部分分式

部分分式分解一种技术是用来写一个有理函数作为简单有理表达式的和。

$\压裂{2}{x ^ 2 - 1} \ Rightarrow \压裂{1}{x - 1} - \压裂{1}{x + 1}。$

部分分式分解是一种有用的技术集成涉及理性表达的问题。部分分式分解对求值也很有用可伸缩的资金．它是证明的基础欧拉公式通过用两种不同的方法求有理表达式的不定积分。

主要文章:部分分式-线性因子

当分母可以因式分解时，部分分式分解具有线性因子线性多项式，每一个都有多重性1.

求以下有理表达式的部分分式分解:

$\压裂{2 x + 1} {x ^ 2-x-6}。$

---

分母可以因式分解:

$X ^2- X -6 = (X +2)(X -3)$

那么部分分式分解的形式是

$\压裂{2 x + 1} {x ^ 2-x-6} = \压裂{一}{x + 2} + \压裂{B}{3}。$

求出这些系数

${对齐}\ \开始压裂{2 x + 1} {x ^ 2-x-6} & = \压裂{(3)+ B (x + 2)} {(x + 2) (3)} \ \ \ \ \ \ 2 x + 1 & = (- 3) + B (x + 2) \ \ & = (A + B) x + (2 b-3a) \ \ \ \ A + B & = 2 \ \ 2 b-3a & = 1。结束\{对齐}$

解这个方程组得到 $= \压裂{3}{5}$而且 $B = \压裂{7}{5}。$那么部分分式分解是

$\压裂{2 x + 1} {x ^ 2-x-6} = \压裂{1}{5}\离开(\压裂{3}{x + 2} + \压裂{7}{3}\右)。\ _ \广场$

主要文章:部分分数-掩盖规则

掩盖规则是一种有效计算含线性因子的部分分式分解系数的方法。

求以下有理表达式的部分分式分解:

$x \压裂{2}{x ^ 2-9x + 18}。$

---

分母可以因式分解:

$x ^ 2-9x + 18 = (- 3) (x6)。$

则部分分式分解形式为

$x \压裂{2}{(- 3)(x6)} = \压裂{一}{3}+ \压裂{B} {x 6}。$

来解 $一个,$“掩盖”的 $- 3$因式和代换 $x = 3$转化为原来的表达式:

$A = \frac{2x}{x-6} = \frac{2\cdot 3}{3-6} = -2。$

来解 $B,$“掩盖”的 $乘以6$因式和代换 $x = 6$转化为原来的表达式:

$B = \frac{2x}{x-3} = \frac{2\cdot 6}{6-3} = 4。$

那么部分分式分解是

$x \压裂{2}{x ^ 2-9x + 18} = \压裂{4}{x 6} - \压裂{2}{3}。\ _ \广场$

主要文章:部分分式-重复因子

当其中一个因子的倍数大于1时，即当其中一个因子的倍数大于2时，部分分式就具有重复因子。

求以下有理表达式的部分分式分解:

$\压裂{x 4} {x ^ 2-10x + 25}。$

---

分母的因子是完全平方:

$x ^ 2-10x + 25 = (x5) ^ 2。$

则部分分式分解形式为

$\压裂{x 4} {x ^ 2-10x + 25} = \ \压裂压裂{一}{x5} + {B} {(x5) ^ 2}。$

求系数:

${对齐}\ \开始压裂{x 4} {x ^ 2-10x + 25} & = \压裂{(x5) + B} {(x5) ^ 2} \ \ \ \ \ \ * 4 & = (x5) + B \ \ x 4 & = Ax + (B-5A) \ \ \ \ 1 & = & = B-5A \ \ 4。结束\{对齐}$

这给了 $一个= 1$而且 $B = 1$作为系数。那么部分分式分解是

$\压裂{x 4} {x ^ 2-10x + 25} = \压裂{1}{x5} + \压裂{1}{(x5) ^ 2}。\ _ \广场$

主要文章:部分分式-不可约二次式

部分分式分解有不可约二次，当其中一个因子是一个没有有理根的二次。

求以下有理表达式的部分分式分解:

