$ugydF4y2Ba$替换gydF4y2Ba

随着gydF4y2Ba分部积分法gydF4y2Ba,gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$替换gydF4y2Ba是一种积分技术，常用于无法直接求解的积分。操作步骤如下:gydF4y2Ba

• (我)gydF4y2Ba找到要被替换的术语，就这样吧gydF4y2Ba $u。gydF4y2Ba$

• (2)gydF4y2Ba找到gydF4y2Ba $杜gydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$而言,gydF4y2Ba $dx)。gydF4y2Ba$

• (3)gydF4y2Ba替代gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $杜gydF4y2Ba$的表达式。gydF4y2Ba

• (iv)gydF4y2Ba关于的积分gydF4y2Ba $u,gydF4y2Ba$然后替换gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$回到结果。gydF4y2Ba

例如，我们有一个这样的积分gydF4y2Ba $\ int f (x) f (x) \, dx。gydF4y2Ba$解决这个问题的过程gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-代换如下:gydF4y2Ba

• (我)gydF4y2Ba首先我们要找到要替换的零件gydF4y2Ba $u。gydF4y2Ba$在这种情况下gydF4y2Ba $u = f (x)gydF4y2Ba$将是合适的。gydF4y2Ba

• (2)gydF4y2Ba然后我们发现gydF4y2Ba $杜gydF4y2Ba$通过对两边求导gydF4y2Ba $u = f (x):gydF4y2Ba$ $du = f (x) \, dx。gydF4y2Ba$

• (3)gydF4y2Ba现在,取代gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $dxgydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $杜gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba $\int f(x)f'(x)\， dx=\int u\， du。gydF4y2Ba$

• (iv)gydF4y2Ba最后，我们对积分gydF4y2Ba $u,gydF4y2Ba$和替代gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$返回到结果中获取gydF4y2Ba $u \ \ int, du = \压裂{1}{2}你^ 2 + C = \压裂{1}{2}\大(f (x) \大)^ 2 + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba

观察用复合函数的微分法对结果进行微分gydF4y2Ba $f (x) f (x)。gydF4y2Ba$当你习惯的时候gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-代换，你会发现积分通过gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-代换和复合函数的微分是完全相反的，但我们现在只关注基础知识。gydF4y2Ba

对于初学者来说，确定表达式的哪一部分应该被替换可能不是那么容易。第一步，我们从已知替换的问题开始。当你学习这些例子的时候，你会在决定用积分的哪一部分代入时获得一些感觉。gydF4y2Ba

使用替换gydF4y2Ba $u = x ^ 3 + 1,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x ^ 2 \√{x ^ 3 + 1} ~ dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x ^ 3 + 1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $du = 3 x ^ 2 dx。gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ int x ^ 2 \√{x ^ 3 + 1} \, dx = \ int \压裂{1}{3}\ sqrt{你}\,du \ \ & = \压裂{2}{9}你^{\压裂{3}{2}}+ C \ \ & = \压裂{2}{9}\大(x ^ 3 + 1 \大)\ sqrt {x ^ 3 + 1} + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = x ^ 3,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x ^ 2 e ^ {x ^ 3} dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x ^ 3,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $du = 3 x ^ 2 dx。gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\ int x ^ 2 e ^ {x ^ 3} dx = \ int \压裂{1}{3}e ^ udu = \压裂{1}{3}e ^ {x ^ 3} + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = x + 3,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int x (x + 3) ^ 9 dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x + 3,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $du = dx。gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ int x (x + 3) ^ 9 dx = \ int (u - 3) u ^ 9 du \ \ & = \ int \大(u ^ {10} 3 u ^ 9 \大)\,du \ \ & = \压裂{1}{11}你^{11}- \压裂{3}{10}你^ {10}+ C \ \ & = \压裂{1}{11}(x + 3) ^{11} - \压裂{3}{10}(x + 3) ^ {10} + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = \ sin (x),gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\displaystyle{\int \sin^5 x\cos x\， dx.}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = \ sin (x),gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $du = \因为新。gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $罪\开始{对齐}\ int \ ^ 5 x x \ \因为,dx = \ int u ^ 5 du \ \ & = \压裂{1}{6}u ^ 6 + C \ \ & = \压裂{1}{6}\罪^ 6 x + C \{对齐}结束gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

当涉及到集成使用gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-定积分的代换，我们需要记住一件事:积分区间必须更改为gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$对应于给定的区间gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$让我们试试上面积分过的函数的定积分。gydF4y2Ba

