悖论简介

一个数学悖论是任何一种(或一组)看似自相矛盾(或彼此矛盾)，但同时看起来完全符合逻辑的陈述。悖论(至少是数学上的悖论)只是一种错误的陈述，它看起来是正确的，因为缺乏基本的逻辑或信息，或者逻辑应用到不适用的情况。数学中有许多悖论。

有很多证明都使用了反证法，你做了一个陈述，然后通过产生一个矛盾来证明它是错误的。

证明有无穷多个质数。

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假设有有限个质数使得质数的乘积可以表示为

$2 \乘\ 3 \乘\ 5 \乘\cdots乘\ p_n$

现在加1，称它为正整数 $M:$

$M =(2 \乘3 \乘5 \乘cdots乘p_n \) + 1。$

根据算术基本定理，必须有一个质数 $（$说 $p_{我}$为 $1 < I < n+1)$两者都有区别 $米$以及质数的乘积，这意味着

$p_{I} \大| M -(2 \乘\ 3 \乘\ 5 \乘\cdots \乘\ p_n \) = 1;$

但是没有质数能整除1，所以矛盾的是，我们最初的表述是假的。因此，有无限多个质数。 $_ \广场$

的画家的悖论(又名加布里埃尔之角):

利用曲面和旋转体积的三维形状进行 $Y = \frac{1}{x}$，我们有

$\{对齐}开始V & = \π\ int_ {1} ^ {\ infty} \大(f (x) \大)^ 2 dx \ \ & = 2π\ \ int_ {1} ^ {\ infty} f (x) \√6{1 + \大(f (x) \大)^ 2}dx \ \ \ Rightarrow V & = \π\ int_ {1} ^ {\ infty} \压裂{1}{x ^ 2} dx \ \ & = \π\离开[- \压裂{1}{x} \右]_ {1}^ {\ infty} = - \π\离开(\压裂{1}{\ infty} 1 \右)= \π。结束\{对齐}$

然而，对于表面积，我们得到了一个令人惊讶的结果:

$\开始{对齐}& = 2π\ \ int_ {1} ^ {\ infty} \压裂{1}{x} \√6{1 + \离开(\压裂{1}{x} \右)^ 2}\ \ & > 2 \π\ int_ {1} ^ {\ infty} \压裂{1}{x} \ \ & = 2π\ \ [\ lnx \大]大_ {1}^ {\ infty} \ \ & = \ infty。结束\{对齐}$

这意味着它可以填满容器，而不完全覆盖表面区域，这就产生了一个悖论。但不要对数学失去希望——这是有解释的!当我们应用数学时，我们需要小心我们的业务，因为现实中有更多的限制。在这种情况下，实际上不存在悖论，因为在数学中，我们假设所有东西都可以无限制地变小(如果我们处理的是实数，而不是整数)，这意味着油漆可以“无限薄”，以覆盖无限的表面积。就像我把 $\压裂{1}{\ infty}$= 0，当在真的是更正确的时候 $\lim_{x \rightarrow\infty} \frac{1}{x}$ $\ rightarrow$0，因为我们不可能达到无穷 $\frac{1}{x} > 0 \ (\forall x \in \Re, x > 0)$．

在探索频道的一个电视节目“和斯蒂芬·霍金一起走进宇宙”中，斯蒂芬·霍金描述了以下自相矛盾的情况:

“假设你造了一台时间机器。现在你打开一个装有左轮手枪零件的工具箱。你把所有零件组装起来，然后在左轮手枪上装子弹。现在你通过时间机器回到过去，回到5分钟前(你还没有安装左轮手枪的时候)，你用同样的左轮手枪射杀了自己(那个属于你过去的人，他准备组装左轮手枪)。”

转折来了。首先，如果左轮手枪实际上没有组装好，那么你是用什么自杀的，第二部分是，“如果有时间机器存在，你真的有可能在过去自杀吗?”