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1}。$

---

分母可以因式分解为立方体之差:

$x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1)。$

二次方程有复根，所以不能再分解了。则部分分式分解形式为

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1} = \ \压裂压裂{一}{x - 1} + {Bx + C} {x ^ 2 + x + 1}。$

求出这些系数

${对齐}\ \开始压裂{1}{x ^ 3 - 1} & = \压裂{一(x ^ 2 + x + 1) + (Bx + C) (x - 1)} {(x - 1) (x ^ 2 + x + 1)} \ \ \ \ \ \ 1 & = (x ^ 2 + x + 1) + (Bx + C) (x - 1) \ \ 1 & = Ax ^ 2 + Ax + + Bx ^ 2 + (cb)得到\ \ 1 & = (A + B) x ^ 2 + (+ cb) x + (A - C) \ \ \ \ A + B & = 0 \ \ + cb & = 0 A - C \ \ & = 1。结束\{对齐}$

解这个方程组得到 $= \压裂{1},{3}$ $B = - \压裂{1},{3}$而且 $C = - \压裂{2}{3}。$部分分式分解是

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1} = \压裂{1}{3}\离开(\压裂{1}{x - 1} - \压裂{x + 2} {x ^ 2 + x + 1} \右)。\ _ \广场$

主要文章:部分分式积分

部分分式分解常用于求有理函数的积分。它是有用的 $u$替换技术是行不通的。

求不定积分

$int \{\压裂{dx} {x ^ 2 + 3 + 2}}。$

---

首先请注意，没有明显的 $u$-可以简化积分的替换。相反，使用部分分式分解将表达式写成两个有理表达式的和:

$\压裂{1}{x ^ 2 + 3 + 2} = \压裂{1}{(x + 1) (x + 2)} = \压裂{1}{x + 1} - \压裂{1}{x + 2}。$

积分就变成了

${对齐}\ \开始int{\压裂{dx} {x ^ 2 + 3 + 2}} & = \ int{\压裂{dx} {x + 1}} - \ int{\压裂{dx} {x + 2 }} \\ \\ &=\ ln | x + 1 | - \ ln | x + 2 | + C \{对齐}结束$

在哪里 $C$是积分常数。 $_ \广场$

主要文章:伸缩级数-和

一系列有理表达式有时可以包含隐藏的可伸缩的总和。使用部分分式分解通常可以揭示这个可伸缩的和，因此计算和变得容易得多。

计算以下总和:

$\ \和limits_ {k = 1} ^{40}{\压裂{2}{k ^ 2 + 4 k + 3}}。$

---

乍一看，很难从这个系列的术语中看出任何模式:

$\ \和limits_ {k = 1} ^{40}{\压裂{2}{k ^ 2 + 4 k + 3}} = \压裂{1}{4}+ \压裂{2}{15}+ \压裂{1}{12}+ \压裂{2}{35}+ \ cdots + \压裂{1}{840}+ \压裂{2}{1763}。$

对有理表达式进行部分分式分解，得到

$\压裂{2}{k ^ 2 + 4 k + 3} = \压裂{1}{k + 1} - \压裂{1}{k + 3}。$

然后求和就变成了

$\ \和limits_ {k = 1} ^{40} \离开(\压裂{1}{k + 1} - \压裂{1}{k + 3} \右)。$

从写出和的项，一个模式出现了:

$\压裂{1}{2}\压裂{1},{4}+ \压裂{1}{3}\压裂{1},{5}+ \压裂{1}{4}- \压裂{1}{6}+ \ cdots + \压裂{1}{39}- \压裂{1}{41}+ \压裂{1}{40}- \压裂{1}{42}+ \压裂{1}{41}- \压裂{1}{43}。$

很明显，很多项可以消掉。级数的确切值可以通过重写和式得到:

