证明三角恒等式

三角恒等式是涉及三角函数的等式。三角恒等式的一个例子是

$\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1。$

为了证明三角恒等式，我们通常使用其他已知的恒等式，例如毕达哥拉斯的身份．

证明 $(1 - sin x) (1 + csc x) = cos x, cot x。$

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我们有

$（1 - \ SIN x）（1 + \ csc x）=（1 - sin x）\ left（1 + \ frac {1} {\ sin x} \右）。$

把括号展开，我们得到

$\开始{对齐}1 + \压裂{1}{\ sin (x)} - \ sin (x) 1 & = \压裂{1}{\ sin (x)} - \ sin (x) \ \ \ \ & = \压裂{1 - \罪^ x} {2} {\ sin (x)} \ \ \ \ & = \压裂{\因为^ x} {2} {\ sin (x)} \ \ \ \ & = \因为x \压裂{\ cos x} {\ sin (x)} \ \ \ \ & = \ cos x \床。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明 $\ dfrac {\ cos ^ 3 x + \ sin ^ 3 x} {\ cos x + sin x} + \ dfrac {\ cos ^ 3 x - \ sin ^ 3 x} {\ cos x - \ sin x} =2。$

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我们都知道 $a ^ 3 - b ^ 3 =（a + b）\ big（a ^ 2 + b ^ 2 - ab \ big），$我们可以用它来证明:

$\ begin {对齐} \ dfrac {\ cos ^ 3 x + \ sin ^ 3 x} {\ cos x + \ sin x} + \ dfrac {\ cos ^ 3 x - \ sin ^ 3 x} {\ cos x -\ sin x}＆= \ dfrac {（\ cos x + \ sin x）（\ cos ^ 2 x + sin ^ 2 x - \ sin x \ cos}} {\ cos x + \ sin x} +dfrac {（\ cos x - \ sin x）（\ cos ^ 2 x + sin ^ 2 x + sin x \ cos x）} {\ cos x - \ sin x} \\ \\＆= 2（\sin ^ 2 x + cos ^ 2 x）+ \ sin x \ cos x - \ sin x \ cos x \\ \\＆= 2. \ _ \ square \ END {对齐}$

证明三角恒等式就是证明恒等式总是正确的，不管值是多少 $X$或 $\ theta.$使用。

因为它必须保持所有值 $X$，我们不能简单地代入 $X$“展示”他们是平等的。双方都有若干值相等（即当我们解决方程时），我们可能错误地认为我们有一个真实的身份。

相反，我们必须使用逻辑步骤来证明方程的一边可以转化为另一边。有时，我们会分别在每一边工作，直到他们在中间相遇。

你们应该熟悉各种三角恒等式，比如互惠的三角函数和毕达哥拉斯的身份．

有很多不同的方式来证明身份。这里有一些指导方针，以防你陷入困境:

在比较复杂的那一边工作。试着简化它。
2)将所有三角函数替换为 $罪\ \θ$和 $\ \因为θ$在可能的情况下。
3)识别代数运算，如因式分解、展开、分配律、分数的加法和乘法。这使我们可以进一步简化这个表达式。
4）使用各种三角函数。特别是留意毕达哥拉斯的身份。
5）从双方工作。
6）留在另一边，并朝着它锻炼身体。
考虑“三角共轭”。

证明身份

$\ frac {\ cot \ theta} {\ csc \ theta} = \ cos \ theta。$

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（指南1）
我们从LHS开始，它更复杂。请注意，如果我们从RHS开始，我们不清楚如何进行。

(指南2)
我们替换 $\ cot \ theta$与 ${cos \theta} {sin \theta}$和 $\ csc \ theta$与 $\frac{1} {sin \theta}$,获得

$LHS = \frac{cot \theta}{\csc \theta} = \frac{小{hspace{3mm} \frac{cos \theta}{sin \theta}\hspace{3mm}}{\frac{1} {sin \theta}} = \frac{cos \theta}{1} = \cos \theta = RHS。\ _\正方形$

