部分分式-线性因子

部分分式分解是一种技巧用来写有理函数作为简单理性表达式的和。在某些情况下，有理函数可以表示为其分母为的分数的和线性二项式．例如,

$\压裂{2}{x ^ 2 - 1} \意味着\压裂{1}{x - 1} - \压裂{1}{x + 1}。$

部分分式分解最简单的例子是

• 有一个有理表达式分子和分母都是多项式的，
• 分子的次数小于分母的次数
• 分母可以分解成线性二项式因子。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6}。$

---

注意分子是常数，分母可以因式分解:

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{2}{(x + 2) (x + 3)}。$

这意味着部分分解形式将包含一个有理表达式的和，每个有理表达式包含一个常数分子和一个具有以下线性二项式因子之一的分母:

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 3},$

在哪里 $一个$而且 $B$是常数。 $_ \广场$

如果分子的次数大于或等于分母的次数，那么多项式除法可以用来写出一个等价的表达式它是多项式和有理表达式的和。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1}。$

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应用多项式除法得到等价表达式

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{2}{x ^ 2 - 1}。$

分母多项式可以因式分解:

$x ^ 2 - 1 = (x + 1) (x - 1)。$

则有理表达式的部分分解形式为

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{一}{x + 1} + \压裂{B} {x - 1},$

在哪里 $一个$而且 $B$是常数。 $_ \广场$

这里展示的分解有理表达式的方法并不适用于每个问题。如果一个有理表达式包含一个分母因子多重性大于1，则必须使用不同的方法:部分分式,重复的因素．

求有理表达式的部分分解形式

$\压裂{4 x} {x ^ 3 + 4 x ^ 2 + 5 x + 2}。$

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分母的根可以用理性的根定理．分母被分解为

$x ^ 3 + 4 x ^ 2 + 5 + 2 = x (x + 1) ^ 2 (x + 2)。$

请注意, $(x + 1)$因子具有多重性。这意味着重复的因素的方法必须用来分解理性表达式。 $_ \广场$

虽然二次因子可以被分解，即使它不能被分解，但这可能并不总是找到部分分式分解的最有效的方法。它通常是更好的使用二次或更高次因子．

可以执行一些分解二次或更高次因子．

求有理表达式的部分分式分解形式

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1}。$

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分母可以被分解为一个立方的差:

$x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1)。$

二次项不能再分解了。利用二次公式可以求出二次方程的复根。然而，这将是一种不优雅的分解表达式的方式。有一个更简单的部分分式分解使用二次因子． $_ \广场$

虽然上面链接的方法通常是首选的多项式不因式，然而，有时它是需要获得线性因子的部分分式分解。要做到这一点，必须找到多项式的根，或者通过二次方程，理性的根定理，或其他方法。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\压裂{5 x - 1} {x ^ 2 + x - 1}。$

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分子的次数小于分母，但分母不能被因式分解。然而，多项式的根可以用二次公式求出。根是

$x = \压裂{1 \ \下午√{5}}{2}。$

这给出了分母的因式分解:

$\{对齐}开始x ^ 2 + x - 1 & = \离开(x - \压裂{1 + \ sqrt{5}}{2} \) \离开(x - \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2} \) \ \ & = \离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\ vphantom{\压裂{1}{2}}2 x - (1 + \ sqrt{5}) \) \离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\ vphantom{\压裂{1}{2}}2 x - (1 - \ sqrt{5}) \) \ \ & = \压裂{1}{4}\离开(2 x + 1 - \ sqrt{5} \) \离开(2 x + 1 + \ sqrt{5} \右)。结束\{对齐}$

这样，部分分式分解就有了形式

$\压裂{5 x - 1} {x ^ 2 + x - 1} = 4 \离开(\压裂{一}{2 x + 1 - \√{5}}+ \压裂{B} {2 x + 1 + \√{5}}\右),$

在哪里 $一个$而且 $B$是常数。注意，分母仍然是线性的，即使它们包含无理数。 $_ \广场$

这种方法即使在分母多项式有复杂的的根源。

找到部分分式分解形式只是部分分式分解目标的一部分。最终目的是计算分子的值，使部分分式分解等价于原始表达式。

回到上一节介绍的例子:

求有理表达式的部分分式分解

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6}。$

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回顾上一节，部分分式分解形式是

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 3}。$

现在的目标是找到的值 $一个$而且 $B$这两个表达式是等价的。首先把方程右边的分数组合起来:

${对齐}\ \开始压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 3} & = \压裂{(x + 3) + B (x + 2)} {(x + 2) (x + 3 )} \\ \\ &=\ 压裂{(A + B) x + 3 + 2 B} {x ^ 2 + 5 + 6}。结束\{对齐}$

注意，这个表达式的分母与原始表达式的分母相同。这意味着分子必须相等:

