部分分式-线性因子

部分分式分解写a需要技巧吗有理函数作为更简单的Rational表达式的总和。在某些情况下，合理的功能可以表示为分母是的分数之和线性二项式．例如,

$\ frac {2} {x ^ 2-1} \意味着\ frac {1} {x-1} - \ frac {1} {x + 1}。$

部分分数分解的最简单的情况是何时

• 有一个有理表达式分子和分母都是多项式，
• 分子的次数小于分母的次数
• 分母可以被考虑成线性二项因素。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\ frac {2} {x ^ 2 + 5x + 6}。$

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请注意，分子是一个常数，并且可以考虑分母：

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{2}{(x + 2) (x + 3)}。$

这意味着部分分解形式将包含有理表达式的和，每个有理表达式都包含一个常数分子和一个带有一个线性二项式因子的分母:

$\ frac {2} {x ^ 2 + 5x + 6} = \ frac {a} {x + 2} + \ frac {b} {x + 3}，$

在哪里 $一种$和 $B.$是常数。 $_\正方形$

如果分子的次数大于或等于分母的次数，那么多项式部门可以用来写出一个等价的表达式，它是一个多项式和一个有理表达式的和。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\ frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2-1}。$

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应用多项式除法给出了等价表达式

$\ frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2-1} = 1 + \ frac {2} {x ^ 2-1}。$

分母多项式可以分解为:

$x ^ 2 - 1 = (x + 1) (x - 1)。$

则有理表达式的部分分解形式为

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{一}{x + 1} + \压裂{B} {x - 1},$

在哪里 $一种$和 $B.$是常数。 $_\正方形$

这里展示的分解有理表达式的方法并不是对每个问题都有效。如果有理表达式中含有分母因子多重大于1，则必须使用不同的方法:部分分式,重复的因素．

求有理表达式的部分分解形式

$\ frac {4x} {x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x + 2}。$

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分母的根可以用理性根定理．分母被分解为

$x ^ 3 + 4 x ^ 2 + 5 + 2 = x (x + 1) ^ 2 (x + 2)。$

请注意 $（x + 1）$因子具有多重2.这意味着重复的因素的方法必须用来分解有理表达式。 $_\正方形$

尽管已经证明一个二次因子即使不能被分解也可以被分解，但这可能并不总是寻找部分分式分解的最有效方法。通常使用它会更好二次或更高次因子．

有些分解可以用二次或更高次因子．

求有理表达式的部分分式分解形式

$\压裂{1}{x ^ 3 - 1}。$

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分母可以被分解为不同的立方体:

$x ^ 3-1 =（x-1）（x ^ 2 + x + 1）。$

二次项不能再分解了。二次公式可以用来求二次方程的复根。然而，这将是一种不优雅的方式来分解表达式。还有一种更简单的部分分式分解方法二次因子． $_\正方形$

尽管上面链接的方法通常优选用于不因素的多项式，但是有时希望获得具有线性因子的部分分数分解。为此，必须通过透过多项式的根源二次公式那理性根定理，或其他方法。

求有理表达式的部分分式分解形式

$\ frac {5x-1} {x ^ 2 + x-1}。$

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分子具有比分母的程度较小，但不能考虑分母。然而，可以使用二次配方找到多项式的根。根部是

$x = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2}。$

这给出了分母的因式分解:

$\{对齐}开始x ^ 2 + x - 1 & = \离开(x - \压裂{1 + \ sqrt{5}}{2} \) \离开(x - \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2} \) \ \ & = \离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\ vphantom{\压裂{1}{2}}2 x - (1 + \ sqrt{5}) \) \离开(\压裂{1}{2}\)\离开(\ vphantom{\压裂{1}{2}}2 x - (1 - \ sqrt{5}) \) \ \ & = \压裂{1}{4}\离开(2 x + 1 - \ sqrt{5} \) \离开(2 x + 1 + \ sqrt{5} \右)。结束\{对齐}$