这实际上被称为祖父悖论．根据定义，其描述如下:

“假设一个时间旅行者回到过去，在他的祖父遇见他的祖母之前杀死了他的祖父。因此，时间旅行者从未诞生过。但是，如果他从未出生，那么他就无法穿越时间并杀死他的祖父，这意味着旅行者最终还是会出生，因此我们到达了一个矛盾，并被“困在”这个“循环”中。

它最初是由科幻作家纳撒尼尔·沙克纳在他的短篇小说《祖先的声音》中描述的，René巴雅维尔在他1943年的书《轻率的旅行者》(未来时代三)中描述的。

提出的决议:

Seth Lloyd等人在arXiv.org最近的一篇论文中提出的时间旅行模型，源于他们对封闭类时曲线(ctc)量子力学的研究和对引力理论的探索。简单来说，CTC是返回起点的时空路径。爱因斯坦的广义相对论允许ctc的存在，尽管是Gödel首先发现了它们。与他的理论的其他含义一样，爱因斯坦对ctc有点不安。

爱因斯坦的广义相对论隐含地允许穿越到过去。几十年后，Gödel提出了一个明确的时空几何，其中包含封闭的类时曲线(ctc)。Gödel宇宙由一团旋转的尘埃组成，具有足够的引力来支撑封闭的时间型曲线。后来，人们认识到封闭类时曲线是高度弯曲的旋转时空的一般特征:旋转黑洞的克尔解包含黑洞视界内的封闭类时曲线;大质量快速旋转柱体通常与封闭的时间型曲线相关[2,8,12]。广义相对论中封闭类时曲线的话题继续引发争论:例如，霍金的年表保护假设表明，创建封闭类时曲线所需的条件不可能在任何物理上可实现的时空中出现。

设A是所有不包含自己的集合的集合: $\{S | S\ not \in S\}$．

${1} \in \大\{\{1\}，\{1,2 \}\大\}，$但 $\{1\}不\在\{1\}。$

是 $A \in A?$

假设 $A \in A。$那么根据定义 $一个,$ $A \not \in A。$
假设 $A \not \in A。$那么根据定义 $一个,$ $A \in A。$

因此，我们需要公理来创建数学对象。

对公理集理论的进一步探索可以在Alfred North Whitehead和Bertrand Russell的《数学原理》中找到。

这是我最喜欢的悖论之一。埃利亚的芝诺(约公元前450年)被认为创造了几个著名的悖论，也许最著名的是乌龟和阿喀琉斯的悖论。(阿喀琉斯是荷马史诗《伊利亚特》中的伟大希腊英雄。)我用一种可读的对话格式来呈现。

乌龟向阿喀琉斯发起挑战，声称只要阿喀琉斯稍微领先一点，他就会赢。阿喀琉斯对此笑了起来，因为他当然是一个强大的战士，脚步敏捷，而乌龟却又重又慢。

“你需要多大的领先优势?他微笑着问乌龟。

“十米。”后者回答。

阿喀琉斯笑得更响了。“我的朋友，在这种情况下，你肯定会输的，”他对乌龟说，“不过，如果你愿意的话，让我们赛跑吧。”

“恰恰相反，”乌龟说，“我会赢的，我可以用一个简单的论点向你证明。”

阿喀琉斯回答道:“那就继续吧。”他的信心不如以前了。他知道自己是最优秀的运动员，但他也知道乌龟比他更聪明，在此之前，他和乌龟有过许多令人困惑的争论。

“假设，”乌龟开始说，“你让我领先10米。你说你能很快走完我们之间的10米吗?”

“很快。”阿喀琉斯肯定地说。

“在这段时间里，你认为我应该走多远?”

“也许一米多，”阿喀琉斯想了一会儿说。

“很好，”乌龟回答说，“所以现在我们之间有一米了。你会很快赶上那个距离吗?”

“真的很快!”

“可是，在这段时间里，我将走得更远一点，所以现在你必须赶上这段距离，是吗?”