$2 = (A + B) x + 3 + 2 B。$

没有 $x$原来分子上的项。因此,

$A + B = 0。$

分子的另一部分必须等于2

$3 + 2 b = 2。$

解这个方程组得到的值 $一个$而且 $B$这将导致部分分式分解等价于原始表达式: $一个= 2$而且 $B = 2。$部分分式分解是

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{2}{x + 2} - \压裂{2}{x + 3}。\ _ \广场$

通过上面的例子，

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1} = \压裂{1}{(x - 1) (x ^ 2 + x + 1)} \意味着\压裂{1}{(x - 1) (x ^ 2 + x + 1)} = \压裂{一}{x - 1} + \压裂{Bx + C} {x ^ 2 + x + 1}。$

方程两边同时乘以 $(x - 1) (x ^ 2 + x + 1)$我们获得

$1 = (x ^ 2 + x + 1) + (Bx + C) (x - 1) = (x ^ 2 + x + 1) + Bx - Bx + Cx - C ^ 2。$

使系数相等，我们得到

$\{对齐}+ B & = 0开始\ \ A - B + C & = 0 \ \ - C & = 1。结束\{对齐}$

自 $A + B = 0 \暗示B = -A，$替换 $B = -$在第二个方程中 $2a + c = 0。$

解决系统

$\begin{aligned} 2A + C &= 0 \\ A - C &= 1， \end{aligned}$

我们有

${对齐}= \ \开始压裂{1}{3},C = \压裂{2}{3}& \ Rightarrow B = \压裂{1}{3}\ \ & \ Rightarrow \压裂{1}{x ^ 3 - 1} = \压裂{1}{3}\离开(\压裂{1}{x - 1} - \压裂{x + 2} {x ^ 2 + x + 1} \右)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

前面的例子直观地介绍了如何求解部分分式分解的系数。然而，有更有效的方法可以求解这些系数。

回想一下，为了使表达式相等，它们必须等于任何这些表达式中变量的值。因此，可以选择一个特定的变量的值，以便更有效地计算部分分式分解的系数。

求有理表达式的部分分式分解

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1}。$

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回顾上一节部分分式分解的形式

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{2}{x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{一}{x + 1} + \压裂{B} {x - 1}。$

将分数组合得到

$1 + \压裂{2}{x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{(x - 1) + B (x + 1)} {x ^ 2 - 1}。$

因为分母相等，所以分子一定相等:

$2 = (x - 1) + B (x + 1)。$

无论价值 $x$，这个方程的两边应该相等。一些聪明的价值选择 $x$会给出一个快速的解决方案吗 $一个$而且 $B。$

让 $x = 1,$这给了

$\开始{对齐}2 & = (1 - 1)+ B (1 + 1) \ \ 2 & = 2 B \ \ B & = 1。结束\{对齐}$

让 $x = 1,$这给了

$\开始{对齐}2 & = (1 - 1)+ B(1 + 1) \ \ 2 & = 2 \ \ & = 1。结束\{对齐}$

部分分式分解是

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 - \压裂{1}{x + 1} + \压裂{1}{x - 1}。\ _ \广场$

这种方法可以推广:

计算系数的变量选择方法:

给出部分分式分解形式

$\ \压裂压裂{A_1} {x-a_1} + {a₂}{x-a_2} + \ cdots + \压裂{an} {x-a_n},$

将这些有理表达式合并，使合并后的有理表达式等于原表达式。分母应该相等，所以分子也应该相等。写出分子相等的方程。

然后为每个 $ai,$替换 $x = ai$代入这个方程会得到 $ai。$

注意，这个方法在某种程度上“打破了规则”，因为这些特定的值 $x$会使有理表达式的分母等于 $0.$即使如此，这种方法也足以计算部分分式分解的系数值。这种方法在数学上更为严格的基础是限制的方法．

主要文章:部分分数-极限法

下面的方法比其他许多寻找部分分式分解系数的方法效率要低。然而，它构成了一些更有效的方法的基础。

求有理表达式的部分分式分解

$\压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14}。$

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分母可以分解为 $(x + 2) (x + 7)。$这就给出了部分分式分解形式

$\压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} = \压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7}。$

观察会发生什么当我们取右边的极限为 $x$方法 $2。$第一个有理表达式将趋于无穷，而第二个有理表达式将趋于一个常数。因此，这个和的极限等于第一个有理表达式的极限。

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 2} \离开(\压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{一}{x + 2} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} & = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{一}{x + 2}。结束\{对齐}$

方程两边同时乘以 $(x + 2)$因式，然后求极限:

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{1}{x + 7} & = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \ \ \ \ \压裂{1}{5}& = A \{对齐}结束$

同样的过程也用于计算 $B。$这次取极限为 $x$方法 $7:$

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 7} \离开(\压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{B} {x + 7} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} & = \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{B} {x + 7} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{1}{x + 2} & = \ lim_ B {x \ rightarrow 7} \ \ \ \ \压裂{1},{5}& = B \{对齐}结束$

