逆三角函数

与任何其他逆函数一样，逆三角函数是撤消函数的操作的数学运算符。对于正确的三角形

我们已经看到基本三角函数

$\ begin {array} {lcr} \ sin \ theta = \ frac {b} {c}，＆\ qquad \ cos \ theta = \ frac {a} {c}，＆\ qquad \ tan \ theta = \ frac {b} {a}，\结束{array}$

那里角度是函数的输入（或参数）和侧面的比例是函数结果的输出。逆功能扭转了此操作，取侧面的比例作为输入和返回角度作为输出：

$\ begin {对齐} \ sin ^ { - 1} \ left（\ frac {b} {c} \ oled）＆= \ theta \\ \ cos ^ { - 1} \ left（\ frac {a} {c}\右）＆= \ theta \\ \ tan ^ { - 1} \ left（\ frac {b} {a} \ revent）＆= \ theta。\结束{对齐}$

这意味着每当我们知道三角形的侧面并且想要找到它的角度时，反之亦然是有用的。

笔记：符号 $\ sin ^ { - 1}$可能会令人困惑，因为我们通常使用负数指数来表示互惠。但是，在这种情况下， $\ sin ^ { - 1} \ alpha \ neq \ frac {1} {\ sin \ alpha}$。当我们想要互惠 $\罪$我们用 $\ CSC.$（见Wiki<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/reciprocal-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="互惠三角函数" target="_blank">互惠三角函数更多细节）。为了避免这种歧义，有时人们可能会选择用一个逆向函数弧字首。例如，

$\ arcsin \ beta = \ sin ^ { - 1} \ beta。$

请注意，根据函数的定义，我们有以下关系：

$\ begin {对齐} \ sin \ big（\ sin ^ { - 1}（x）\ big）＆= x \\ \ cos \ big（\ cos ^ { - 1}（x）\ big）＆= x \\ \ tan \ big（\ tan ^ { - 1}（x）\ big）＆= x。\结束{对齐}$

如果我们限制 $X$要在适当的域名中，上述功能组合订单也可以逆转：

$\ begin {对齐} \ sin ^ { - 1} \ big（\ sin（x）\ big）＆= x \ qquad \ text {for} - \ frac {\ pi} {2} \ leq x <\ frac {\ pi} {2} \\ \ cos ^ { - 1} \ big（（\ cos（x）\ big）＆= x \ qquad \ text {for} 0 \ leq x <\ pi \\ \ tan ^ {-1} \ big（（\ tan（x）\ big）＆= x \ qquad \ text {for} - \ frac {\ pi} {2} \ leq x <\ frac {\ pi} {2}。\结束{对齐}$

在正弦函数中，许多不同的角度 $\θ.$映射到相同的值 $罪（\ theta）$。例如，

$0 = \ sin 0 = \ sin（\ pi）= \ sin（2 \ pi）= \ cdots = \ sin（k \ pi）$

对于任何整数 $K.$。为了克服对逆正弦函数的同一角度具有多个值映射的问题，我们将在找到逆之前限制我们的域。基本逆三角函数的域和范围如下：

$\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {function}＆\ text {domain}＆\ text {range} \\ \ hline \ sin ^ { - 1}（x）＆[ -1,1]＆\ left [ - \ frac {\ pi} {2}，\ frac {\ pi} {2} \ lek] \\ \ hline \ cos ^ { - 1}（x）＆[-1，1]＆\ left [0，\ pi \ light] \\ \ hline \ tan ^ { - 1}（x）＆（ - \ idty，\ idty）＆\ left（ - \ frac {\ pi} {2}，\ frac {\ pi} {2} \右）\\ \ hline \ end {array}$

逆函数的图形是上面指定的域中的原始函数，它已被翻转线路 $Y = X.$。翻转图表关于线的效果 $Y = X.$是交换角色 $X$和 $y$因此，对于任何逆函数的图表，这种观察是正确的。看Wiki.<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/inverse-trigonometric-graphs/" class="wiki_link" title="逆三角图形" target="_blank">逆三角图形更多细节。

有一个有用的逆函数的特定值是有用的。通过记住<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值，逆函数的这些值也很容易记住：

$\ begin {array} {|C |C |C |C |C |c |} \ hline \ text {x}＆\ frac {\ sqrt {0}} {2}＆\ frac {\ sqrt {1}} {2}＆\ frac {\ sqrt {2}} {2}＆\ frac {\ sqrt {3}} {2}＆\ frac {\ sqrt {4}} {2} \\ \ hlinal \ sin ^ { - 1}（x）＆0＆\ frac {\ pi} {6}＆\ frac {\ pi} {4}＆\ frac {\ pi} {3}＆\ frac {\ pline} {2} \\ \ hline \ cos ^ { - 1}（x）＆\ frac {\pi} {2}＆\ frac {\ pi} {3}＆\ frac {\ pi} {4}＆\ frac {\ pi} {6}＆0 \\ \ pline \ nea$

简化表达式

$\ sin \ left（\ cos ^ { - 1} \ big（\ frac {x} {x + 1} \ big）\右）。$

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让 $\ theta = \ cos ^ { - 1} \ left（\ frac {x} {x + 1} \右）$。然后按定义， $\ cos（\ theta）= \ frac {x} {x + 1}$。从基于右三角形的余弦的定义，构造右三角形

自从 $\ cos \ theta = \ frac {a} {c}，$通过卖 $A = X.$和 $c = x + 1$， 我们有 $\ cos（\ theta）= \ frac {x} {x + 1}$。从毕达哥兰定理，我们就有了

$b ^ 2 = c ^ 2 - a ^ 2 =（x + 1）^ 2-x ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 - x ^ 2 = 2x + 1。$

这意味着

$\ sin \ left（\ cos ^ { - 1} \ frac {x} {x + 1} \ rote）= \ sin（\ theta）= \ frac {b} {c} = \ frac {\ sqrt {2x +1}} {x + 1}。\ _ \ square$

在以下等式中，在哪里 $一种$和 $B.$是coprime正整数，总和是多少 $一种$和 $B？$

$\ cos ^ { - 1} \ frac {17} {\ sqrt {1130}} = \ tan ^ { - 1} \ frac {a} {b}$

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因为我们试图找到 $一种$和 $B.$，我们应该采取等式的两侧的切线：

$\ begin {对齐} \ tan \ left（\ cos ^ { - 1} \ frac {17} {\ sqrt {1130}} \ revent）＆= \ tan \ left（\ tan ^ { - 1} \ frac {a} {b} \右）\\ \ tan \ bigg（\ underbrace {\ cos ^ { - 1} \ frac {17} {\ sqrt {1130}}} _ {\大{\ theta}} \ bigg）＆= \ frac {a} {b}。\结束{对齐}$

此外，我们可以使用给定的比率绘制三角形 $\θ.$在它中，使用定义 $\ cos ^ { - 1}$：

右三角形，侧面17和1130的斜边平方根

现在，使用毕达哥兰定理，我们可以看到 $17 ^ 2 + a ^ 2 = 1130$，这意味着 $a = \ sqrt {1130-289} = 29$。最后，我们评估 $\ tan \ theta = \ frac {29} {17}$，这意味着 $A + B = 46$。 $_\正方形$