证明三角恒等式的能力将有助于解决这样的问题:

证明

$\ sin x \ cos x \ tan x = 1 - \ cos ^ 2 x。$

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(指南1)LHS比较复杂，所以我们从它开始吧。

(准则2)让我们用 $\ sin x，\ cos x$．我们有

$LHS = sin x cos x frac{sin x} {cos x} = sin x乘以sin x = sin^2 x。$

（准则4）在RHS上，用1替换 $\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x$，我们得到了

$RHS = \ big（\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x \ big） - \ cos ^ 2 x = \ sin ^ 2 x。$

因此, $LHS = sin^2 x = RHS。\ _\正方形$

证明身份

$sec ^4 - tan^4 = 2 sec ^2 - 1。$

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(准则3)我们认识到LHS可以分解为

$lhs = \ sec ^ 4 \ theta - \ tan ^ 4 \ theta = \ big（\ sec ^ 2 \ theta - \ tan ^ 2 \ theta \ big）\ big（\ sec ^ 2 \ theta + \ tan ^ 2 \Theta \ big）= 1 \ times \ big（\ sec ^ 2 \ theta + \ tan ^ 2 \ theta \ big）。$

(指南2…我们可能想用 $罪\ \θ$和 $\ \因为θ$进一步推进。然而，由于一切都在公正 $\秒\θ$和 $\ tan \ theta$，让我们现在保持这种方式。）

（指南4）我们将使用毕达哥拉斯标识 $sec^2 = 1 + tan ^2$，这给了我们

$lhs = \ sec ^ 2 \ theta + \ tan ^ 2 \ theta = \ sec ^ 2 \ theta + \ big（\ sec ^ 2 \ theta - 1 \ big）= 2 \ sec ^ 2 \ theta - 1 = RHS。\ _\正方形$

证明身份 $(x) + (x) (cot ^2 x) = (csc x)$

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(准则3)LHS可分解为

$LHS = sin x大(1 + cot^2 x大)$

(准则4)我们认识到这一点 $1 + \ cot ^ 2 x = \ csc ^ 2 x$，我们得到

$LHS = sin x大(csc ^2 x大)。$

（指南2）更换 $\ sin (x)$，我们得到了

$LHS = RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS + RHS\ _\正方形$

证明身份

$\ frac {\ sin \ theta} {1 - \ cos \ theta} + \ frac {1 - \ cos \ theta} {\ sin \ theta} = 2 \ csc \ theta。$

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(准则2,5)由于LHS已经在 $罪\ \θ$和 $\ \因为θ$，我们简化了RHS

$RHS = frac{2} {sin}。$

（指南1）LHS肯定更复杂。让我们试着看看我们能做什么。如果我们盲目地组合分数（指南3），我们将得到

$LHS = frac{sin^2 + (1 - cos ^2)} {sin^ (1 - cos)}。$

这开始看起来不错了，因为我们 $罪\ \θ$在分母。我们需要弄清楚如何进一步进行。让我们调查分子：

$\ sin ^ 2 \ theta +（1 - cos \ theta）^ 2 = \ sin ^ 2 \ theta + 1 - 2 \ cos \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 - 2 \ cos \ theta + 1= 2 - 2 \ cos \ theta。$

Ah-HA！写入分子有一种更简单的方法，LHS成为

$LHS = \frac{2 - 2 \cos \theta} {sin \theta (1 - \cos \theta)} = \frac{2} {sin \theta} = RHS。\ _\正方形$

你可以通过参与我们的讨论来练习证明三角恒等式:

• 证明- 1
• 证明- 2

证明身份

$\ tan \ theta + \ cot \ theta = \ frac {2} {\ sin 2 \ theta}。$

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(指南2)取代 $\ tan \ theta$与 ${sin} {cos}$和 $\ cot \ theta$与 ${cos \theta} {sin \theta}$那

