部分分式 - 掩盖规则

在部分分式分解中掩盖事实真相规则是找到线性项的系数中的部分分数分解的技术。它是在一个部分分数发现常数更快的技术。当分母的产物，我们只能将此规则线性因子．

为了清楚地理解这个维基，你应该已经知道一些基本的方法有理函数成其适当的部分分数。盖式规则适用于线性项的计算的系数当在部分分式分解分母仅由线性要素或线性的组合，并且束缚因素．

为了使用掩盖法计算系数，首先建立一个部分分式分解，在分母中每个因子都有一个项。例如，如果分母有三个不同的线性项，我们就可以进行分解

$\压裂{F（X）} {（X-A）（X-B）（X-C）} = \压裂{A} {X-A} + \压裂{B} {X-B} + \压裂{C} {X-C}。$

然后由盖式方法， $一种$可以通过掩盖术语来计算 $(入)$代入左边的分母 $x = A.$在剩下的表达式中。这是可行的，因为计算相当于整个表达式乘以一项 $(入)$然后做替换 $x = A.$．这使

$A = \压裂{F（A）} {（A-B）（A-C）}。$

同样，代 $X = B$和 $X = C$，我们可以计算 $B.$和 $C$：

$B = \压裂{f (B)}, {(B) (C)} \四C = \压裂{f (C)} {(C - a) (cb)}。$

笔记：请记住，为了以施加部分分数，在分子多项式的度必须严格大于多项式的分母程度较小。如果不是这种情况，那么就必须先申请多项式除法获得商多项式和余数，对此分子的程度严格小于分母的小。部分分式可随后被施加到剩余部分。

下面是一个关于如何使用部分分式规则进行因式分解的基本示例。

鉴于部分分数

$\压裂{3 x} {(x - 1) (x + 2)} = \压裂{一}{x - 1} + \压裂{B} {x + 2},$

什么是值 $A + B ?$

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注意这个部分分式有两个不同的线性因子。获得 $一种$，掩盖因子 $(x - 1)$在左侧和替代 $X = 1$到其余条款获得

$A = \压裂{3（1）} {1 + 2} = \压裂{3} {3} = 1。$

同样，计算 $B.$,替代 $x = 2$进入 $\压裂{3×} {X - 1}$要得到

$B = \压裂{3（-2）} { - 2 - 1} = \压裂{-6} { - 3} = 2。$

因此, $A + B = 1 + 2 = 3$． $_\正方形$

尝试基于应用部分分数的理解下面的问题。

本节与可以应用掩盖规则的场景相关联。下面是一些基于该规则应用的例子和问题:

求的部分因子分解

$\压裂{X ^ 2 + X - 1} {X（X ^ 2-1）}。$

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注意分母是 $x (x ^ 2 - 1) = x (x - 1) (x + 1)$，这是不同的线性因子的乘积。则部分因子分解可以被写为

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x (x + 1) (x - 1)} = \ \压裂压裂{一}{x} + {B} {x + 1} + \压裂{C} {x - 1}。$

计算 $一种$，掩盖术语 $X$代入左边的分母 $x = 0的$在其余方面获得 $A = \压裂{0 ^ 2 + 0-1} {（0 + 1）（0-1）} = \压裂{-1} { - 1} = 1$．同样，掩饰 $（X + 1）$和替代 $X = -1$获得 $B = \压裂{-1} {2}$和掩盖 $(x - 1)$和替代 $X = 1$获得 $C = \压裂{1}{2}$．因此，部分分式分解为

$\压裂{X ^ 2 + X - 1} {X（X ^ 2-1）} = \压裂{1} {X} - \压裂{1} {2（X + 1）} + \压裂{1}{2（X-1）}。\ _\正方形$

鉴于部分分数

$\压裂{6×} {（X ^ 2 2）（X - 1）} = \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2} + \压裂{C} {X - 1}，$

什么是值 $A + B + C？$

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这种部分分式分解有一个不可约二次因子和一个线性因子。我们计算线性项系数 $C$通过掩盖这一项 $X-1$在左手侧和替代 $X = 1$到其余的条款。这使 $C = 0{1^2+2} =2。$计算 $一种$和 $B.$我们替换这个值 $C$进入方程，以获得

$\开始{对齐} \压裂{6×} {（X ^ 2 2）（X - 1）}＆= \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2} + \压裂{2} {X - 1} \\ \压裂{6×} {（X ^ 2 2）（X - 1）} - \压裂{2} {X - 1}＆= \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2} \\ \压裂{6× - 2（X ^ 2 + 2）} {（X ^ 2 + 2）（X-1）}＆= \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2} \\ \压裂{-2（X-1）（X-2）} {（X ^ 2 + 2）（X-1）}＆= \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2} \\ \压裂{-2（X-2）} {（X ^ 2 + 2）}＆= \压裂{AX + B} {X ^ 2 + 2}。\结束{对齐}$

所以， $A = -2，B = 4$， 这使 $A + B + C = -2 + 4 + 2 = 4$． $_\正方形$

本题考查对阶乘掩盖规则用法的理解。

下面两题中的长方程，应用部分分式法则，可以很容易地简化为较短的形式。

进一步的问题也需要明智地使用部分分式规则来解决。

本节包含几个问题试图建立解决问题的能力，涉及的部分分式规则的使用。

• 多项式因式分解

• 差异方法

• 伸缩式系列

• 多项式插值