 $\开始{对齐}3 x + 2 (2 x + 4) & = 7 \ \ 3 x 4 x + 8 & = 7 \ \ - x & = 1 \ \ x & = 1。结束\{对齐}$然后把这个值代入第一个方程 $Y =-2x + 4= -2(1) + 4= -2 + 4= 2。$因此，方程组的解为 $x = 1, y = 2$． $_ \广场$

对于给定的线性方程组，使用代换过程可能不是最快也不是最简单的方法。然而，如果我们完成整个过程，我们总是能找到解决方案。“系统”一词表示应综合考虑这些方程，而不是单独考虑。因此，解对任何方程都不能失去有效性。选择您的选项，使您的计算简单，并使用任何适合您的方法。

消元法乘以给定值 $n$带有适当常数的方程，这样当添加修正方程时，就可以消去其中一个变量。一旦这样做了，系统将被有效地简化为一个变量和一个方程。这个过程一直重复，直到只剩下一个变量和一个方程(即变量的值)。然后，将得到的值代入有两个变量的方程中，从而可以找到第二个变量的解。这个过程重复进行，直到所有的值 $n$变量被发现。

方法

1. 找出两个有相同变量的方程。每个方程乘以一个数字，使它们的系数相等。
2. 把这两个方程相减。
3. 重复，直到只剩下一个变量，然后解出它。
4. 将解出的值代回原方程，求解剩下的变量。

让我们按照上面的步骤来解以下方程组:

$\\ 9x - 8y &= 0 \\ 9x - 8y &= 0结束\{对齐}$

• 第一步:每个方程乘以一个数字，使变量的系数相同。
  假设我们想消去这个变量 $x$．
  第一个方程乘以3，第二个方程乘以1，得到
  $9 x - 12 y = 0,9 x - 8 y = 1。$

• 第二步:将两个方程相减:
  $\begin{align} 9x - 12y &= 0 \\ - (9x - 8y &= 12) \\ \ line -4 y &= - 12。结束\{对齐}$

• 第三步:重复并解决。
  我们已经只剩下一个变量了。解出来的结果是 $Y = {-12}{-4} = 3$．

• 步骤4:将解出的值代回关系中。
  代入第一个方程，得到 $(1) = 0 (2) = 0 (2) = 0 (3) = 0 (3) = 0 (4$．

当我们有更多的变量时，我们只需要记住坚持一个特定的方法，并不断减少方程或变量的数量。

我们将用这两种方法求解下列方程组:

$\begin{align} x + 3y - z &= 6\\ 2x - y + 2z &= 1\\ 3x + 2y - z &= 2 \\结束\{对齐}$

代入法

我们从上述三个方程中的第一个开始:

• 第一步:第一个方程给出 $x + 3 - z = 6 \ Rightarrow x = 6-3y + z$．
• 第二步:替换 $x$在第二个方程中，我们得到 $开始\{对齐}2 (6-3y + z) - y + 2 z & = 1 \ \ 12 - 6 y + 2 z - y + 2 z & = 1 \ \ 7 y + 4 z & = -11。结束\ qquad(1) \{对齐}$代替 $x$在第三个方程中，我们得到 $2 (6-3y+z) + 2y - z &= 2\\ 18 - 9y + 3z + 2y - z &= 2\\ 2z - 7y &= -16。结束\ qquad(2) \{对齐}$
• 步骤3。我们需要重复，直到我们只有一个方程。

现在，我们开始 $（1）$两个方程中的一个 $（1）$和 $（2）$上图:

• 第一步:方程式 $（1）$给了我们 $Y = {4z+11}{7}$．
• 第二步:替换 $y$在 $（2）$给了 ${对齐}2 z - 7 \ \开始压裂{4 z + 11} {7} & = -16 \ \ 2 z - (4 z + 11) & = - 16 \ \ 2 z & = 5。结束\{对齐}$
• 第三步:我们现在只剩下一个等式了。解出来的结果是 $Z = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$．
• 步骤4:替代 $z = \压裂{5}{2}$成 $Y = {4z + 11} {7}$获得 $y = \压裂{4 z + 11}{7} = \压裂{4 \ \压裂{5}{2}+ 11}{7}= \压裂{21}{7}= 3。$现在,替代 $z = \压裂{5}{2}$和 $y = 3$成 $X = 6 - 3y + z$获得 $X = 6 - 3 * 3 + frac{5}{2} = - frac{1}{2}。$
• 第五步:因此，解决方案是 $(x, y, z) = \离开(\压裂{1},{2},3 \压裂{5}{2}\右)。\ _ \广场$

