部分分数-极限法

部分分式分解是一种将有理函数表示为较简单有理表达式的和的方法。的限制的方法使用限制当分母因子趋于零时，计算部分分式的系数。尽管这种方法比其他部分分式分解方法效率低，但它为一些更高效的方法提供了严格的数学基础。

求有理表达式的部分分式分解，

$\压裂{1}{x ^ 2 + 4 x5}。$

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分母可以分解为 $(x - 1) (x + 5)。$这就给出了部分分式分解形式，

$\压裂{1}{x ^ 2 + 4 x5} = \ \压裂压裂{一}{x - 1} + {B} {x + 5}。$

观察会发生什么当我们取右边的极限为 $x$方法 $1.$第一个有理表达式将趋于无穷，而第二个有理表达式将趋于一个常数。因此，这个和的极限等于第一个有理表达式的极限。

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 1} \离开(\压裂{一}{x - 1} + \压裂{B} {x + 5} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \压裂{一}{x - 1} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 1} \压裂{1}{x ^ 2 + 4 x5} & = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \压裂{一}{x - 1}。结束\{对齐}$

方程两边同时乘以 $(x - 1)$因式，然后求极限:

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 1} \压裂{1}{x + 5} & = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ \ \ \ \压裂{1}{6}& = A \{对齐}结束$

同样的过程也用于计算 $B。$这次取极限为 $x$方法 $5:$

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow 5} \离开(\压裂{一}{x - 1} + \压裂{B} {x + 5} \右)& = \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{B} {x + 5} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{1}{x ^ 2 + 4 x5} & = \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{B} {x + 5} \ \ \ \ \ lim_ {x \ rightarrow 5} \压裂{1}{x - 1} & = \ lim_ B {x \ rightarrow 5} \ \ \ \ \压裂{1},{6}& = B \{对齐}结束$

因此，部分分式分解为:

$\压裂{1}{x ^ 2 + 4 x5} = \压裂{1}{6 (x - 1)} - \压裂{1}{6 (x + 5)}。$