代数基本定理
做出了贡献的
这个领域
多项式
2+1没有实根,但有两个复根 和 我. 多项式
2+我有两个复杂的根源,即 21−我.
有人可能会想到的是复系数多项式有问题类似于那些真正的多项式的根不存在;也就是说,它是没有道理的猜测,一些多项式样
保理
本节给出的代数基本定理的不同等价形式更确切的说法。这需要一个多项式的根的多重性的定义。
的
让
是一个字段。以下是等价的: (1)每一个有系数的非常多项式
在根 .
(2)每次的非常多项式随系数 有 根 ,数和多样性。 (3)每个非恒定的多项式系数 作为线性因子与系数的乘积完全分裂 .
很明显(3)
(2) (1),所以唯一的非平凡部分是(1) 要看到这一点,请在程度上归纳 的 (x).的基本情况 =1是明确的。现在假设这个结果对阶多项式成立 −1.然后让 (x)是一次多项式 .(1), (x)有一个根 .一个标准的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/division-algorithm/" class="wiki_link" title="辗转相除法gydF4y2Ba" target="_blank">辗转相除法一个>论证表明, −一个是…的一个因素 (x): gydF4y2Ba分
(x)通过 −一个得到 (x)=(x−一个)问(x)+r,在哪里 是常数多项式。插入 双方给出 =(一个−一个)问(一个)+r,所以 =0.所以 (x)=(x−一个)问(x).但 (x)是次多项式吗 −1,它通过归纳假设分解成线性因子的乘积。因此 (x)确实。所以结果是通过感应证明。
代数基本定理说场
如果
定理的应用
在复数上因式分解多项式的能力可以将其他领域(如实数)上的许多困难的非线性问题简化为复数上的线性问题。例如,每个复数上的方阵都有一个复数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eigenvalues-and-eigenvectors/" class="wiki_link" title="特征值gydF4y2Ba" target="_blank">特征值一个>,因为特征多项式总有根。对于实数,例如矩阵,这是不正确的
gydF4y2Ba另一个普遍应用是代数几何领域,或多项式方程解的研究。该多项式方程的系数处于一个代数闭场的假设是简化和加强理论必不可少的,因为它保证该字段是“足够大”包含多项式的根。例如,一套复杂的解决方案,以实系数多项式方程往往比一套真正的解决方案的更自然的和有用的特性。
gydF4y2Ba另一个值得一提的应用是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integration-with-partial-fractions/" class="wiki_link" title="部分分数积分gydF4y2Ba" target="_blank">部分分数积分一个>.在实数,也有涉及分母的不可约二次因素尴尬情况。代数是通过使用部分分式在复数(需要提醒的是一些简化<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-analysis/" class="wiki_link" title="复杂的分析gydF4y2Ba" target="_blank">复杂的分析一个>需要解释所得的积分)。
在实数多项式
让
gydF4y2Ba例如,多项式
每一个多项式
上的感应
.该基地病例 =1和 =2,这是微不足道的。现在假设这个定理对于阶多项式是成立的 −2和 −1.让 (x)是一次多项式 ,,让 是一个复杂的根 (x)(其由代数基本定理存在)。有两种情况。 gydF4y2Ba如果
是真实的,那么 (x)=(x−一个)问(x)对于一个多项式 (x)是实数系数 −1.通过归纳假设, (x)可以分解成线性和不可约二次因子的乘积,那么 (x)也可以。 gydF4y2Ba如果
不是真的,那就让 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-conjugates/" class="wiki_link" title="复共轭gydF4y2Ba" target="_blank">复共轭一个>的 .请注意, =一个.写
证明定理的
这个定理没有“基本”的证明。最简单的证明使用的是来自<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-analysis/" class="wiki_link" title="复杂的分析gydF4y2Ba" target="_blank">复杂的分析一个>.这里有一个使用的证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-integral-formula/" class="wiki_link" title="刘维定理gydF4y2Ba" target="_blank">刘维定理一个>一个有界<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/holomorphic-function/" class="wiki_link" title="全纯函数gydF4y2Ba" target="_blank">全纯函数一个>对整个飞机必须是恒定的,从一个基本的事实沿<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构gydF4y2Ba" target="_blank">拓扑结构一个>关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/compact-sets/" class="wiki_link" title="紧凑的集gydF4y2Ba" target="_blank">紧凑的集一个>.
gydF4y2Ba让
gydF4y2Ba现在
但是在光盘中
然后
gydF4y2Ba这样的论点已经表明具有复系数的任何非恒定多项式具有复杂根,如需要的话。