勾股定理

的勾股定理声明如果三角形有一个正确的角，那么最长的边(斜边)的平方等于两条较短的边(边长)的平方和。因此,如果 $一个$ 和 $b$ 腿的长度，和 $c$ 那么斜边的长度是多少 $^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ ．

定理是几何学的基本组成部分，在物理学和其他现实世界中有许多应用。它也是基础距离公式在几何坐标。

这个定理的反面也是正确的:如果 $^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ ，然后是一个有边长的三角形 $a, b, c$ 会是一个直角三角形，两边长度之间有直角吗 $一个$ 和 $b$ ．相反的一个例子是在施工中:为了测量给定不同长度的绳子的直角，测量员可以使用长度为3,4,5 (a毕达哥拉斯的三倍)做一个三角形。这两条短边之间的角是直角。

例子

给定一个直角三角形，边长分别为5和12，斜边的长度是多少?

根据勾股定理， $5^2 + 12^2 = h^2$ ,所以 $h ^ 2 = 169$ ,这意味着 $h = 13$ ．因此，斜边的长度是 $13$ ． $_ \广场$

下面是一个使用距离公式的例子:

两点之间的距离是多少 $=(2、3)$ 和 $B = (6, 11) ?$

让点 $C = (6,3)$ ,我们有 $三角形ABC \$ 用边长 $\眉题{AC} = 4$ 和 $公元前\眉题{}= 8$ ．此外,自 $交流$ 和 $公元前$ 平行于 $y$ - - - $x$ ，它们是垂直的，并形成一个直角三角形的腿 $AB$ 斜边。

然后，根据勾股定理 $\over {AC}^2 + \over {BC}^2 = \over {AB}^2$ ，这给了我们 $4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80 = {AB}^2$ ．所以 ${AB} = sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ ． $_ \广场$

有关此技术的完整讨论，请参见距离公式．

是三角形 $XYZ$ 一个直角三角形吗?

6-7-9三角形

如果 $XYZ$ 是直角三角形，那么边长会遵循这种关系吗 $A ^2 + b^2 = c^2$ ,在那里 $c$ 是最长的边。然而, $6^2 + 7^2 = 85 \not = 9^2 = 81$ ．所以 $XYZ$ 不是直角三角形。 $_ \广场$

给定一个边长分别为5、12和14的三角形，如何对三角形中最大的角进行分类?

$\四$ 一个)
$\四$ B)急性
$\四$ C)迟钝的
$\四$ D)信息不足

根据勾股定理，我们知道边长为5,12和13的三角形是直角三角形 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ．因此，这个三角形不可能是直角三角形。

此外，由于直角三角形的最长边大于等边斜边，即。 $14 > 13$ ，我们知道与这条边相对的角也一定更大。因此，这个角是钝角，答案是C)。 $_ \广场$

只有

［1］

[２]

和

[3]

［1］

，

[２]

,

[3]

没有一个是正确的

有一个直角三角形，它的边是整数。阅读以下关于这个三角形的陈述:

$［1］$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $3.$ ．
$[２]$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $4$ ．
$[3]$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $5$ ．

下列哪个陈述是正确的?

请注意这个问题是这个集合的一部分。

a + b + c

\压裂{\ sqrt {3}} {3} (a + b + c)

^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-a-b-c

公元前\√6 {ab + + ac}

\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}

abc \ sqrt [3] {}

\ sqrt [3] {^ 3 ^ 3 + + b c ^ 3}

\压裂{^ 2}{b c ^ ^ 2 + 2} + \压裂{b ^ 2} {^ 2 + c ^ 2} + \压裂{c ^ 2} {b ^ ^ 2 + 2}

$O, X, Y, Z$ 是三维笛卡尔空间上的四个点，在哪里 $O$ 原点, $X$ 一点上 $x$ 设在, $Y$ 一点上 $y$ 设在, $Z$ 一点上 $z$ 设在。

现在，面积 $\三角形氧$ 是由 $一个$ 的面积 $\三角形OYZ$ 通过 $b$ 的面积 $\三角形OXZ$ 通过 $c$ ．

求 $XYZ \三角形$ 而言, $a, b, c$ ．

毕达哥拉斯的三元组

命令的三元组正整数 $(a, b, c)$ 这样 $^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ 被称为毕达哥拉斯的三元组．有无穷多个这样的三元组 ${gcd} \文本(a, b, c) = 1$ ，有一个简单的参数化这些毕达哥拉斯三元组产生它们所有。这是一个非平凡非线性的基本例子丢番图方程．费马试图通过研究解来推广这个方程 $一个^ ^ n = c ^ n n + b$ 导致了他著名的“最后的定理。”有关这个主题的更多信息，请参阅维基百科毕达哥拉斯的三元组．

三角恒等式

基本三角恒等式是勾股定理的结果。例如，在一个有边的直角三角形中 $a, b, c,$ 为这个角定义了三角函数 $\θ$ 相反 $一个$ 通过

$罪\ \θ= \压裂{一}{c}, \ \ cosθ= \ \压裂{b} {c}。$

所以

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 \ \ cosθ+ ^ 2 \θ& = \压裂{^ 2}{c ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} \ \ & = \压裂{b ^ ^ 2 + 2} {c ^ 2} \ \ & = \压裂{c ^ 2} {c ^ 2} = 1。结束\{对齐}$

有关这个和其他相关标识的更多信息，请参阅毕达哥拉斯的身份．

定理的证明

关于勾股定理的其他证明，见:勾股定理的证明．

有许多独特的证明(超过350)勾股定理，包括代数和几何。下面的证明有助于其清晰度，被称为重排证明。

在直角三角形中，两条边的平方和等于斜边的平方。

给定任何有腿的直角三角形 $一个$ 和 $b$ 和斜边 $c,$ 做一个有边的正方形 $a + b$ 将给定的三角形复制四份，如下图所示:

这样就形成了一个中间有边长的正方形 $c$ 因此一个区域 $c ^ 2。$

然而，如果我们把四个三角形重新排列如下，我们可以看到两个正方形在更大的正方形里面，一个是 $^ 2$ 在面积和一个是 $b ^ 2$ 在面积:

因为在这两种情况下，较大的正方形是相同的。 $(a + b) ^ 2$ ，由于这四个三角形在这两种情况下是相同的，我们必须得出结论，这两个正方形 $^ 2$ 和 $b ^ 2$ 和正方形的面积相等吗 $c ^ 2$ ．

因此, $A ^2 + b^2 = c^2。$ $_ \广场$

毕达哥拉斯定理的反面是一种特殊情况余弦规律：

如果三角形的两边满足 $A ^2 + b^2 = c^2$ ，然后是对角 $c$ 是直角。

让 $角ACB =$ ；然后根据余弦法则

$\ cosθ= \ \压裂{a ^ 2 + ^ 2 - c ^ 2} {2 ab} = \压裂{0}{2 ab} = 0。$

自 $0 ^ circ \leq \theta \leq 180 ^ circ$ ，唯一的解决办法是 $= 90 ^ circ$ ． $_ \广场$

测试

有关……

内容

给定一个直角三角形，边长分别为5和12，斜边的长度是多少?

给定一个边长分别为5、12和14的三角形，如何对三角形中最大的角进行分类?

如果三角形的两边满足 一个 2 + b 2 ＝ c 2 A ^2 + b^2 = c^2 一个2+b2＝c2，然后是对角 c c c是直角。

如果三角形的两边满足 $A ^2 + b^2 = c^2$ ，然后是对角 $c$ 是直角。