使用替换gydF4y2Ba $u = x ^ 3 + 1,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int_0 ^ 2 x ^ 2 \√{x ^ 3 + 1} ~ dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x ^ 3 + 1,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $\begin{aligned} du&=3x^2dx\\ x&=0\rightarrow u=1\\ x&=2\rightarrow u=9。结束\{对齐}gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba ${对齐}\ \开始int_0 ^ 2 x ^ 2 \√{x ^ 3 + 1} \, dx = \ int_1 ^ 9 \压裂{1}{3}\ sqrt{你}\,du \ \ & = \离开了。u ^ \压裂{2}{9}{\压裂{3}{2}}\右| _1 ^ 9 \ \ & = \压裂{52}{9}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = x ^ 3,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int_0 ^ 2 x ^ 2 e ^ {x ^ 3} dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x ^ 3,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $\begin{aligned} du&=3x^2dx\\ x&=0\rightarrow u=0\\ x&=2\rightarrow u=8。结束\{对齐}gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\ int_0 ^ 2 x ^ 2 e ^ {x ^ 3} dx = \ int_0 ^ 8 \压裂{1}{3}e ^ udu = \离开。\压裂{1}{3}e ^ u \右| _0 ^ 8 = \压裂{1}{3}\大(e ^ 8 - 1 \大)。\ _ \广场gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = x + 3,gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int_ {3} ^ 0 x (x + 3) ^ 9 dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = x + 3,gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $\begin{aligned} du&=dx\\ x=-3&\rightarrow u=0\\ x=0&\rightarrow u=3。结束\{对齐}gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ int_ {3} ^ 0 x (x + 3) ^ 9 dx = \ int_0 ^ 3 (u - 3) u ^ 9 du \ \ & = \ int_0 ^ 3 \大(u ^ {10} 3 u ^ 9 \大)左du \ \ & = \[\压裂{1}{11}你^{11}- \压裂{3}{10}你^{10}\右]_0 ^ 3 \ \ & = - \压裂{3 ^{11}}{110}。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

使用替换gydF4y2Ba $u = \ sin (x),gydF4y2Ba$找到gydF4y2Ba $\ displaystyle {\ int_0 ^{\压裂{\π}{2}}\罪^ 5 x x \ \因为,dx。}gydF4y2Ba$

---

从gydF4y2Ba $u = \ sin (x),gydF4y2Ba$我们有gydF4y2Ba $\{对齐}开始du = x \ \因为,dx \ \ x = 0 \ rightarrow u = 0 \ \ x = \压裂{\π}{2}\ rightarrow u = 1。结束\{对齐}gydF4y2Ba$因此，给出的表达式等价于gydF4y2Ba $\ int_0 ^{\压裂{\π}{2}}\罪^ 5 x x \ \因为,dx = \ int_0 ^ 1 u ^ 5 du = \离开。\压裂{1}{6}你^ 6 \对吧| _0 ^ 1 = \压裂{1}{6}。\ _ \广场gydF4y2Ba$

$ugydF4y2Ba$-代换是简化积分的好方法。它是一种在很多其他形式的积分中使用的技巧，比如分部积分和臭名昭著的三角子。gydF4y2Ba

$ugydF4y2Ba$-替换一般有两种形式，其中gydF4y2Ba $f (x) = ugydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $f (u) = xgydF4y2Ba$．注意微分的链式法则基本等价于gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$子的积分。gydF4y2Ba

评估gydF4y2Ba $\displaystyle \int x\ln x\， dxgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