然后，部分分式分解就有了形式

$\压裂{5 x - 1} {x ^ 2 + x - 1} = 4 \离开(\压裂{一}{2 x + 1 - \√{5}}+ \压裂{B} {2 x + 1 + \√{5}}\右),$

在哪里 $一种$和 $B.$是常数。注意，分母仍然是线性的，即使它们包含无理数。 $_\正方形$

即使分母多项式具有，也可以使用这种方法复杂的根。

求部分分式分解形式只是部分分式分解的目标之一。最终的目标是计算分子的值，使部分分式分解等价于原始表达式。

回到上一节介绍的例子:

找到合理表达的部分分数分解

$\ frac {2} {x ^ 2 + 5x + 6}。$

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回想一下上一节的部分分式分解形式是

$\ frac {2} {x ^ 2 + 5x + 6} = \ frac {a} {x + 2} + \ frac {b} {x + 3}。$

现在的目标是找到 $一种$和 $B.$所以这些表达式是等价的。首先把等式右边的分数结合起来:

${对齐}\ \开始压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 3} & = \压裂{(x + 3) + B (x + 2)} {(x + 2) (x + 3 )} \\ \\ &=\ 压裂{(A + B) x + 3 + 2 B} {x ^ 2 + 5 + 6}。结束\{对齐}$

注意，这个表达式的分母与原始表达式的分母相同。这意味着分子必须相等:

$2 =（a + b）x + 3a + 2b。$

没有 $X$原始分子中的项。所以，

$A + B = 0。$

分子的另一部分必须等于2

$3 + 2 b = 2。$

解决这个方程系统给出了价值 $一种$和 $B.$这将导致部分分式分解等价于原始表达式: $一个= 2$和 $b = -2。$部分分式分解是

$\压裂{2}{x ^ 2 + 5 + 6} = \压裂{2}{x + 2} - \压裂{2}{x + 3}。\ _ \广场$

使用上面的例子，

$\ frac {1} {x ^ 3-1} = \ frac {1} {（x-1）（x ^ 2 + x + 1）} \ iclies \ frac {1} {（x-1）（x ^2 + x + 1）} = \ frac {a} {x - 1} + \ frac {bx + c} {x ^ 2 + x + 1}。$

方程两边同时乘以 $(x - 1) (x ^ 2 + x + 1)$我们获得

$1 = (x ^ 2 + x + 1) + (Bx + C) (x - 1) = (x ^ 2 + x + 1) + Bx - Bx + Cx - C ^ 2。$

我们得到了相等的系数

$\ begin {对齐} a + b＆= 0 \\ a - b + c＆= 0 \\ a - c＆= 1. \结束{对齐}$

自 $a + b = 0 \意味着b = -a，$更换 $B = -$在第二个方程中 $2a + c = 0。$

解决系统

$\begin{C &= 0 \\ A - C &= 1， \end{align}$

我们有

${对齐}= \ \开始压裂{1}{3},C = \压裂{2}{3}& \ Rightarrow B = \压裂{1}{3}\ \ & \ Rightarrow \压裂{1}{x ^ 3 - 1} = \压裂{1}{3}\离开(\压裂{1}{x - 1} - \压裂{x + 2} {x ^ 2 + x + 1} \右)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

前面的示例直观地介绍了如何求解部分分式分解的系数。然而，有更有效的方法可以求解这些系数。

回想一下，为了让表达式相等，它们必须相等任何在这些表达式中变量的值。因此，可以选择a特定的变量的值，以便更有效地计算部分分式分解的系数。

找到合理表达的部分分数分解

$\ frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2-1}。$

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从上一节召回部分分数分解具有表单

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{2}{x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{一}{x + 1} + \压裂{B} {x - 1}。$