$LHS = frac{sin \theta} {cos \theta} + frac{cos \theta} {sin \theta cos} = frac{sin ^2 + cos ^2} {sin \theta cos} = frac{1} {sin \theta cos}。$

（指南5）我们现在被困，因为这很简单。我们来看看RHS。更换 $\ sin 2 \ theta$与 $2 \ sin \ theta \ cos \ theta$,我们得到

$RHS = frac{2} {sin2 \theta} = frac{2} {2 sin \theta \cos \theta} = frac{1} {sin \theta \cos}。$

因此，我们有

$LHS = frac{1}{sin \theta \cos \theta} =RHS。\ _\正方形$

证明身份

${1 + sin 2x} = - 1 + sin 2x}。$

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（指南6）这种身份难以直接攻击。让我们考虑目标是什么，并将侧面与对方进行比较。

（指南4）让我们更换 $\因为2 x$．我们知道有三个选项，因为

$cos x = 2 cos^2 x - 1 = cos^2 x - sin^2x = 1 - 2 sin^2x。$

我们应该选择哪一个？请注意，如果我们采取 $\ cos ^ 2 x - \ sin ^ 2 x$，这使我们能够将其分解为 $(cos x - sin x) (cos x + sin x)$，这靠近LHS。因此，我们有

$RHS = - \ FRAC {\ COS ^ 2 x - \ sin ^ 2 x} {1 + sin 2x} = \ frac { - （\ cos x-\ sin x）（\ cos x + \ sin x）} {1 + \ sin 2x}。$

现在我们有 $sin x - cos x$这是LHS的分子，所以我们知道RHS的分母必须是类似的东西。事实上，如果这是一个身份，它必须等于 $（\ sin x + \ cos x）^ 2$．我们可以验证一下

$1 + 2sinx = 1 + 2sinx cos x = sin^2 x + cos^2 x + 2sinx cos x = (sin x + cos x) ^2。$

因此，这给了我们

$RHS = \ FRAC { - （\ cos x - \ sin x）（\ cos x + \ sin x）} {（\ sin x + \ cos x）（\ sin x + \ cos x）} = \ frac {\SIN x - \ cos x} {\ sin x + \ cos x} = lhs。\ _ \ square$

证明身份

$\压裂{\罪(A + B) + \罪(A - B)}{\罪(A + B) - \罪(A - B)} = \压裂{\ tan}} {\ tan B。$

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使用总和和差异公式，我们得到

$\{对齐}开始lh & = \压裂{罪(\ \因为B + \因为一个罪\ B) +(罪\ \因为B - \因为罪\ B)}{罪(\ \因为B + \因为一个罪\ B)——罪(\ \因为B - \因为罪\ B ) } \\\\ &= \ 压裂{2 \ \因为罪B}{2 \因为罪\ B} = \压裂{罪\ \因为B}{\因为罪\ B}。\结束{对齐}$

在罪恶和cos方面简化RHS，我们得到了

$RHS = {frac{小{frac{sin A} {\ cos A}}{小{hspace{3mm} \frac{sin B} {cos B}\hspace{3mm}} = frac{sin A \cos B} {cos A \sin B}$

因此, $lh =园艺学会。\ _ \广场$

证明身份

$\ sin3 \ theta = -4 \ sin ^ 3 \ theta + 3 \ sin \ theta。$

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考虑 $3 \θ$作为 $2 \θ+ \θ$．然后应用正弦的角和公式

$lhs = \ sin3 \ theta = sin（2 \ theta + \ theta）= \ sin2 \ theta \ cos \ theta + \ cos2 \ theta \ sin \ theta。$

现在代替 $\ sin2 \θ=θ2 \罪\ \因为\θ$和 $\ cos2 \ theta = 2 \ cos ^ 2 \ theta-1$代入方程

$\ begin {senugented} \ sin2 \ theta \ cos \ theta + \ cos2 \ theta \ sin \ theta＆= 2 \ sin \ theta \ cos ^ 2 \ theta + \ big（2 \ cos ^ 2 \ theta-1 \ big）\ sin\ theta \\＆= 4 \ sin \ theta \ cos ^ 2 \ theta- \ sin \ theta。\结束{对齐}$