让gydF4y2Ba $x = e ^ ugydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $dx = e ^ u \, dugydF4y2Ba$．然后想想gydF4y2Ba $dxgydF4y2Ba$作为一个“变量”，并将其替换gydF4y2Ba $dx = e ^ u \ du:gydF4y2Ba$ $\int e^u\ ln e^u (e^u\，du)= \int e^{2u} u\，du。gydF4y2Ba$做一个gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$-sub(和a一样gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-sub但使用不同的变量)，我们有gydF4y2Ba $\{对齐}开始w = 2 u \ \ dw = 2 \ du \ \ du = \压裂{dw} {2} \ \ \ Rightarrow \ int e ^ {2 u} \, du & = \ int e ^ {w} \离开(\压裂{w}{2} \) \离开(\压裂{dw}{2} \) \ \ & = \压裂{1}{4}\ int我们^ w \ dw。结束\ qquad(1) \{对齐}gydF4y2Ba$现在，分部积分，gydF4y2Ba $\displaystyle \int a\，db=ab-\displaystyle \int b\，da。gydF4y2Ba$请注意,gydF4y2Ba $dbgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $达gydF4y2Ba$不是说对它求导gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$,但gydF4y2Ba $达gydF4y2Ba$是的导数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $dbgydF4y2Ba$是的导数gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$．我们让gydF4y2Ba $一个= wgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $db = e ^ wgydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $da = 1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $b = e ^ wgydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$的积分和导数gydF4y2Ba $w e ^gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $e ^ w)。gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$可以改写为gydF4y2Ba ${对齐}\ \开始压裂{1}{4}\ int我们w dw & ^ = \压裂{1}{4}我们^ w - \压裂{1}{4}\ displaystyle \ w dw int e ^ \ \ & = \压裂{1}{4}(我们^ w e ^ w)。结束\ qquad(2) \{对齐}gydF4y2Ba$为我们的最后一步gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-替换，我们必须重新替换gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $你:gydF4y2Ba$ $w = 2 ugydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $u = \ ln (x)gydF4y2Ba$．然后我们可以重写gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$作为gydF4y2Ba $\开始{对齐}\压裂{1}{4}\离开(我们^ w e ^ w \右)& = \压裂{1}{4}\离开(2问题^ {2 u} - e ^ {2 u} \) \ \ & = \压裂{1}{4}\大(2 (\ ln x) e ^ {2 \ lnx} - e ^ {2 \ lnx} \大)\ \ & = \压裂{1}{4}\离开(2 x ^ 2 \ ln x ^ 2 \) \ \ & = \压裂{1}{4}x ^ 2 (2 \ ln x - 1)。\ \ _ \广场结束{对齐}gydF4y2Ba$

现在我们将讨论一种特殊但经常使用的形式gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$-代换，也就是gydF4y2Ba $\ ln \大\ lvert f (x) \ \ rvertgydF4y2Ba$的形式。考虑这个形式的积分gydF4y2Ba $int \ \ dfrac {f (x)} {f (x)} dx。\ qquad (1)gydF4y2Ba$我们的替代品gydF4y2Ba $u = f (x)gydF4y2Ba$这gydF4y2Ba $du = f (x) \, dxgydF4y2Ba$．然后gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$相当于gydF4y2Ba $int \ \ dfrac{1}{你}\,du = \ ln \ \ rvert lvert u + C = \ ln \大\ lvert f (x) \ \ rvert + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。因此我们可以很容易地计算形式的积分gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$，或者我们可以操纵表达式，将它们变成这种形式。gydF4y2Ba

评估gydF4y2Ba $^ \ displaystyle {\ int \压裂{e x - e ^ {x}} {e ^ x + e ^ {x}} \, dx。}gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $u = x + e e ^ ^ {- x}。gydF4y2Ba$然后我们有gydF4y2Ba $du = (e ^ x - e ^ {- x}) \, dx,gydF4y2Ba$由此得出结论gydF4y2Ba $int \ \压裂^ {e x - e ^ {x}} {e ^ x + e ^ {x}} \, dx = \ int \压裂{du}{你}= \ ln \ \ rvert lvert u + C = \ ln \ \大lvert e ^ x + e ^ {- x} \ \ rvert + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估gydF4y2Ba $int \ displaystyle{\ \压裂{2 x + 3} {x ^ 2 + 3 * 4} \, dx。}gydF4y2Ba$

---

让gydF4y2Ba $u = x ^ 2 + 3 * 4。gydF4y2Ba$然后我们有gydF4y2Ba $du = (2 x + 3) \, dx,gydF4y2Ba$由此得出结论gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ int \压裂{2 x + 3} {x ^ 2 + 3 * 4} \, dx = \ int \压裂{du}{你}\ \ & = \ ln \ \ rvert lvert u + C \ \ & = \ ln \大\ lvert x ^ 2 + 3 * 4 \ \ rvert + C,结束\{对齐}gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估gydF4y2Ba $\displaystyle \int \cot x\，dxgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

我们有gydF4y2Ba $x \ \ int \床,dx = \ int \ dfrac {\ cos x} {\ sin (x)} \, dx = \ int \ dfrac {(\ sin (x))} {\ sin (x)} dx = \ ln \ lvert \ sin (x) \ rvert + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

评估gydF4y2Ba $\displaystyle \int \dfrac{1}{\ln x^x}dxgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

我们有gydF4y2Ba $int \ \ dfrac {1} {\ ln x ^} dx = \ int \ dfrac {1} {x \ ln} dx = \ int \ dfrac{\压裂{1}{x}} {x} \ ln dx = \ int \ dfrac {(\ ln x)} {x} \ ln dx = \ ln \ lvert \ lnx \ rvert + C,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$是积分的常数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$