欧拉公式

在复杂的分析，欧拉公式提供了一个基本的桥梁指数函数和三角函数．为复数 $x$欧拉公式是这么说的

$E ^{ix} = \cos{x} + I \sin{x}。$

除了作为一个基本的数学结果，欧拉公式在物理学和工程学中也有许多应用。

欧拉公式的一个直接证明可以简单地通过等式幂级数公式中各项表示形式:

$\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \压裂{x ^ 4} {4 !} - \ cdots$

和

$/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *} + \压裂{x ^ 5} {5 !} \ cdots,$

所以

${对齐}\ \开始因为{x} +我罪\ {x} & = 1 + ix - \压裂{x ^ 2} {2 !} - I \frac{x^3}{3!} + \压裂{x ^ 4} {4 !} - \ cdots\\ &= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots \\ &= e^{ix}. \end{aligned}$

欧拉公式

假设 $x$是复杂的。然后

$E ^{ix} = \cos{x} + I \sin{x}。$

计算 $e ^{\π}$．

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我们有

$E ^{i \pi} = cos{pi} + i \sin{pi} = -1，$

哪一个是非常著名的欧拉恒等式: $E ^{i \pi} + 1 = 0。\ _ \广场$

计算 $我^$．

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回想一下, $forall k \in \mathbb{N}$我们有

$\{对齐}开始e ^{我(\π/ 2 + 2 \πk)} & =我\ \ \ Rightarrow \离开(e ^{我(\π/ 2 + 2 \πk)} \右)^ & ^ =我。结束\{对齐}$

因此,

$我= e ^ ^ {i ^ 2(\π/ 2 + 2 \πk)} = e ^{- \π/ 2 \πk}。\ _ \广场$

注意:这意味着 $我^$不是一个定义明确的(唯一的)量。为了补救这个问题，需要指定一个分支切割。例如，我们可以定义的参数 $e ^{我\θ}$待定义 $在[0,2 \pi)$，在这种情况下 $I ^ I = e^{-\ / 2}$．也就是这个力 $k = 0$．当然，不同的分支切割可以选择产生不同的值 $k$．

欧拉公式适用于任何复数 $x$表示为 $第九e ^ {}$，它位于一个有实分量和虚分量的单位圆上 $\因为{x}$和 $罪\ {x}$,分别。各种操作(比如寻找单位的根)可以被看作是沿着单位圆．

欧拉公式的一个直接应用就是扩展三角函数的定义允许参数将函数的范围扩展到超出允许的范围实数．

一些有用的结果是

$E ^{-ix} = cos{x} - I {sin{x}，$

所以

$E ^{x} + E ^{- x} = 2 \cos{x}$

由此可见,

$\cos{x} = frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}，$

和类似的

${sin{x} = {frac{e^{-ix}} - {2i}$

和

$谭\ {x} = \压裂{e ^{第九}- e ^{第九}}{我(e ^{第九}+ e ^{第九})}。$

解决 $\因为{x} = 2$在复数中。

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我们首先注意到如果 $x =从$是一个解决方案，那么也是吗 $X = 2 k pm x_0$对于任何一个整数 $k$．这是因为 $\ cos x$是基本周期为的偶函数吗 $2 \π$．

采取 $\cos{x} = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$收益率

$第九\{对齐}开始e ^ {} + e ^{第九}& = 4 \ \ \离开(e ^{第九}\右)^ 2-4e ^{第九}+ 1 & = 0 \ \ e ^{第九}& = 2 \ \下午√{3}\ \ \ Rightarrow x & = \ dfrac1i \ ln \下午离开(2 \ \倍根号3 \ ) \\ & =- 下午我\ ln \离开(2 \ \倍根号3 \右)。结束\{对齐}$

因此, $X = 2 k \pm I \ln左(2 pm \根号{3}右)，2 k \mp I \ln左(2 pm \根号{3}右)$对于任何一个整数 $k$． $\ _ \广场$