将分数相加得到

$1 + \压裂{2}{x ^ 2 - 1} = 1 + \压裂{(x - 1) + B (x + 1)} {x ^ 2 - 1}。$

由于分母是相同的，因此分子必须相等：

$2 = a（x-1）+ b（x + 1）。$

不管价值如何 $X$，方程两边应该相等。有一些很聪明的选择 $X$会给一个快速的解决方案 $一种$和 $B.$

让 $x = 1,$这给了

$\开始{对齐}2 & = (1 - 1)+ B (1 + 1) \ \ 2 & = 2 B \ \ B & = 1。结束\{对齐}$

让 $x = -1，$这给了

$\开始{对齐}2 & = (1 - 1)+ B(1 + 1) \ \ 2 & = 2 \ \ & = 1。结束\{对齐}$

部分分式分解是

$\ frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2-1} = 1- \ frac {1} {x + 1} + \ frac {1} {x-1}。\ _ \ square$

这种方法可以概括为:

计算系数的可变选择方法：

给定部分分数分解形式

$\ \压裂压裂{A_1} {x-a_1} + {a₂}{x-a_2} + \ cdots + \压裂{an} {x-a_n},$

组合这些Rational表达式并将组合的合理表达式设置为等于原始表达式。分母应该是相等的，因此分子也将相等。写出等式分器的等式。

然后为每个 $ai,$替换 $x = ai$代入这个方程就会得到 $ai。$

注意，这个方法在某种程度上“打破了规则”，因为这些特定的值 $X$将导致合理表达的分母相等 $0。$即便如此，这种方法足以计算部分分数分解的系数的值。这种方法的数学上更严格的基础是限制方法．

主要文章：部分分式-极限法

下面的方法在寻找部分分式分解的系数方面比许多其他方法效率低。然而，它形成了一些更有效的方法的基础。

找到合理表达的部分分数分解

$\ frac {1} {x ^ 2 + 9x + 14}。$

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分母可以分解为 $（x + 2）（x + 7）。$这给出了部分分数分解形式

$\压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} = \压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7}。$

当我们掌握右侧的极限时，观察会发生什么 $X$方法 $2。$第一个有理表达式将趋于无穷，而第二个有理表达式将趋于一个常数。因此，这个和的极限等于第一个有理表达式的极限。

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 2} \离开(\压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{一}{x + 2} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} & = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{一}{x + 2}。结束\{对齐}$

乘以这个方程的两侧 $（x + 2）$因子，然后评估其极限:

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 2} \压裂{1}{x + 7} & = \ lim_ {x \ rightarrow 2} \ \ \ \ \压裂{1}{5}& = A \{对齐}结束$

同样的过程用于计算 $B.$这一次，限制被视为 $X$方法 $7:$

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 7} \离开(\压裂{一}{x + 2} + \压裂{B} {x + 7} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{B} {x + 7} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{1}{x ^ 2 + 9 x + 14} & = \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{B} {x + 7} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 7} \压裂{1}{x + 2} & = \ lim_ B {x \ rightarrow 7} \ \ \ \ \压裂{1},{5}& = B \{对齐}结束$

因此，部分分数分解是

$\ frac {1} {x ^ 2 + 9x + 14} = \ frac {1} {5（x + 2）} - \ frac {1} {5（x + 7）}。\ _ \ square$

主要文章：部分分式——掩盖法则

在讨论该方法之前，我们将首先看到一个示例: $\ dfrac {x 7} {(x - 1) (x + 2)} = \ dfrac {x - 1} + \ dfrac B {x + 2}。$得到 $一种$,掩盖 $(x - 1)$在左边，然后替换 $（x - 1）= 0，$或 $x = 1,$在剩下的 $\压裂{x 7} {x + 2}:$ $\ DFRAC {1-7} {1 + 2} = - 2 = A.$同样的,对 $B.$,替代 $X = -2 \$在 $\压裂{x 7} {x - 1}$要得到 $\ dfrac {-2-7} { - 2-1} = 3 = B.$

所以我们终于拥有了 $\ frac {x-7} {（x-1）（x + 2）} = \ frac {-2} {x-1} + \ frac {3} {x + 2}。$

