三角函数

三角函数涉及角及其相关边的描述，特别是在三角形中。虽然在欧几里得和解析几何中都很有用，三角函数的域也可以扩展到所有的实数和复数，在那里它们变得很有用微分方程和复杂分析．

考虑一个熟悉的例子45-45-90右三角形，其角度为 $45 ^ \保监会,$ $45 ^ \保监会,$和 $90 ^ \ circ。$由勾股定理，这样的三角形必须具有长度为的斜边 $\ sqrt {2}$每条腿的时间：

在这种情况下，相对于三角形的一个锐角，我们可以把两边的比例写成

$\ frac {\ text {fired side}} {\ text {hypoteNuse}} = \ sqrt {1}} \ \ sqrt {2}}，\ quad \ frac {\ text {相邻侧}} {\ text {hevotenuse}}= \ frac {1} {\ sqrt {2}}，\ quad \ frac {\ text {fired side}} {\ text {相邻侧}} = 1。$

在一个30-60-90右三角形，其角度为 $30 ^ \ circ，$ $60 ^ \ circ，$和 $90 ^ \ circ，$腿越长越有长度 $\ sqrt {3}$乘以短腿的长度，而斜边的长度是短腿的两倍:

在这种情况下，相对于 $30 ^ \ circ$角，我们可以把两边的比例写成

$frac {\ text {fired side}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {1} {2}，\ quad \ frac {\ text {相邻侧}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {\ sqrt {3}} {2}，\ quad \ frac {\ text {fide}} {\ text {相邻侧}} = \ frac {1} {\ sqrt {3}}。$

在这两种情况下，指定直角三角形的锐角决定了每条边之间的相对比率。当一个角变小，另一个角变大时，大角对应的边变大，小角对应的边变小。

没有理由不能指定比例任何任意右三角形。原则上，给定右三角形的急性角度之一，每对侧面之间的比率是固定的。换句话说，可以考虑侧面之间的比率功能急性角度的测量。在三角学中，三个比率形成了三个定义的基础基本三角函数， 叫做s那余辉,切．

给定一个锐角 $\θ.$，构造一个右三角形的一个（或两者）的急性角度 $\θ.$：

• 这s的 $\θ.$被编写为 $\ sin {\ theta}$并定义为比例 $\ sin {\ theta} = \ frac {\ text {fired side}} {\ text {hypotenuse}}。$

• 这余辉的 $\θ.$被编写为 $\ cos {\ theta}$并定义为比例 $\ cos {\ theta} = \ frac {\ text {相邻侧}} {\ text {hypotenuse}}。$

• 这切的 $\θ.$被编写为 $\ tan {\ theta}$并定义为比例 $\ tan {\ theta} = \ frac {\ text {fired side}} {\ text {相邻侧}} = \ frac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta}}。$

值得注意的是 $\θ.$去了 $0 ^ \ circ$到 $90 ^ \保监会$， sin从 $0.$到 $1$而cos从 $1$到 $0.$．同时，切线脱离了 $0.$到 $\ infty$．

另外，由于它们经常使用，正弦，余弦和切线的互逆也有名称：它们是cos那sec,余切．

• 这cos的 $\θ.$被编写为 $\ csc {\ theta}$并定义为 $\ csc {\ theta} = \ frac {1} {\ sin {\ theta}}。$

• 这sec的 $\θ.$被编写为 $\ sec {\ theta}$并定义为 $\ sec {\ theta} = \ frac {1} {\ cos {\ theta}}。$

• 这余切的 $\θ.$被编写为 $\ cot {\ theta}$并定义为 $\ cot {\ theta} = \ frac {1} {\ tan {\ theta}}。$

虽然某些角度的三角函数的值可以计算为一个代数号码(即，仅用分数和根表示)，一般情况下，任意角的正弦或余弦可以是超明．这是由贝克的定理．

计算六个三角函数的值 $\θ= 30 ^ \保监会$．

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从我们了解的是30-60-90右三角形，我们有

$\ sin {30 ^ \ circ} = \ frac {\ text {fired side}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {1} {2}，\ quad \ cos {30 ^ \ cir} = \ frac {\ text {相邻侧}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {\ sqrt {3}}} {2}，\ quad \ tan {30 ^ \ cir} = \ frac {\ text {fired side}} {\文本{相邻侧}} = \ frac {1} {\ sqrt {3}}。$