欧拉公式还可以很容易地推导出几个三角恒等式。从

$E ^{i(x \pm y)} = cos(x \pm y) + isin (x \pm y)，$

一个发现

$\{对齐}开始e ^{我(x、y)下午}& = e ^{第九}e ^ {\ iy点 } \\ &= (\ 因为罪{x} + i \ {x})(我\ \因为{y} \点罪{y }) \\ &= \ 因为{x} \因为{y} \议员\罪罪{x} \ {y} + i(罪\ {x} \下午因为{y} \ \因为{x} \罪{y})。结束\{对齐}$

将实部和虚部分别等价，就得到了我们熟悉的结果和和差分公式

$\ cos (x、y)下午= \因为{x} \因为{y} \议员\罪{x} \ {y}的罪$

和

$\ sin (x、y)下午= \罪{x} \ cos {y} \ \下午因为{x} \ {y}的罪。$

欧拉定理的一个重要推论是de Moivre定理．

De Moivre定理

$(我\ \因为{x} + sin (x)) ^ \φ= \因为{x} \φ+ i \罪{x} \φ$

我们有 $\{对齐}开始(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})\ * (\ cosφ\ {b} + i \ sinφ\ {b}) & = \ \ cosφ{\}\ cosφ\ {b} + i \ cosφ{\}\罪罪{b \φ}+ i \{\φ}\ cosφ\ {b} - \罪罪{\φ}\{φb \} \ \ \因为{\φ}+我罪\{\φ})(\ cosφ\ {b} + i \ sinφ\ {b}) & = \ cosφ{\}\ cosφ\ {b} - \罪罪{\φ}\ {b \φ}+ i(罪\ cosφ}{\ \ {b \φ}+ \罪{\φ}\ cosφ\ {b}) \ \ \ Rightarrow\因为{(\φ+ b \φ)}+ i \罪{(\φ+ b \φ)}& = \ cos{\大(φ(a + b) \ \大)}+ i \罪{\大(φ(a + b) \ \大)}。结束\{对齐}$为 $a = b$,我们有 $(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})= \ cos{(φ+ \ \φ)}+ i \罪{(φ+ \ \φ)}= \ cos{\φ(2)}+ i \罪恶{\φ(2)}。$这意味着 $\{对齐}开始(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})^ n & = \ \ underbrace{(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})\ \ cdots \乘以(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})}_ {{* n \文本 }} \\ &= \ 因为{大(\ \ underbrace {(a + \ cdots + a)} _ {n \ \文本{}}\φ\大)}+ i \罪{\大(\ underbrace {(a + \ cdots + a)} _ {n \ \文本{}}\φ\大)}\ \ \ Rightarrow(\因为{\φ}+ i \罪{\φ})^ n & =\因为{(na \φ)}+ i \ {(na \φ)}的罪。结束\{对齐}$因此,我们有 $(我\ \因为{x} + sin (x)) ^ \φ= e ^ {ix \φ}= e ^{我(\φx)} = \因为{x} \φ+ i \ {x} \φ的罪。\ _ \广场$

德莫弗定理有很多应用。作为一个例子，人们可能希望计算统一的根源，或方程的复解集 $x ^ n = 1$为整数 $n$．请注意, $e ^{2 \πki}$总是等于 $1$为 $k$一个整数，所以 $n ^ \文本{th}$团结的根源必须是

$E ^{2\pi ki / n} = \cos left(\frac{2\pi k}n\right) + isin left(\frac{2\pi k}n\right)。$

这个过程类似于把单位圆分成 $n$等距的楔形。

求单位的立方根。

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单位的立方根是

• $左(\ \因为\压裂{2 \π}{3}\右)+我罪\ \(\压裂{2 \π}{3}\右)= - \压裂{1}{2}+ i \压裂{\ sqrt {3}} {2}$
• $左(\ \因为\压裂{4 \π}{3}\右)+我罪\ \(\压裂{4 \π}{3}\右)= - \压裂{1}{2}-我\压裂{\ sqrt {3}} {2}$
• $左(\ \因为\压裂{6 \π}{3}\右)+我罪\ \(\压裂{6 \π}{3}\右)= 1。\ _ \广场$