部分分式积分法
部分分式积分是使有理函数积分更简单的一种有用的方法。在继续阅读本页面的其余部分之前,您应该查阅与部分分式分解相关的各种wiki。 在举一些例子之前,你应该记住一些简单的事情: 在计算<年代pan class="katex">
任意次多项式<年代pan class="katex">
例子
学习这种集成技术的最佳方法是通过示例。 写出部分分式分解(假设)。
我们可以很容易地得到:
因此,可以使用部分分式分解将函数分解为两个部分。
取公因数<年代pan class="katex">
,则得到:
现在,仔细看:
注意:当分母是平方多项式时我们必须在分子上使用线性公式。
注意:最后一项有线性公式,为什么?因为它的分母是平方多项式。那么,第五项呢?为什么不呢?因为第五项已经和第四项重复了,所以我们不认为它是平方多项式,因为我们关心的是分母没有重复的平方多项式。 找到了不定积分:
在这种形式下,积分就不那么简单了。部分分式分解可以将被积函数分解为两部分。
让<年代pan class="katex">
整合如下:
再强调一次,这不是一个简单的积分函数现在的形式。然而,使用Partial Fractions可以使它变得非常简单。
让<年代pan class="katex">
通过做代换<年代pan class="katex">
集<年代pan class="katex">
答案是<年代pan class="katex-display">
警告
然而,有些时候,Partial Fractions似乎是处理积分的最佳方法,尽管另一种方法在工作量和时间方面要简单得多。这是这样一个积分 找到了不定积分:
乍一看,部分分式似乎很吸引人。然而,请注意,分子只是分母的导数!这意味着可以用u替换来求积分。 让<年代pan class="katex">