取代 $\ cos ^ 2 \θ$与 $1- \ sin ^ 2 \ theta$．然后我们有

$罪\{对齐}开始4 \ \θ\ cos ^ 2 \θ- \罪\θ= 4 \ \θ\的罪大罪(1 - \ ^ 2θ\ \大)-θ罪\ \ \ \ & = 4 \罪^ 3罪\θ+ 3 \ \θ= RHS。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明身份

$\ cot \ theta- \ cot2 \ theta = \ frac {1} {\ sin2 \ theta}。$

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自 $\床\θ= \压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}$,我们有

$\床\θ,θ= \ cot2 \ \压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}- \压裂{\ cos2 \θ}{\ sin2 \θ}。$

自 $\ sin2 \θ=θ2 \罪\ \因为\θ$，上面的分数可以被简化成一个公分母，即 $2θ\罪\ \因为\θ$，如下图:

$\压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}- \压裂{\ cos2 \θ}{\ sin2 \θ}= \压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}- \压裂{\ cos2 \θ}{2θ\罪\ \因为\θ}= \压裂{2 \ cos ^ 2 \θ,θ\ cos2 \}{2θ\罪\ \因为\θ}。$

应用公式 $\ cos2 \ theta = 2 \ cos ^ 2 \ theta-1$这导致了RHS:

$\压裂{2 \ cos ^ 2 \θ,θ\ cos2 \}{2θ\罪\ \因为\θ}= \压裂{2θ\ cos ^ 2 \ \大(2 \ cos ^ 2 \θ1 \大)}{2θ\罪\ \因为\θ}= \压裂{1}{2θ\罪\ \因为\θ}= \压裂{1}{\ sin2 \θ}。\ _\正方形$

证明身份

$罪\压裂{\ ^ 2 -罪\ ^ 2 B}{\罪^ 2 (A + B)} = \压裂{\谭谭- \ B}} {\ tan + \ tan B。$

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起初它可能很容易修改 $罪\ ^ 2 -罪\ ^ 2 B$进入 $(sin A+ sin B)(sin A- sin B)$，但你很快就会意识到这不会带来任何结果。为了继续，我们应该应用功率降低公式，它给出了

$罪\压裂{\ ^ 2 -罪\ ^ 2 B}{\罪^ 2 (A + B)} = \压裂{\压裂{1 - \ cos2A}{2} - \压裂{1 - \ cos2B}{2}}{\罪^ 2 (A + B)} = \压裂{\ cos2B - \ cos2A}{2 \罪^ 2 (A + B)}。$

现在我们可以用分子的求和和积公式，如下图所示:

$\开始{对齐}\压裂{\ cos2B - \ cos2A}{2 \罪^ 2 (A + B)} & = \压裂{2 \罪(B + A) \罪(B)}{2 \罪^ 2 (A + B )}\\\\ &=\ 压裂{\罪(A + B) \罪(A - B)}{\罪^ 2 (A + B )}\\\\ &=\ 压裂{\罪(A - B)}{\罪(A + B)}。\结束{对齐}$

下一步就是把角和公式应用到分子和分母上。然后我们有

$\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\sin A\cos B+\cos A\sin B}.$

现在，我们划分分子和分母 $\ cos \因为B$为了得到如下的切线:

$罪\压裂{\ \因为B - \因为一个罪\ B}{\罪一个\ \因为B + \因为罪B} = \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{\罪}{\因为}- \压裂{罪\ B}{\因为B} \水平间距{3毫米}}{\压裂{\罪}{\因为}+ \压裂{罪\ B}{\因为B}} = \压裂{\谭谭- \ B}} {\ tan + \ tan B。\ _\正方形$

[另一种解决方案]

