积分中的三角代换

像其他一样替换在微积分中，三角液取代提供了一种通过将其减少到更简单的代表来评估积分的方法。三角替代在整合中采用模式，类似于共同的三角关系，最常见于可能不被其他方法简单地评估的激进或合理函数的积分。这些替换通常与...一起使用基本三角关系偶尔product-to-sum身份以及其他集成技术，包括分部集成和 $U$-替换．

三角替换是一种特殊类型的 $U$-替换并严重依赖于为此开发的技术。

他们使用关键关系 $\sin^2x+\cos^2x=1$, $tan^2x + 1 = sec^2x$, $cot^2x + 1 = csc^2x$将积分转换成更简单的形式。三角函数的导数也是确定简化表达式的最佳方法所必需的。

在适用的情况下，平方根的符号可由 $\西塔$．

最常见和直接的应用之一是二次函数的倒数的积分。

评估

$\int\frac{dx}{x^2+1}。$

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从上表中可以看出 $x=\tan\theta$满足方程式 ${d\theta} = 1 + x^2$．这样就有了一些直观的感觉

$d\theta=\frac{dx}{1+x^2}。$

接下来就是

${dx}{x^2 + 1} = int d\theta = int 1 \， d\theta = + C，$

哪里 $C$是积分的常数。回顾 $x=\tan\theta$， 这 ” $\西塔$替换” $\θ=\arctan x$证明了积分是

$\ int \ frac {dx} {x ^ 2 + 1} = \ theta + c = \ arctan x + c. \ _ \ square$

一般来说，正切或余切替换对有理函数的积分很有帮助，尤其是那些分母是偶数的函数。这个概念将在下面的有理函数一节中进一步探讨。

三角替换也有助于积分某些类型的根函数，特别是那些涉及二次函数的平方根的函数。事实上，这种方法可以验证已知的圆的面积公式。

求半径的圆的面积 $R$以原点为中心。

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圆圈的等式是 $Y ^ 2 + x ^ 2 = r ^ 2$，它横跨了对称性 $x$- 和 $Y$-斧头。因此，圆的面积是象限I中圆部分面积的四倍，即以 $y=0$, $x = 0.$和 $y = \ sqrt {r ^ 2 - x ^ 2}$. 因此，所讨论的积分是

$4 \int_0^r \根号{r^2-x^2}， dx。$

上表显示，在象限I， $x=r\sin\theta$满足方程式 $\tfrac{dx}{d\theta}=r\sqrt{1-x^2}$．这样就有了一些直观的感觉

$Dx = r√{1 - x^2} d。$

因此," $\西塔$替换” $\θ=r\n角x$收益率

$\3.2-x ^ 2{对齐}4{对齐}4{对齐}4{3{对齐}4{3{对齐{3}4{3{3{3{1{2-x{2-x{2-x{2-2-x{2}2}4{4{1{1{1{1-pi/2{2{3}3-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-3-3-1-3-3-1-3-3-3-3-3-3-3-3-3-1-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3-3_0^{\pi/2}\frac{1+\cos（2\theta）}{2}\，d\theta\\&=4r^2\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin（2\theta）}{4}\right]\u 0^{\pi/2}\\&=4r^2\left（\frac{\pi}{4}-0\right）\&=\boxed{\pi r^2}\结束{对齐}$

二倍角公式，由product-to-sum公式，以完成计算。 $_\方格$

对于任何正整数 $N$,功能 $\因为^ nx$和 $罪\ ^ nx$可以表示为元素的倍数之和 $\{1，\，\cos x，\，\cos（2x），\，\dots，\，\cos（nx）\}$和 $\ {1 \ \ sin (x)、\ \罪(2 x), \ \点,,\ \罪(nx) \},$分别地例如，双角度公式产生

$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos（2x）\\text{and}\\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos（2x）。$

通过表达，一个典型的 $U$-替代类 $u = nx$可用于帮助集成表达式。

评估 $\显示样式\int\sin^3x\，dx。$

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注意

$\开始{aligned}\sin（3x）&=\cos x\sin（2x）+\cos（2x）\sin x\\&=2\cos^2 x\sin x+\big（1-2\sin^2 x\big）\sin x\\\&=3\sin x-4\sin^3 x\结束{对齐}$

因此 $罪\ ^ 3 x = \压裂{3}{4}\ sin (x) - \压裂{1}{4}\罪(3倍)$. 所以,，

$\开始{aligned}\int\sin^3x\，dx&=\int\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{4}\sin（3x）\，dx\\\&=\frac{1}{12}\cos（3x）-\frac{3}{4}\cos x+C，结束{aligned}$

哪里 $C$是积分的常数。 $_\方格$

三角函数之间的许多关系是二阶的，因此逆关系可能涉及平方根。因此，涉及平方根的积分可以通过使用三角替换来简化。特别是，涉及二次函数平方根的表达式可能受益于余弦或割线替换。正弦替换与余弦替换在相同的场景中工作，余割替换与正割替换在相同的场景中工作。