换句话说，就是找到 $一种$，我们正在将双方乘以分母 $一种$并获得 $\剩下。\ dfrac {x-7} {{\ color {＃d61f06}（x + 2）}（x + 2）} \ times {\ color {＃d61f06}（x-1）} = \ dfrac {a} {{{\ color {＃d61f06}（x-1）}} \ times {\ color {＃d61f06}（x-1）} + \ dfrac {b} {x + 2} \ times {\ color {＃d61f06}（x-1）} \右| _ {x = 1}。$用 $（x - 1）= 0，$IE。 $x = 1,$我们现在得到的值 $一种$．

沉重的封面方法链接（麻省理工学院）

表达 $\压裂{2}{1 - x ^ 2}$部分分式。

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解决方案1：
分母 $(1 - x ^ 2)$可以被分解成 $(1 - x) (1 + x)$．因此,让 $一种$和 $B.$是常数 $\frac{2}{1-x^2} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x}。$两边同时乘以 $(1 - x ^ 2)$要得到 $开始\{对齐}2 & = (1 + x) + B (1 - x) \ \ & = (A + B) + (A - B) x。\{对齐}$通过比较类似的项，我们得到以下方程组: $\开始{病例}+ B = 2 \ \ A - B = 0。\{病例}结束$我们解出来 $一个= 1$和 $B = 1$．所以， $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}。\ _ \广场$

解决方案2：
我们可能会发现 $一种$和 $B.$通过插入两个不同有效的价值观 $X$并解决同时方程 $一种$和 $B.$．

代替 $x=2意味着2 = 3A - B，$和 $x = -2意味着2 = - A +3B。$
所以 $4a = 4b \意味着a = b$和 $= 1,$如上。
注意“valid”这个词。你不能 $x = 1$或 $x = 1$在这里。

经常 $x = 0，x = 1，$和 $x = 1$是良好的选择。
总是要考虑价值 $X$,简化计算。
说我们有 $\压裂2 {3}$．然后 $x = 1$如果它适合其他表达，是一个好的选择，还是 $x = 5。\ _ \广场$

$$解决方案3:
沉重的封面方法:(不能用于二次因素）

我们有 ${对齐}\ \开始dfrac {2} {(1 - x) (1 + x)} & = \ dfrac{一}{1 - x} + \ dfrac {B} {1 + x} \ \ \ \ \。= \ dfrac{2}{1 + 1} \右| _ {x = 1} \ & = \ dfrac 2 2 \ \ & = 1 \ \ \ \ \。B = \ dfrac{2}{1 -(1)} \右| _ {x = 1} \ & = \ dfrac 2 2 \ \ & = 1,结束\{对齐}$与上述相同。 $_\正方形$

写 $\ dfrac {2x + 3} {（x + 2）（x + 5）}$以部分分数的形式。

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首先，我们把给定的有理分式写成如下形式: $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)} = \ dfrac{一}{x + 2} + \ dfrac {B} {x + 5}。$通过取LCM，右边也可以写成 $\ dfrac {2x + 3} {（x + 2）（x + 5）} = \ dfrac {a（x + 5）+ b（x + 2）} {（x + 2）（x + 5）}。$现在取消LHS和RHS的分母，我们得到了 $A(x+5) + B(x+2) = 2x + 3。$查找所包含的项的值 $B.$，我们必须消除包含这个词 $一种$价值。
代替 $x = 5$整个学期 $a（x + 5）$等于 $0.$， 然后 $B(-5+2) = 2(-5) + 3表示B = frac{7}{3}。$现在，求值 $一种$，我们必须消除 $B.$．这意味着 $x = 2时,$这给了 $a（-2 + 5）= 2（-2）+ 3 \意味着a = - \ frac {1} {3}。$

因此，所需的部分分数是 $\ dfrac {2 x + 3} {(x + 2) (x + 5)} = - \ dfrac {1} {3} (x + 2) + \ dfrac {7} {3 (x + 5)}。\ _ \广场$