求下列有理表达式的部分分式分解:
x3.+8x2+8.
分母可以分解为一个立方体的和:
x3.+8=(x+2)(x2−2x+4).
二次因子有复根,所以不能再分解了。在部分分式分解中
x+2分母是常数分子,然后
x2−2x+4分母有一个线性二项式分子:
x3.+8x2+8=x+2一个+x2−2x+4Bx+C.
为了求解系数,将等式右边的分数组合起来:
x3.+8x2+8=(x+2)(x2−2x+4)一个(x2−2x+4)+(Bx+C)(x+2).
既然分母相等,分子也必须相等:
x2+8=一个(x2−2x+4)+(Bx+C)(x+2).
设置
x=−2在这个方程中
一个=1.其余条款按程度分组:
x2+8=1(x2−2x+4)+(Bx+C)(x+2)=x2−2x+4+Bx2+2Bx+Cx+2C=(B+1)x2+(2B+C−2)x+(2C+4).
这就给出了方程组
108=B+1=2B+C−2=2C+4.
解这个方程组得到
B=0和
C=2.部分分式分解是
x3.+8x2+8=x+21+x2−2x+42.□