因此，部分分式分解为

$\压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} = \压裂{1}{5 (x + 2)} - \压裂{1}{5 (x + 7)}。\ _ \广场$

主要文章:部分分数-掩盖规则

在讨论该方法之前，我们先来看一个例子: $\ dfrac {x 7} {(x - 1) (x + 2)} = \ dfrac {x - 1} + \ dfrac B {x + 2}。$得到 $一个$,掩盖 $(x - 1)$在左边代入 $(x - 1) = 0，$或 $x = 1,$在剩下的 $\压裂{x 7} {x + 2}:$ $\dfrac{1-7}{1+2} = - 2 = A。$同样的,对 $B$,替代 $X = -2 \$在 $\压裂{x 7} {x - 1}$得到 $\dfrac{-2-7}{-2-1} = 3 = B。$

我们终于有了 $\压裂{x 7} {(x - 1) (x + 2)} = \压裂{2}{x - 1} + \压裂{3}{x + 2}。$

换句话说，就是找到 $一个$，两边同时乘以分母 $一个$并获得 $\离开了。颜色\ dfrac {x 7} {{\ {# D61F06} (x - 1)} (x + 2)} \ * {{# D61F06} (x - 1)} \颜色= \ dfrac{一}{{\颜色{# D61F06} (x - 1)}} \ * {{# D61F06} (x - 1)} \颜色+ \ dfrac {B} {x + 2} \ * {{# D61F06} (x - 1)} \颜色\ | _ {x = 1}。$用 $(x - 1) = 0，$即。 $x = 1,$我们现在得到的值 $一个$．

Heaviside的掩盖方法link (MIT)

表达 $\压裂{2}{1 - x ^ 2}$部分分式。

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解决方案1:
分母 $(1 - x ^ 2)$可以分解为 $(1 - x) (1 + x)$．因此,让 $一个$而且 $B$保持恒定 $\frac{2}{1-x^2} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}。$两边同时乘以 $(1 - x ^ 2)$得到 $开始\{对齐}2 & = (1 + x) + B (1 - x) \ \ & = (A + B) + (A - B) x。\{对齐}$通过比较相似项，我们得到了以下方程组: $\开始{病例}+ B = 2 \ \ A - B = 0。\{病例}结束$我们解它，得到 $一个= 1$而且 $B = 1$．因此, $\frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}。\ _ \广场$

解决方案2:
我们可能会发现 $一个$而且 $B$通过插入两个不同的有效的值 $x$解联立方程 $一个$而且 $B$．

替代 $x=2 \隐含2 = 3A - B，$而且 $x = -2 \意味着2 = - A +3B。$
所以 $4 = 4 B \意味着= B$而且 $= 1,$如上所述。
注意“有效”这个词。你不能 $x = 1$或 $x = 1$在这里。

经常 $x = 0, x = 1,$而且 $x = 1$都是不错的选择。
总是试着接受价值 $x$,简化计算。
说我们有 $\压裂2 {3}$．然后 $x = 1$如果它适合另一种表达，那么它是一个好的选择吗 $x = 5。\ _ \广场$

$$解决方案3:
Heaviside的掩盖法:(不能用于二次因子)

我们有 ${对齐}\ \开始dfrac {2} {(1 - x) (1 + x)} & = \ dfrac{一}{1 - x} + \ dfrac {B} {1 + x} \ \ \ \ \。= \ dfrac{2}{1 + 1} \右| _ {x = 1} \ & = \ dfrac 2 2 \ \ & = 1 \ \ \ \ \。B = \ dfrac{2}{1 -(1)} \右| _ {x = 1} \ & = \ dfrac 2 2 \ \ & = 1,结束\{对齐}$这和上面一样。 $_ \广场$

写 $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)}$以部分分式的形式。

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首先让我们把给定的有理分写成如下: $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)} = \ dfrac{一}{x + 2} + \ dfrac {B} {x + 5}。$通过取LCM，右边也可以写成 $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)} = \ dfrac {(x + 5) + B (x + 2)} {(x + 2) (x + 5)}。$现在消去LHS和RHS的分母，我们得到 $A(x+5) + B(x+2) = 2x + 3。$求包含的项的值 $B$，我们必须去掉包含一词 $一个$价值。
替代 $x = 5$整个学期 $(x + 5)$等于 $0$,然后 $B(-5+2) = 2(-5) + 3 \暗示B = \frac{7}{3}。$现在，求的值 $一个$，我们必须消除 $B$．这意味着 $x = 2时,$这给了 $A(-2+5) = 2(-2) + 3 \暗示A = -\frac{1}{3}。$

因此，所需的部分分数为 $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)} = - \ dfrac {1} {3} (x + 2) + \ dfrac {7} {3 (x + 5)}。\ _ \广场$