$\开始{数组}{ccccc} \ \ limits_总和{k = 1} ^{40} \离开(\压裂{1}{k + 1} - \压裂{1}{k + 3} \右)& = & \总和\ limits_ {k = 2} ^{41}{\压裂{1}{k }} & - & \ 总和\ limits_ {k = 4} ^{43}{\压裂{1}{k }} \\ \\ & = & \ 压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}+ \总和\ limits_ {k = 4} ^{41}{\压裂{1}{k }} & - & \ 总和\ limits_ {k = 4} ^{41}{\压裂{1}{k}} - \压裂{1}{42}- \压裂{1}{43 } \\ \\ & = & \ 压裂{1}{2}+ \压裂{1}{3}& - & \压裂{1}{42}- \压裂{1}{43 } \\ \\ & = & \ 压裂{710}{903}。\ _\square \end{array}$

部分分式分解是证明的基础欧拉公式．

欧拉公式:

$e ^{我\θ}= \ cosθ}{\ + i \{\θ}的罪。\ _ \广场$

下面的证明使用集成，三角恒等式,对数的身份．

考虑理性表达

$\压裂{1}{1 + x ^ 2}。$

现在考虑这个表达式的不定积分。求这个表达式不定积分的一个可能的方法是应用三角代换．这个方法得到

$\ int{\压裂{\ mathrm d} {x} {1 + x ^ 2}} = \反正切{x} + \文本{C} _ {1} \ qquad (1)$

在哪里 $文本\ {C} _ {1}$是积分常数。

求这个表达式不定积分的另一种可能的方法是应用部分分式分解。表达式的分母没有实根，但可以分解为复根:

$1 + x ^ 2 = (1 + ix) (1-ix)。$

应用部分分式分解得到等效表达式

$\压裂{1}{1 + x ^ 2} = \压裂{1}{2}\离开(\压裂{1}{1 +第九}+ \压裂{1}{1-ix} \右)。$

因此，表达式的另一个不定积分是

$int \开始{对齐}\{\压裂{\ mathrm d} {x} {1 + x ^ 2}} & = \压裂{1}{2}\ int \离开(\压裂{1}{1 +第九}+ \压裂{1}{1-ix} \) \ mathrm {d} x \\ \\ &= \ 我压裂{1}{2}\大[\ ln(1 +(九)- \ ln (1-ix)大\]+ \ mathrm {C} _ {2 } \\ \\ &= \ 左我压裂{1}{2}\ \ ln \[左(\压裂{1 +第九}{1-ix} \) \右]+ \ mathrm {C} _ {2}, \ qquad结束(2)\{对齐}$

在哪里 $文本\ {C} _ {2}$是积分常数。

因为这两个不定积分的表达式相同，所以它们是等价的。 $(1) = (2):$

$\反正切{x} = \压裂{1}{2}我左\ [\ ln \离开(\压裂{1 +第九}{1-ix} \) \右]+ C{} \文本。$

在哪里 $\text{C} = \text{C}_{2} - \text{C}_{1}$．

把 $x = 0$，我们发现 $\text{C} = 0$，这意味着

$\反正切{x} = \压裂{1}{2}我左\ [\ ln \离开(\压裂{1 +第九}{1-ix} \) \右]。$

让 $谭x = \{\θ}$，然后代入

$\θ= \压裂{1}{2}我左\ [\ ln \离开(\压裂{1 + i \ tan{\θ}}{我\ tan{\θ}}\)\右]。$

进一步简化和使用身份给出

$\{对齐}我开始\θ& = \压裂{1}{2}\左\ ln \[左(\压裂{(1 + i \ tan{\θ})^ 2}{1 + \ tan ^ 2{\θ}}\)\ ] \\ \\ &= \ 压裂{1}{2}\左\ ln \[左(\压裂{(1 + i \ tan{\θ})^ 2}{\交会^ 2{\θ}}\)\ ] \\ \\ &= \ ln左(\ \压裂{1 + i \ tan{\θ}}{\ sec{\θ}}\ ) \\ \\ &= \ ln \离开(\ cosθ}{\ + i \ sinθ}{\ \右)。结束\{对齐}$

然后，将方程写成等价指数形式，得到欧拉公式:

$e ^{我\θ}= \ cosθ}{\ + i \{\θ}的罪。\ _ \广场$