消元法

我们给出了相同的线性方程组如上所示: $\begin{align} x + 3y - z &= 6\\ 2x - y + 2z &= 1\\ 3x + 2y - z &= 2 \\结束\{对齐}$

• 第一步:排除 $x$从方程。

• 步骤2。第一个方程的两倍减去第二个方程 $\开始{对齐}2 (x + 3 y - z & = 6) \ \ - (2 x - y + 2 z & = 1) \ \ \线7 y - 4 z & = 11。结束\ qquad(4) \ \ \{对齐}$第一个方程的三倍减去第三个方程是 $开始\{对齐}3 (x + 3 y - z & = 6) \ \ - (3 x + 2 y - z & = 2) \ \ \线7 y - 2 z & = 16。\qquad (5) \\ \end{aligned}$

我们需要重复，直到只有一个变量。

• 步骤1。让我们消除 $y$从方程。

• 步骤2。第四个方程减去第五个方程是 $\begin{align} 7y - 4z & = 11 \\ - (7y -2z & = 16) \\ \hline -2z & = - 5。\qquad (6) \\ \end{aligned}$

• 步骤3。现在只剩下一个变量了。解出来的结果是 $Z = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$．

• 步骤4。替代 $z = \压裂{5}{2}$代入第四个方程 $7y - 4z = 11$获得 $y = \压裂{4 z + 11}{7} = \压裂{4 \ \压裂{5}{2}+ 11}{7}= \压裂{21}{7}= 3。$现在,替代 $Z = 0, y = 0$代入第一个方程 $X = 6 - 3y + z$获得 $X = 6 - 3 * 3 + frac{5}{2} = - frac{1}{2}。$

• 第5步。因此，解决方案是 $(x, y, z) = \离开(\压裂{1},{2},3 \压裂{5}{2}\右)。\ _ \广场$

解以下方程组: $$

$\begin{align} x + 2y - 3z &= -3\\ 2x - 5y + 4z &= 13\\ 5x + 4y - z&= 5。\ \ \{对齐}结束$

---

让我们从最后一个方程开始。解 $z$,我们获得

$Z = 5x + 4y - 5。$

代入第二个方程得到

$\开始{对齐}2 x - 5 y + 4 (5 x + 4 y - 5) & = 13 \ \ 22 x + y 11 - 33 & = 0 \ \ 2 x + y - 3 & = 0。结束\{对齐}$

代入第一个方程

$\begin{align} x + 2y -3 (5x + 4y - 5) &= -3 \\ x + 2y - 15x -12y + 15 + 3 &= 0\\ -14x - 10y + 18 &= 0\\ -7x - 5y + 9 &= 0结束\{对齐}$

因此，我们现在将我们的系统简化为一对带有两个变量的方程:

$\\ -7x - 5y + 9 &= 0。结束\{对齐}$

解 $y$在第一个方程中，我们得到

$Y = 3 - 2x。$

代入第二个方程得到

$开始\{对齐}7 x - 5 (3-2x) + 9 & = 0 \ \ 7 x - 15 + 10 x + 9 & = 0 \ \ 3 x - 6 & x = 0 \ \ & = 2。结束\{对齐}$

因此,

$Y = 3 - 2\cdot2 = -1, z = 5\cdot2 + 4\cdot(-1) -5 = 1。$

因此，值 $x, y,$和 $z$满足给定方程组的是什么 $(2, 1, 1)。\ _ \广场$

主要文章:用矩阵求解线性方程组

初等行运算或高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。通过这种方法，每个人都可以通过已知的矩阵行运算来解线性方程组。下面解释了本节中我们需要知道的术语。

增广矩阵:
一个方程组的增广矩阵是一个数字矩阵，其中每一行代表一个方程的常数，每一列代表一个变量的所有系数。

设线性方程组为 $\{对齐}开始间的{1}+ 2间的{2}+ 5间{3}& = 2 \ \ 3间的{1}+间的{2}+ 4间{3}& = 1 \ \ 2间的{1}- 7间的{2}+间{3}& = 5。结束\{对齐}$

则该线性方程组的增广矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 &2 & 5 &2 \\ 3 & 1 & 4 & 1\\ 2 & -7 & 1 & 5 \end{pmatrix}。$

什么是行阶梯形，行简化阶梯形，前导1?