“是的，是的。”阿喀琉斯慢慢地说。

“当你这样做的时候，我将走得更远一点，所以你必须赶上新的距离，”乌龟顺利地继续说。

阿喀琉斯什么也没说。“所以你看，你每时每刻都在追赶我们之间的距离，而我——同时——会增加一个新的距离，不管多小，让你再追上。”

“的确，一定是这样。”阿喀琉斯疲倦地说。

“所以你永远也追不上我。”乌龟同情地总结道。

“你总是对的，”阿喀琉斯悲伤地说——然后认输了。

芝诺悖论可以重新表述如下。假设我想穿过房间。当然，首先我必须走完一半的距离。然后，我必须走完剩余距离的一半。然后，我必须走完剩余距离的一半。然后我必须走完剩下的一半路程……一直这样下去。结果是，我永远无法到达房间的另一边，无论多快或多远，总有一半的数字。

这实际上是使所有的运动都不可能，因为在我能走完一半的距离之前，我必须走完一半的距离的一半，在我能做到这一点之前，我必须走完一半距离的一半的一半，以此类推，所以在现实中，我根本不可能移动任何距离，因为这样做首先需要移动无限个小的中间距离。

既然运动是可能的，那么问题来了，芝诺怎么了?什么是“逻辑缺陷”?如果你把全部注意力放在这件事上，它应该开始让你有点不安，因为从表面上看，这种情况的逻辑似乎是无懈可击的。你应该不能穿过房间，乌龟应该赢得比赛!然而，我们更清楚。嗯……

与其与芝诺正面交锋，不如让我们停下来，注意一些不同寻常的事情。假设我们现在从表面上看芝诺的悖论，并同意他的观点，在我能走一英里之前，我必须先走半英里。在我能走剩下的半英里之前，我必须先走完它的一半，也就是说，四分之一英里，然后是第八英里，然后是十六英里，然后是第三十二英里，以此类推。好吧，如果我可以走无数个小距离，我应该走多远呢?一英里!换句话说，

$1 = \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ frac1 {16} + \ frac1 {32} + \ cdots。$

乍一看，这似乎是不可能的:把无穷多个正距离加起来，总和的距离应该是无穷远。但它不是，在这种情况下，它给出了一个有限的和;事实上，所有这些距离加起来是1!稍微思考一下就会发现，这其实并不奇怪:如果我可以把一个有限的距离分成无限个小距离，那么把所有这些距离加起来就会得到我开始时的有限距离。(像上面这样的无限和在数学上被称为无限级数;当这样的和加起来是一个有限数时，我们说这个级数是可和的。)

芝诺悖论的解决方法很简单。显然，我要花一定的时间才能穿过一半的距离到达房间的另一边，比如说2秒。走完剩下距离的一半需要多长时间?只有一半的时间——1秒。走完剩下距离的一半(总距离的八分之一)只需要半秒，以此类推。一旦我覆盖了所有的无限个子距离然后把所有穿过它们的时间加起来?仅仅4秒钟，我就站在了房间的另一边。

可怜的阿喀琉斯会赢得他的比赛!!

有一个非常贫穷、古朴的小镇，那里的每个人都欠着别人的巨额债务，却没有钱偿还。

有一家旅馆几乎没有生意了。他们很快就会关闭它。一天，一位非常富有的美国客人出现了，他想在这里过夜。然而，在他确认之前，他要求参观酒店。接待员要求美国人交押金，万一他不喜欢这些房间，他可以拿回来。客人很乐意。很幸运的是，这正好是酒店欠厨师三个月的工资，他们无法支付。他们把钱给了厨师。

厨师一看，这正是他几个月来一直没能付清的食品杂货欠款。他付钱给杂货商。杂货商意识到这正是他欠医生的治疗妻子关节炎的钱，所以他付了医生的钱。然后医生把钱付给护士两个月的服务费，他付不起。护士刚到这个城市，所以她在旅馆里住了几天才找到房子出租。她当时也很穷，付不起旅馆的钱。她从医生那里得到的钱正好是她欠旅馆的钱，所以她付了。

现在旅馆已经拿回了付给厨师的钱。然后客人已经完成了他的房间参观，发现他不喜欢它。他从酒店拿回了押金，然后离开了，再也没有出现过。所以每个人的债务都已经还清了，但与以前没有什么不同。没有人挣到任何东西。但现在每个人都很高兴，尽管这些钱什么也没做，只是回到了它的第一个主人那里。因此，这个悖论基本上描述了从一开始什么都没有改变，但在这个过程中，债务是不用钱来偿还的。

债务真的存在吗?