二次公式的应用

的二次方程，是形式 $X = - b = pm =根号(b^2 - 4ac) {2a}。$它也被称为Shreedhara Acharya的公式，以古代印度数学家的名字命名。

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如果我们有这样的二次多项式 $Ax ^2 + bx + c，$然后我们可以用这个公式 $X = - b = pm = sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$求它什么时候等于零。(注意，正负表示有两个解，而不是一个。)

假设你有一个多项式函数 $F (x) = 3x^2 - 2x + 3。$值是多少 $x$它等于0吗?

我们可以让 $A = 3，$ $B = -2，$和 $C = -3。$把这个应用到二次公式中， $x = \压裂{2 \ \下午√{4 - 4(3)(3)}}{2(3)}= \压裂{2 \ \下午√{40}}{6}= \压裂{1}{3}\ \下午压裂{\ sqrt{10}}{3}。$

这也可以帮助分解，特别是在多项式的根不是有理的情况下:

因式分解 $X ^2 + X - 1 = 0。$

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用我们的公式，我们得到 $φ= \ \压裂{- b + \ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{1 + \ sqrt{5}},{2} \φ= \压裂{- b - \ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}}{2} = \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2}。$我们的二次方程是这样的 $k (x - \φ)(x - \φ)= 0$为一个常数 $k$．然而，由于第一项的前导系数是1，我们知道因子分解一定是 $(x - \φ)(x - \φ)= \离开(x - \压裂{1 + \ sqrt{5}}{2} \) \离开(x - \压裂{1 - \ sqrt{5}}{2} \右)。\ _ \广场$

我们开始 $A {x}^{2}+bx+c=0。$
然后减去 $c$从双方得到 $A {x}^{2}+bx=-c。$
两边除以 $一个$得到 $\ displaystyle {x} ^{2} + \压裂{bx}{} = \压裂{- c}{}。$
然后我们可以添加 $^{2}}{4{a}^{2}}$双方都要得到

${x} ^{2} + \压裂{bx}{} + \压裂{{b} ^{2}}{4{一}^{2}}= \压裂{- c}{} + \压裂{{b} ^{2}}{4{一}^{2}}。$

我们可以完整的广场在左边得到

$左(x + \ \压裂{b}{2} \右)^ 2 = \压裂{- c}{} + \压裂{{b} ^{2}}{4{一}^{2}}。$

化简右边得到

$左(x + \ displaystyle \ \压裂{b}{2} \右)^{2}= \压裂{{b} ^ {2} 4 ac}{4{一}^{2}}。$

两边同时开根号，得到

$x + \压裂{b}{2} = \压裂{\ \下午√6 {{b} ^ {2} 4 ac}}{2}。$

然后,减去 ${b}{2a}$从双方得到

$X = - b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。\ _ \广场$

我们还是从 $ax ^ {2} + bx + c = 0。$
两边同时乘以 $4$得到 $4 ^ {2} x ^ {2} + 4 abx + 4 ac = 0$．
现在请注意, $4 ^ {2} x ^ {2} + 4 abx$几乎是的平方吗 $2 ax + b,$或者更准确地说, $(2 ax + b) ^ {2} - b ^ {2}$．我们的方程就变成 $\{对齐}开始(2 ax + b) ^ {2} - b ^ {2} + 4 ac = 0 \ \ (2 ax + b) ^ {2} & = b ^ {2} 4 ac \ \ \√6 {(2 ax + b) ^{2}} & = \ \下午√6 b {^ {2} 4 ac} \ \ 2 ax + b = \ \下午√{b ^ {2} 4 ac} \ \ 2 ax = - b \ \下午√{b ^ {2} 4 ac} \ \ x = \ dfrac {- b \ \下午√6 b {^ {2} 4 ac}}{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

做替换 $x = y - \ dfrac {b} {2}:$

$\开始{对齐}\离开(y - \ dfrac {b}{2} \右)^ 2 + b \离开(y - \ dfrac {b}{2} \右)+ c = 0 \ \ ay ^ 2 + \ dfrac {b ^ 2} {4} +, - \ dfrac {b ^ 2} {2} + c = 0。结束\{对齐}$

从这里解出来很简单 $y:$

$\{对齐}开始ay ^ 2 - \ dfrac {b ^ 2} {4} + c = 0 \ \ y ^ 2 & = \ dfrac {b ^ 2-4ac} {4 a ^ 2} \ \下午y = \ \ dfrac{\√6 b {^ 2-4ac}}{2}。结束\{对齐}$

最后撤销替换:

$x = \ dfrac {- b \ \下午√6 b {^ 2-4ac}}{2}。\ _ \广场$

让 $ax ^ 2 + bx + c = 0$有根 $x_1$和 $x_2$．然后,通过vieta的公式,我们有

$\{对齐}开始x_1 + x_2& = - \ dfrac {b} {} \ \ x_1x_2& = \ dfrac c{}{}。结束\{对齐}$

把第一个方程两边平方，然后把第二个方程乘以4

$\{对齐}开始x_1 ^ 2 + 2 x_1x_2 + x_2 ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2} {^ 2} \ \ 4 x_1x_2 = \ dfrac {4 c}{}。结束\{对齐}$

然后减去它们:

$x_1 ^ 2-2x_1x_2 + x_2 ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2-4ac}{^ 2}。$

我们在左边得到了一个完美的正方形

$(x_1-x_2) ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2-4ac}{^ 2} \意味着x_1-x_2 = \ dfrac{\√6 b {^ 2-4ac}}{}。$

最后是根的和和差。所以,

${对齐}x_1& = \ \开始dfrac {- b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2} \ \ \ \ x_2& = \ dfrac {- b - \√6 {b ^ 2-4ac}}{2}。\ _ \square \end{aligned}$