给出了表达式的形式 $根号{ax^2 + bx + c}$，考虑的迹象 $A.$和 $d = B ^ 2 - 4ac$. 如果 $D$是正的，那么三角替换可能会有帮助。积极 $A.$，在完成平方后，sec替换可能会有帮助;为负 $A.$，余弦替换在完成平方后可能会有所帮助。 $($如果 $D$是负的，那么切线或双曲三角替换可能会有帮助。 $)$

这样的替换可能会有所帮助，因为它可以通过使用三角恒等式从表达式中删除根。

评估 ${√{2x - x^2}} \， dx。$

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替换 $cos = x - 1$简化积分： $\ begin {对齐} \ int \ frac {1} {\ sqrt {2x-x ^ 2}} \，dx＆= \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 - （x - 1）^ 2}}\，dx \\＆= \ int \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ cos ^ 2 \ theta}}}} \ cdot（ - \ sin \ theta）\，d \ theta \\＆= \ int \ frac{ - \ sin \ theta} {\ sin \ theta} \，d \ theta \\＆= - \ theta + c \\＆= - \ arccos（x - 1）+ c，\ end {对齐}$哪里 $C$是积分的常数。 $_\方格$

评估 $\ int \ frac {1} {\ sqrt {4x ^ 2 - 1}}} \，dx。$

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替换 $\秒\θ= 2 x$简化积分： $\开始{对齐}\ int \压裂{1}{\ sqrt {4 x ^ 2 - 1}} \, dx & = \ int \压裂{1}{\√6 {\ sec ^ 2 \θ- 1}}\ cdot \大(\ tfrac{1}{2} \秒\θ\ tan \θ\大)\,θd \ \ \ & = \ int \压裂{\秒\θ\ tan \θ}{2θ\ tan \} \,θd \ \ \ & = \ int \ tfrac{1}{2} \秒\θdθ\ \ \ & = \ tfrac {1} {2} \ ln谭(\ \θ+ \秒\θ)+ C \ \ & = \ tfrac {1} {2} \ ln \大(2 x + \√{4 x ^ 2 - 1} \大)+ C \{对齐}结束$哪里 $C$是积分的常数。 $_\方格$

在分母中包含二次多项式的有理函数经常容易被替换为正切函数，以及这些正切替换 $($加上对 $\ ln)$是部分分式分解. 对于每个没有实根的二次多项式，其思想是完成平方运算，并用切线函数替换平方部分。

这个替换背后的思想是用微分项“约去”部分分母 $（dx$依据 $d \θ)$为了集成更小的表达式。如果应用得当，某些内容将被抵消，因为 ${d\theta} = 1 + x^2，$哪里 $x=\tan\theta$．

评估

$1 \ \ int_0 ^压裂{2}{t ^ 2 + 3} \, dt。$

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" $\西塔$替换” $t = \ sqrt {3} \ tan \ theta$简化积分：

$\ begin {对齐} \ int_0 ^ 1 \ frac {2} {t ^ 2 + 3} \，dt＆= \ int_0 ^ {\ pi / 6} \ frac {2} {3 \ tan ^ 2 \ theta + 3} \ cdot \ big（\ sqrt {3} \ sec ^ 2 \ theta \ big）\，d \ theta \\＆= \ int_0 ^ {\ pi / 6} \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} \，d \ theta \\＆= \ frac {\ sqrt {3} \ pi} {9}。\结束{对齐}$

注意，极限的变化与 $\西塔$替换;也就是说, $\sqrt{3}\tan\tfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}=1$． $_\方格$

回想一下半角公式

$左(\ \因为\ tfrac{\θ}{2}\右)= \√6 {\ tfrac{1}{2}(1 + \因为\θ)}{和}\ \罪\ \ \文本左(\ tfrac{\θ}{2}\右)= \√6 {\ tfrac{1}{2}(1 - \因为\θ)}。$

知道这些对于简化许多涉及三角替换的表达式是有帮助的。更有用的是切半角公式

$谭\ \离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)= \压裂{\罪\离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)}{\因为\离开(\ tfrac{\θ}{2}\右)}= \√6{\压裂{1 -θ\因为\}{1 + \ cosθ\}}= \√6{\压裂{(1 - \因为\θ)^ 2}{1 -θ\ cos ^ 2 \}} = \压裂{1 -θ\因为\}{\罪\θ}。$

半角切线替换还有一个性质，如果 $t=\tan\left（\tfrac{\theta}{2}\right）$,

$\开始{array}{c}&\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}，&\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}，&\tan\theta=\frac{2t}{1-t^2}。\end{array}$

对于许多涉及三角函数的有理函数，这样的替换可以使表达式看起来更可积。

找到价值 $\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{dx}{2+\cos x}\，dx。$

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积分等于

$\ int_0 ^ \ frac {\ pi} {2} \ frac {dx} {2+ \ cos x} \，dx = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ frac {2dt} {1 + t ^ 2}} {2+ \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}} = \ int_0 ^ 1 \ frac {2} {t ^ 2 + 3} \，dt。$

这个积分可以使用上一节中概述的方法来完成，它的计算结果为 $\压裂{\π\ sqrt{3}}{9}。\ _ \广场$

• 半张角切线替换
• 不定积分
• 分部集成
• 集成技巧
• 部分分式分解
• 三角恒等式
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