这个矩阵是行简化阶梯形 $\开始{pmatrix} 1 & 0 & 0 &1 \\ 0 &1 & 0 & 2\\ 0 & 0 &1 & 2\ end{pmatrix}。$

要达到这种形式，矩阵必须具有以下性质:

• 如果一行不完全由零组成，那么该行中的第一个非零数就是1。我们称它为前导1。
• 如果有完全由零组成的行，那么它们将在矩阵的底部组合在一起。
• 在任何不完全由零组成的连续两行中，下行的前导1出现在比上行的前导1更靠右的位置。
• 每个包含前导1的列在该列的其他地方都是零。

具有前三个性质的矩阵称为行阶梯形。如果这个矩阵有 $4 ^ \文本{th}$性质，那么它叫做行简化阶梯形。

通过初等行运算将一个矩阵变成行阶梯形:

通过初等行变换，可以将一个矩阵化为其行简化阶梯形，或者将行简化为其行简化阶梯形，具体如下:

• 交换矩阵的一行和矩阵的另一行。
• 将矩阵的一行乘以一个非零标量常数。
• 把这一行换成这一行加上一个常数乘以矩阵的另一行。

假设一个线性方程组是 $\{对齐}开始间的{1}+ 2间的{2}+ 2间{3}& = 4 \ \间的{1}+ 3间的{2}+ 3间{3}& = 5 \ \ 2间的{1}+ 6间的{2}+ 5间{3}& = 6 \{对齐}结束$

它的增广矩阵是 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &4 \\ 1 & 3 & 3 & 5\\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{pmatrix}。$

现在，我们将对这个矩阵进行初等行变换并将其转换为行简化阶梯形:

${对齐}& \ Rightarrow \ \开始开始{pmatrix} 1 & 2 & 2和4 \ \ 0 & 1 & 1 & 1 \ \ 2 & 6 & 5 & 6 \ {pmatrix}结束1 R_ {1} + R_ {2} \ \ \ \ & \ Rightarrow \开始{pmatrix} 1 & 2 & 2和4 \ \ 0 & 1 & 1 & 1 \ \ 0 & 2 & 1 & 2 \ {pmatrix}结束2 R_ {1} + R_ {3} \ \ \ \ & \ Rightarrow \开始{pmatrix} 1 & 2 & 2和4 \ \ 0 & 1 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 4 \ {pmatrix}结束2 R_ {2} + R_ {3} \ \ \ \{pmatrix} 1 & 2 & 2 &4 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 &4 \end{pmatrix}-1R_{3}。结束\{对齐}$

最后矩阵为行阶梯形: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &4 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 &4 \end{pmatrix}。$

最后我们得到了线性方程组的简化形式，即 $\{对齐}开始间的{1}+ 2间的{2}+ 2间{3}& = 4 \ \间的{2}+间{3}& = 1 \ \间{3}& = 4。结束\{对齐}$通过解这个，我们得到 $\{对齐}开始间的{1}& = 2 \ \间的{2}& = 3 \ \间{3}& = 4。结束\{对齐}$

方程组的解

$3 x - y = a \ qquad x + y = 5$和方程组的一样吗 $2 x + y = 24日\ qquad x-3y = b。$

价值是什么 $a + b$？

---

由于两个方程组有相同的解，我们首先用代换法求联立方程组的解

$x + y = 5, \ qquad 2 x + y = 24。$

解第一个方程 $y$给了 $y = x$代入第二个方程 $2x + (5-x) = 24$,或 $x = 19$．代入第一个方程 $19 + y = 5$,或 $y = -14$．因此, $x = 19$和 $y = -14。$把这些值代入 $3 x - y =一个$给了

$= 3 x - y = 3×19 -(-14)= 71。$

同样,替换成 $x-3y = b$给了

$b = x-3y = 19-3×(-14)= 61。$

因此, $a + b = 71 + 61 = 132。\ _ \广场$