当存在重复因子时,部分分式分解形式略有不同。
重复因子部分分式分解形式:
一旦表单完成,您可以遵循与线性因子相同的过程求出系数.
求以下有理表达式的部分分式分解:
x3.+3.x2+3.x+1x2+x+1.
分母可以因式分解为完美立方:
x3.+3.x2+3.x+1=(x+1)3..
这个因子的倍数是3。因此,部分分式分解需要3个有理式,每一个有理式都有
(x+1)取不同的正整数的3次方。自
(x+1)是线性因子,每一个有理表达式都有一个常数分子系数:
x3.+3.x2+3.x+1x2+x+1=x+1一个+(x+1)2B+(x+1)3.C.
为了求出系数,把方程右边的分数结合起来:
x3.+3.x2+3.x+1x2+x+1=(x+1)3.一个(x+1)2+B(x+1)+C.
因为分母相等,分子也必须相等:
x2+x+1=一个(x+1)2+B(x+1)+C.
设置
x=−1在这个方程中
C=1.将剩下的项按程度分组:
x2+x+1x2+x+1x2+x+1=一个(x+1)2+B(x+1)+1=一个x2+2一个x+一个+Bx+B+1=一个x2+(2一个+B)x+(一个+B+1).
这就给出了以下方程组:
一个2一个+B=1=1.
解这个方程组得到
一个=1而且
B=−1.那么部分分式分解是
x3.+3.x2+3.x+1x2+x+1=x+11−(x+1)21+(x+1)3.1.□
求以下有理表达式的部分分式分解:
x4−8x2+1616.
分母可以因式分解为完全平方:
x4−8x2+16=(x2−4)2,
然后分解成平方之差:
(x2−4)2=(x−2)2(x+2)2.
每个因素都有多重性2。因此,在部分分式分解中应该有4个有理表达式。因子是线性的,所以每个有理表达式都有一个常数分子系数:
x4−8x2+1616=x−2一个+(x−2)2B+x+2C+(x+2)2D.
通过将方程右边的分数组合来求解系数:
x4−8x2+1616=(x−2)2(x+2)2一个(x−2)(x+2)2+B(x+2)2+C(x−2)2(x+2)+D(x−2)2.
因为分母相等,所以分子也相等:
16=一个(x−2)(x+2)2+B(x+2)2+C(x−2)2(x+2)+D(x−2)2.
设置
x=2在这个方程中
B=1.设置
x=−2在这个方程中
D=1.其他系数必须通过将项按程度分组来求解:
161616=一个(x−2)(x+2)2+(x+2)2+C(x−2)2(x+2)+(x−2)2=一个(x3.+2x2−4x−8)+(x2+4x+4)+C(x3.−2x2−4x+8)+(x2−4x+4)=(一个+C)x3.+(2一个−2C+2)x2+(−4一个−4C)x+(−8一个+8C+8).
这就给出了方程组
一个+C2一个−2C+2=0=0.
解这个方程组得到
一个=−21而且
C=21.那么部分分式分解是
x4−8x2+1616=2(x−2)−1+(x−2)21+2(x+2)1+(x+2)21.□