上面的解决方案可能很难想到。如果您发现自己在努力组织LHS时陷入困境，请切换并解决RHS可能工作。只需尝试通过使用公式将切线转换为SINE和余弦 $\ tan = \压裂{\罪\θ}{\ cosθ\}$，并在第一种解决方案的相反方向上解决问题，如下所示：

$\开始{对齐}\压裂{\谭谭- \ B} {\ tan + \ tan B} & = \压裂{\水平间距{3毫米}\压裂{\罪}{\因为}- \压裂{罪\ B}{\因为B} \水平间距{3毫米}}{\压裂{\罪}{\因为}+ \压裂{罪\ B}{\因为B }}\\\\ &=\ 压裂{\水平间距{3毫米}\小{\压裂{罪\ \因为B - \因为罪\ B}{\因为\因为B}} \水平间距{3毫米}}{\小{\压裂{罪\ \因为B - \因为罪\ B}{\因为\因为B}}} \ \ \ \& = \压裂{\罪(A - B)}{\罪(A + B )}\\\\ &=\ 压裂{\罪(A - B) \罪(A + B)}{\罪^ 2 (A + B )}\\\\ &=-\ 压裂{1}{2}\ cdot \压裂{\ cos2A - \ cos2B}{\罪^ 2 (A + B )}\\\\ &=-\ 压裂{1}{2}\ cdot \压裂{1 - 2罪\ ^ 2 - \大罪(1 - 2 \ ^ 2 B \大)}{\罪^ 2 (A + B )}\\\\ &=\ 压裂{\罪^ 2 -罪\ ^ 2 B}{\罪^ 2 (A + B)} \ \ \ \ & = lh。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明,如果 $+ + =$， 然后

$tan + tan + tan = tan乘以tan乘以tan。$

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自 $= - - -$,我们有

$谭\开始{对齐}\ \α& = \ tan(\π-β\ \γ ) \\\\ &= - \ tan(β+ \ \γ ) \\\\ & = - \ 压裂{\谭谭\β+ \ \伽马}{1 - \谭谭\β\ \γ } \\\\ &= \ 压裂{\谭谭\β+ \ \伽马}{\谭谭\β\ \γ- 1}。\结束{对齐}$

交叉乘法，我们得到了

$tan tan tan - tan = tan + tan。$

如果我们补充说 $\ tan \ alpha$对于两边，我们都得到了我们想要展示的等式。 $\ _\正方形$

证明身份

$\ prod_ {k = 1} ^ {n} \因为\离开(\压裂{k \π}{n} \右)= \压裂{\罪\离开(\压裂{\πn}{2} \右)}{2 ^ {n}}。$

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如果 $N.$那么，甚至是 $左(\ \因为\压裂{\π}{2}\右)= 0$出现在产品的时候 $k = \压裂{n} {2}$和 $左(\ \罪\压裂{n \π}{2}\右)= 0。$如果 $N.$是奇数，然后结合 ${对齐}\ \开始lim_ {z \ \ \ 1} \压裂{z ^ n + 1} {z + 1} & = 1 & \ qquad(1) \ \ \压裂{z ^ n + 1} {z + 1} & = \ prod_ {k = 1} ^ {n} \离开(z + e ^{2 \πik / n} \右)& \ qquad (2) \ \ 1 + e ^ {i2k \π/ n} & = 2 \因为\离开(\压裂{k \π}{n} \右)e ^{翼\π/ n} & \ qquad结束(3)\{对齐}$并指出, $\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} k = \ frac {n（n-1）} {2}$给 $\ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {n} e ^{翼\π/ n} = (1) ^ {(n - 1) / 2}。$这与标志相匹配 $左(\ \罪\压裂{\πn}{2} \右)$和产量 $\ begin {对齐} 2 ^ {n-1} \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} \ cos \ left（\ frac {k \ pi} {n} \ rectle）＆=（ - 1）^{（n-1）/ 2} \\＆= \ sin \ left（\ frac {\ pi n} {2}右）。\ _ \ square \ END {对齐}$