因此

$30 ^ \ \ csc{保监会}= \压裂{1}{罪\{30 ^ \保监会}}= 2,\四\交会{30 ^ \保监会}= \压裂{1}{\因为{30 ^ \保监会}}= \压裂{2}{\ sqrt{3}} \四\床{30 ^ \保监会}= \压裂{1}{\ tan{30 ^ \保监会}}= \ sqrt{3}。\ _ \广场$

回想一下,两个角度和它们之间的一侧或两侧和它们之间的角度指定一个唯一的三角形。最终，三角函数允许一个用于指定唯一确定的三角形的所有未知边和角度。

直角三角形有一条斜边的长度 $L.$．如果三角形中的两个角度中较小 $\θ.$，直角三角形的两条边的长度是多少?

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较短边的长度(相对的边) $\θ.$必须等于 $l \ sin {\ theta}$根据sin的定义。因此，长边的长度，也就是相邻边的长度 $\θ.$,必须 $l \ cos {\ theta}$． $_\正方形$

为了将三角函数的范围扩展到所有的角，而不仅仅是直角三角形的锐角，我们可以考虑位于a上的点的坐标单位圈．将圆的半径绘制到圆上的点，给出一个右三角形，其斜边是单位长度，其腿完全放在坐标轴上。以这种方式，可以在术语方面定义三角函数 $X$- - - $y$- 在单位圈上的一个点。角度由从正面测量的半径绘制的角度指定 $X$-轴。这允许为任何角度定义三角函数，即使是大于的角度 $360 ^ \保监会$（代表围绕多次的旋转）或小于 $0 ^ \ circ$(表示顺时针旋转)。

给定一个角 $\θ.$,让 $X$和 $y$是单位圈上的点的坐标，使得半径和正面之间形成的角度 $X$设在是 $\θ.$．然后

$罪\{\θ}= y \四\ cosθ}{\ = x,谭\四\{\θ}= \压裂{y} {x}。$

使用扩展定义，三角函数可以采用负值：

• 在第一个象限（ $+ x$轴和 $+ y$轴），正弦和余弦都是积极的。
• 在第二象限( $- X$轴和 $+ y$轴），正弦呈正阳性，而余弦是负的。
• 在第三象限（ $- x$轴和 $- y$轴)，正弦和余弦都是负的。
• 在第四象限（ $+ x$轴和 $可能是$轴)，正弦是负的，余弦是正的。

余弦出发 $1$到 $0.$到 $－1$到 $0.$最后回到了 $1$，而正弦会相反：首先 $0.$到 $1$然后到 $0.$其次是 $－1$然后回到 $0.$．一个完整的时期需要 $360 ^ \保监会$,或 $2 \ PI.$经过弧度角度测量，两个图都交错了 $90 ^ \ circ。$

三角函数有几个有趣的解析性质。首先，如前所述，正弦和余弦的周期都是 $2 \π:$

$罪\开始{对齐}\{\θ}& = \ sinθ+ 2(\ \π)\ \ \ cosθ}{\ & = \ cosθ+ 2(\ \π)\{对齐}结束$

与此同时，切实，只有一段时间 $\ PI.$由于与余弦相比正弦的相对标志只需要一段时间 $\ PI.$制作一个完整的循环（从正面翻转到负面并返回积极）：

$\tan{\theta} = \tan(+ \pi)$

从图中明显，余弦甚至是正弦奇数：

$\开始{对齐}\罪(- \θ)& = - \ sinθ}{\ \ \ \ cos(- \θ)& = \ cosθ}{\ \{对齐}结束$

与余弦一起连接正弦的属性是正弦只是余弦交错的事实 $\ frac {\ pi} 2。$显然，这是对的因为角的正弦值一定等于余弦值;直角三角形中一个角的对边是余角的邻边:

