基本形状，多边形和三角系数

计算机越来越多地被用来解决几何问题。像点、线和多边形这样的几何对象是各种重要应用的基础，产生了一系列有趣的问题和算法。几何算法在物理对象建模、图形设计、医学和游戏开发的设计和分析系统中都很重要。与物理对象打交道的设计师具有几何直觉。然而，这是几何编程的一部分困难，因为你用铅笔做的某些“明显的”操作，例如找到两条线的交点，需要用计算机进行非平凡的编程才能正确地完成。几何算法领域的研究很有趣，因为它有很强的历史背景;几何是最受重视的经典数学课题，甚至在柏拉图学院的大门上方也有这样的铭文:“不懂几何的人不许入内。”

外科计算几何

几何问题出现在医疗物体的建模，人体组织结构，医学成像，甚至计算机辅助手术。下图是人类皮层的表面模型。

线条和点

大多数规模较大的几何程序依赖于二维空间中定义的简单几何对象。基本对象是一个点，我们认为它是一对整数——“坐标”是通常的笛卡尔坐标系(尽管其他系统是合理的)。直线就是两点之间最短的距离。然而，与线段相反，直线在两个方向上都是无限长的。这里我们只讨论平面内的直线。

表示

直线既可以表示为点，也可以表示为方程。每条线都可以用一对点来完全描述 $(x_1 y_1)$ 而且 $(x_2 y_2)$ ．它也可以用这种形式的方程来描述 $Y = mx + b$ ,在那里 $米$ 这条线的斜率和 $b$ 是 $y$ 拦截: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ．

然而，垂直线是一个问题，因为它们不能被这样的方程描述，因为除零。这个方程 $x = k$ 控件之间的垂直线 $x$ -轴在点上 $(k, 0)$ ．这个问题可以通过使用更通用的公式来避免

$Ax + by + c = 0。$

因此，我们可以设想直线的两种可能的表示:点表示或点表示 $a, b, c$ 上面的方程表示。让我们从表示代码中的一个点开始:

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类点："表示笛卡尔坐标点"def__str__（自我)：" '允许打印点' "返回”(“+str（自我．x）+"，"+str（自我．y）+“)”def__init__（自我，x，y)："这初始化了类"自我．x＝x自我．y＝y

我们可以继续制定一个两点直线的表示法:

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类行：'接受两个点对象来表示一条直线/线段''def__str__（自我)：" '打印出行' "打印（自我．p1，自我．p2）def__init__（自我，point_1，point_2)：'这初始化类(接受两个点对象作为输入)''自我．p1＝point_1自我．p2＝point_2

我们还可以轻松实现a, b, c的形式。我们称这门课为么：

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类么：" '用实数a b c表示ax+by+c=0的直线"def__str__（自我)：''''打印出行" '打印（自我．一个，自我．b，自我．c）def__init__（自我，一个，b，c)：自我．一个＝一个自我．b＝b自我．c＝c

这些方程和点的形式可以使用如下的函数相互转换:

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defpoint_to_line（pl，l)："以直线pl和直线对象l的点形式" "如果pl．p1．x= =pl．p2．x：返回么（1，0，-pl．p1．x）其他的：一个＝-（pl．p1．y-pl．p2．y）/（pl．p1．x-pl．p2．x）b＝1c＝-（l．一个＊pl．p1．x）-（l．b＊pl．p1．y）返回么（一个，b，c）

多边形

多边形是由不相交线段组成的闭合链的一组点。闭合的意思是，链的第一个顶点也是最后一个顶点。“不相交”意味着对线段只在它们的端点接触。

多边形对于描述平面上的大多数形状是必不可少的。我们可以使用line类将多边形表示为一组线。然而，这是没有必要的，因为它们可以很容易地表示为一组坐标点。我们可以假设存在一个段 $我^ \文本{th}$ 而且 $文本(i + 1) ^ \ {th}$ 链上的点。因此，我们将其简单地实现为一个数组点对象。

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类多边形：“”表示一个多边形def__str__（自我)：'打印多边形顶点的顺序不确定'年代＝＂＂为v在自我．顶点：年代+ =v+”、“返回年代［0：-2］def__init__（自我，点)：“初始化类”自我．顶点＝点

例如，我们可以把下面的三角形表示为

1 2 3

>>>三角形＝多边形([点（-1，3.)，点（5，5)，点（4，-2)))>>>打印（三角形）（-1，3.），（5，5），（4，-2）

这个问题所附的文件包含一个列表 $One hundred.$ 行。八个数字 $X_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, x_4, y_4$ 写在每一条线上，对应一个四边形，它的顶点有坐标 $y_1 A_1 = (x_1), \ a₂= (x_2 y_2) \ A_3 = (x_3 y_3) \ A_4 = (x_4 y_4)$ 笛卡儿平面()。有 $N$ 这个列表中的四边形是凹的。

找到 $N + 6。$

细节和假设:

作为一个显式的例子，假设列表有 $2$ 行，下面的数字写在这两行上: $\{数组}{lrrrrrrrrl} & 1开始,& 1,2个,2个,3 3和4,和4 \ \ & 1,&-1,至2和2、3和3和4,和第四&。\{数组}结束$ 我们有两个四边形，第一个四边形的顶点都在点上 $(1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)，$ 第二个是顶点在点上 $(1， -1)， (2， -2)， (3， -3)， (4， -4)$ 你的任务是找出有多少是凹的。
该文件的链接:http://pastebin.ca/2679837。
如果其中一个顶点位于连接其他两个顶点的直线上，则认为得到的图形是凸的。
这是一个计算机科学问题，灵感来自ProjectEuler(我现在不记得问题编号了)。