正弦统治（田氏定律）

的正弦定理是连接三角形两边与其对应角的正弦值的关系。

给定下面的三角形 $美国广播公司$有相应的边长 $a、b$和 $c$：

的正弦规则或者正弦定理是下列恒等式:

$\ frac {a} {\ sin（a）} = \ frac {b} {\ sin（b）} = \ frac {c} {\ sin（c）}。$

我们将证明第一个恒等式

${a}{sin (a)} = {b}{sin (b)}。$

第二个等式同样可以证明。

通过画高度 $h$三角形的顶点 $C$到另一侧，我们可以表达身高 $h$以两种不同的方式：

• 首先,我们有 ${text{opposite}}{text{斜边}}= {h}{b}$，这意味着 $h = b \罪(A)。$
• 同时, ${text{opposite}}{text{斜边}}= {frac{h}{a}$，这意味着 $h = \罪(B)。$

通过使这些值相等 $h$,我们有

$\ b开始{对齐}\罪(A) & = \罪(b) \ \ \压裂{一}{\罪(A)} & = \压裂{b}{\罪(b)}。结束\{对齐}$

通过画高度 $h$从其他两个顶点来看，我们可以类似地显示第二个平等。 $_ \广场$

看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/extended-sine-rule/" class="wiki_link" title="扩展正弦规律" target="_blank">扩展正弦规律另一种证据。

正弦法则在现实生活中的一个应用是<一个target="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sine_bar">正弦栏，用于测量工程中倾斜的角度。其他常见示例包括测量导航的距离和测量天文学中的两颗恒星之间的距离。

在下面的三角形中，假设 $a= 1，角a= 30^ circ，$和 $角B = 45^ circ$． $$什么是侧面长度 $b ?$

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根据sin法则，我们有

${对齐}\ \开始压裂{一}{\罪(a)} & = \压裂{b}{\罪(b)} \ \ \压裂{1}{\罪(30 ^ \保监会)}& = \压裂{b}{\罪(45 ^ \保监会)}\ \ \压裂{1}{\ \压裂{1}{2}\}& = \压裂{b}{\ \压裂{\ sqrt{2}}{2} \} \ \ \压裂{2 \ cdot \√{2}}{2}& = b。\{对齐}结束$

因此, $b = \ sqrt {2}$． $_ \广场$

正弦法则的一个常见应用是求三角形 $美国广播公司$给定它的一些边和角。的暧昧案例指的是有两个不同的三角形满足这种配置的情况。当我们给出角边边时，就会发生这种情况，如下图所示:

如果边长 $三角形ABC \$是 $A = 9.$和 $b = 10$与 $\角A.$相反 $一个$测量 $26$度，是衡量什么的标准 $\角度B.$相反 $b ?$

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根据sin法则，我们有 $/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *$或者 ${sin26 ^\circ} = frac{10}{sinb}$．解 $B$收益率 $sin B = rfc{10}9 sin 26^ circ$或者 $B \大约29.149 ^ \保监会$．

然而,请注意, $(180^ (circ - x)))$．自 $A + B <180 ^ \ CIRC$和 $A + (180^\circ - B) < 180^\circ，$另一种可能的测量方法 $B$大约是 $180 ^ \ rIC - 29.149 ^ \循环= 150.851 ^ \ cir$． $_ \广场$

用上面给出的同样的例子，找出度量 $\角度B.$如果边长被交换: $一个= 10$和 $b = 9$．

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根据sin法则，我们有 $/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *$或者 $\ frc {10}{sin26 ^\circ} = \ fr9 {sinb}$．解 $B$收益率 $sin B = fr9{10} sin 26^ circ$或者 $B \大约23.237 ^ \保监会$．

然而,请注意, $(180^ (circ - x)))$．自 $A + B <180 ^ \ CIRC$但事实并非如此 $A + (180^\circ - B) < 180^\circ，$只有一个可能的衡量标准 $B$，这是大约 $23.237$度。 $_ \广场$

使用上面给出的第一个例子，如果你进一步给出角度 $B$如果是13度，有多少种不同的测量方法 $C \角?$

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根据sin法则 $/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *$或者 $\ frac {10} {\ sin 46 ^ \ circ} = \ frac9 {\ sin 13 ^ \ circ}$，这显然是错误的，暗示不存在这样的三角关系。因此，不存在符合这些标准的三角形。 $_ \广场$

的扩展正弦规律是连接三角形各边与其对应角的正弦值和外接圆半径的关系。声明如下:

鉴于三角形 $美国广播公司$，相应的侧长度 $a、b$和 $c$和 $R$作为三角形矩阵的半径 $美国广播公司$，我们有以下几点:

$\压裂{一}{\罪}= \压裂{b}{罪\ b} = \压裂{c}{罪\ c} = 2 r。$

注意:没有第三个平等的陈述通常被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sine-rule/" class="wiki_link" title="正弦规则" target="_blank">正弦规则．正弦规则与三角形矩阵半径之间的关系 $美国广播公司$就是把这个扩展到sin法则。

扩展正弦规则

让 $O$是圆周的中心，而且 $D$的中点 $公元前\眉题{}。$然后 $\眉题{OD}$垂直于 $\ overline {bc}$．现在,观察到 $\角中行$等于 $2 \α$或者 $360 ^ \保监会- 2 \α,$在哪里 $= \ \角α,$这取决于 $O$是否在三角形中。然后 $\角BOD = \$或者 $180 ^ \保监会- \α$,因此 $\ sin bod = \ sin \ alpha$．因此,

${frac {\ \lvert\overline{BD}\rvert\}{\lvert\overline{OB}\rvert} = sin \alpha \表示frac {a} {sin \alpha} = 2R。, _ \ \广场$

求出三角形的面积 $美国广播公司$等于 $\ frac {abc} {4r}。$

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让 $D$是垂直的脚 $一个$来 $\ overline {bc}$．使用 $\ overline {bc}$作为基础 $广告\眉题{}$三角形的高等于三角形的面积 $\ frac {1} {2} a \ cdot \ ltvert \ overline {广告} \ rfter$．从右三角形 $CAD.$， $罪\ \γ= \压裂{\ lvert \眉题{广告}\ rvert} {b}$．因此，三角形的面积是 $\frac {1}{2} a \cdot \lvert\overline{AD}\rvert = frac {1}{2} a b \sin \gamma$这句话经常被引用。现在，利用扩展的正弦定则， $\ frac {c} {\ sin \ gamma} = 2r$，则三角形的面积为

$\ frac {1} {2} a b \ sin \ gamma = \ frac {1} {2} a b \ frac {c} {2r} = \ frac {abc} {4r}。\ _\正方形$