$\ sin {\ theta} = \ cos \ left（\ theta - \ frac {\ pi} 2 \右）$

熟悉微积分的人将知道正弦和余弦的衍生物密切相关：

为了 $\θ.$衡量弧度那

$\压裂{d}{θd \} \罪{\θ}= \ cosθ}{\ \四\压裂{d}{θd \} \ cosθ}{\ = - \{\θ}的罪。$

类似的属性申请其他三角函数。

在实践中，包含三角函数的表达式可以变得非常复杂。一种简化它们的手段是利用各种身份。其中最着名的是总和和差异公式．这些标识允许展开三角函数，其参数是两个角度的总和或差异。这些身份可以在其他方法中使用相当简单的几何参数证明。

和和差公式:

$\ begin {对齐} \ sin（\ alpha \ pm \ beta）＆= \ sin {\ alpha} \ cos {\ beta} \ pm \ cos {\ alpha} \ sin {\ beta} \\\\ \ cos（\ alpha \ pm \ beta）＆= \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} \ mp \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} \ end {aligned}$

什么是 $\ cos {105 ^ \ circ}？$

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使用余弦的总结公式，我们可以表达 $\ cos {105 ^ \ circ}$作为

$\ begin {对齐} \ cos {105 ^ \ cir}＆= \ cos（60 ^ \ circ + 45 ^ \ cir）\\＆= \ cos {60 ^ \ cir} \ cdot \ cos {45 ^ \ cir}- \ sin {60 ^ \ circ} \ cdot \ sin {45 ^ \ cir} \\＆= cdot {1} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {2} - \ frac {\sqrt {3}} {2} \ cdot \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\＆= \ frac {\ sqrt {2}} {4} - \ frac {\ sqrt {6}} {4} \\＆= \ frac {\ sqrt {2} - \ sqrt {6}} {4}。\ _ \ square \结束{对齐}$

简化 $\因为{140 ^ \保监会}\ cdot \因为{50 ^ \保监会}+ \罪罪{140 ^ \保监会}\ cdot \{50 ^ \保监会}。$

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用余弦函数的差分公式，我们可以写出来

$\ COS {140 ^ \循环} \ cdot \ cos {50 ^ \ cir} + \ sin {140 ^ \ cir} \ cdot \ sin {50 ^ \ cir} = \ cos（140 ^ \ cir - 50 ^ \ cir）= \ cos 90 ^ \ circ = 0。$

这毕达哥拉斯的身份作为毕达哥拉斯定理的结果。如果 $一种$和 $B.$是右三角形的腿的长度 $C$那么斜边的长度 $a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$暗示

$\左（\ frac {a} {c}右）^ 2 + \ left（\ frac {b} {c}右）^ 2 = 1，$

所以

$sin^2{\theta} + cos^2{\theta} = 1。$

$\大（$按照惯例，一般写作 $罪\ ^ 2{\θ}$表示广场 $（\ sin {\ theta}）^ 2$和不是功能的组成 $\ sin（\ sin {\ theta}）。\大）$

我也分裂了 $罪\ ^ 2{\θ}$或 $\ cos ^ 2 {\ theta}$以获得不同形式的身份。

毕达哥拉斯的身份:

$\ begin {对齐} \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta}＆= 1 \\\\ 1 + \ cot ^ 2 {\ theta}＆= \ csc ^ 2 {\ theta} \\\\ \ tan ^ 2 {\ theta} + 1＆= \ sec ^ 2 {\ theta} \结束{aligned}$

从这些基本的身份和属性，一大堆其他三角恒等式可验证．

三角形的周围和余弦的两个定理特别值得注意。这锡林法则将三角形的侧面长度（不一定只是右三角形）涉及到它们的对角，而余弦定律概括了毕达哥拉斯定理。

锡林法则

让 $A，B，C$表示相应顶点的角度的测量，并让 $A，B，C$表示各角对边的边长。

它拥有那个

$\ frac {a} {\ sin {a}} = \ frac {b} {\ sin {b}} = \ frac {c} {\ sin {c}}。$

余弦定律

让 $A，B，C$表示相应顶点的角度的测量，并让 $A，B，C$表示各角对边的边长。

它拥有那个

$\开始{对齐}^ 2 b & = ^ 2 + c ^ 2 - 2 b bc \因为{一}\ \ ^ 2 & = ^ 2 + c ^ 2 - 2 ac \因为{b} \ \ c ^ 2 & = ^ 2 + b ^ 2 - 2 ab \因为{c}。结束\{对齐}$

特别是，当一个角是直角时，其中一个方程的余弦项会消失，导致它归结为勾股定理。

欧拉的一级方案，这说 $E ^{ix} = \cos{x} + I \sin{x}$对于复杂的 $X$，将三角函数的定义域扩展到复数．

由于余弦和正弦的均匀性和奇怪， $e ^ { - ix} = \ cos {x} - i \ sin {x}，$所以 $e ^ {ix} + e ^ { - ix} = 2 \ cos {x}。$它遵循 $\ cos {x} = \ frac {e ^ {ix} + e ^ { - ix}} {2}，$同样 ${sin{x} = {frac{e^{-ix}} - {2i}$和 $\ tan {x} = \ frac {e ^ {ix} - e ^ { - ix}} {i（e ^ {ix} + e ^ { - ix}）}。$

解决 $\ cos {x} = 2$在复数中。

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服用 $\ cos {x} = \ frac {e ^ {ix} + e ^ { - ix}} {2}$产量

$\ begin {对齐} e ^ {ix} + e ^ { - ix}＆= 4 \\ \ big（e ^ {ix} \ big）^ 2-4e ^ {ix} +1＆= 0 \\ e ^{ix}＆= 2 \ pm \ sqrt {3} \\ x＆= -i \ ln \ big（2 \ pm \ sqrt {3}大）。\ _ \ square \ END {对齐}$

Euler的公式还允许很容易地衍生几步形的标识。从...开始

$e ^ {i（x \ pm y）} = \ cos（x \ pm y）+ i \ sin（x \ pm y），$

一个人发现

$\ begin {对齐} e ^ {i（x \ pm y）}＆= e ^ {ix} e ^ {\ pm i} \\＆=（\ cos {x} + i \ sin {x}）（\因为{y} \pm i \sin{y}) \\ &= \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y} + i(\sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}). \end{aligned}$

分别将实部和虚部等价，得到熟悉的和和差分公式

$\ cos（x \ pm y）= \ cos {x} \ cos {y} \ mp \ sin {x} \ sin {y}$

和

$\ sin（x \ pm y）= \ sin {x} \ cos {y} \ pm \ cos {x} \ sin {y}。$

除了上面讨论的标准三角识别标准集合之外，还有双曲线三角函数。这些包括

• $\ sinh x = \ frac {e ^ x - e ^ { - x}} {2}$
• ${e^x + e^{-x}}{2}$
• $\ text {sech} x = \ frac {1} {\ cosh x}$
• $\ text {csch} x = \ frac {1} {\ sinh x}$
• $\ tanh x = \ frac {\ sinh x} {\ cosh x}$
• $\ coth x = \ frac {1} {\ tanh x}$．

由于与他们的三角对应物的相似性相似，它们被称为。

这可以从双曲三角函数的一些关系中看出:

• $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
• $\tanh^2 x + \text{sech}^2 x = 1$
• $\coth^2 x - \text{csch}^2 x = 1$
• $\ sinh（x + y）= \ sinh x \ cosh y + \ cosh x \ sinh y$
• $\ sinh（x - y）= \ sinh x \ cosh y - \ cosh x \ sinh y$
• $\ cosh（x + y）= \ cosh x \ cosh y + \ sinh x \ sinh y$
• $\ cosh（x - y）= \ cosh x \ cosh y - \ sinh x \ sinh y$．

双曲力可以在许多地方看到。例如，如果你让一根绳子在两端自由悬挂，它将形成一个双曲余弦函数。

或者，如果您加入两个相对速度， $（$IE。 $v_1.$关于你，和 $v_2.$关于 $v_1），$你得到

$\ tanh ^ { - 1} \ left（\ frac {v} {c} \ rote）= \ tanh ^ { - 1} \ left（\ frac {v_1} {c} \右）+ \ tanh ^ { - 1\ \左（\ frac {v_2} {c}右）。$

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