罗素悖论

罗素悖论这是一个反例朴素集合论，它将集合定义为任何可定义的集合。悖论定义了集合 $R$在所有不他们自己的成员，并注意到

• 如果 $R$那么，它包含了它自己 $R$必须是一组不通过的定义本身成员 $R$，这是矛盾的；
• 如果 $R$不包含自身，然后 $R$为不是自身的部件的集合中的一个，并且因此包含在 $R$顾名思义，这也是一个矛盾。

这种矛盾是罗素悖论。这是显著由于重塑的定义集合论，这在当时是数学的基本公理特别令人感兴趣的（例如，皮亚诺公理（定义算术）正在用集合语言重新定义。

罗素的悖论（以及类似的问题）最终被一种公理化的集合论所解决，称为ZFC，继泽梅洛、弗兰克尔和斯科勒姆之后，这一观点在二战后得到广泛接受选择公理不再是有争议的。总之，ZFC的定义一组公理在它是解决矛盾不必然的情况是，有一组对象满足某些给定的属性，这与朴素集理论不同，朴素集理论任何属性定义满足它的一组对象。

想想理发师吧，剃须者就是那些不刮胡子的人（也就是理发师刮胡子，刮胡子，不刮胡子的人）。然后

• 如果理发师刮胡子自己，那么理发师的“那些男人谁不刮胡子自己，”一个矛盾的例子。
• 如果理发师自己不刮胡子，那么理发师就是“那些自己不刮胡子的人”的例子，因此理发师自己刮胡子——这也是一个矛盾。

因此，理发师自己不刮胡子，但他也不刮不他自己刮胡子，这就是悖论。

在上面的例子中，一个简单的解决方法是“不存在这样的理发师”，但罗素悖论的要点是这样一个“理发师”（即一组）必须如果朴素集理论是一致的，则存在。既然这个理发师导致了一个悖论，那么朴素的集合论必然是不一致的。

集合论特别令人感兴趣的只是前20 $^ \ {文本第}$世纪，因为它的语言是一般正式的数学非常有用的。举例来说，短短应用

• 可以使用集合将算术形式化，如皮亚诺公理. 由于许多数学仅仅依赖于算术的完备性，这就允许大量数学被隐式形式化。
• 双射可以理解为关于集合的一对一对应关系的陈述，这也导致。。。
• 形式化无穷和基数，特别是在定义不同类型的无穷大时，如康托无穷大证明实数比整数多。

由于这种非常有用的形式化的结果，许多数学的被重新利用在Cantorian集合论的术语来定义，到如此地步，它（字面意思）而形成的数学基础。

罗素悖论担任显示导致矛盾的是Cantorian集理论，这意味着不仅是一套理论不得不重新考虑，但大部分数学（由于搁在集合论）在技术上是个疑问。幸运的是，该领域是一个很短的时间后修复的新公理（ZFC)集合论仍然是当今数学的主要基础体系。

朴素集合论是理论谓词逻辑与二元谓词 $\在$，这就满足了

$\存在y\forall x\big（x\in y\iff\phi（x）\big）$

对于任何谓词 $\ phi.$. 这叫做无限制的理解，以及

存在一个集合 $Y$其成员正是满足谓词的对象 $\ phi.$.

朴素集理论还包含另外两个公理ZFC还包括：

生存实例：

给出了一个公式的形式 $（\x）\phi（x）$，可以推断 $\披（c）中$为了一些新的符号 $C$.

所有这些的意思是，如果存在满足给定属性的一些对象，该元素可以给出一个名字 $C$（在这样的方式 $C$以前未使用）。例如，

• 存在满足方程若干 $X ^ 2 + 1 = 0$.
• 定义 $我$为满足方程的数 $I ^ 2 + 1 = 0$.

这是正确的逻辑。

通用实例化：

给出了一个公式的形式 $\ forall的X \披（x）的$，可以推断 $\披（c）中$对于任何一个 $C$在宇宙中。

直观地说，这条公理表明，如果所有东西都满足某个属性，那么这些东西中的任何一个也满足该属性。例如，

• 所有住在加利福尼亚的人都住在美国。（假设）
• 约翰住在加利福尼亚(暗示约翰是宇宙的一部分）
• John住在美国（调用通用实例化）

这是正确的逻辑。

这些公理是足以说明罗素悖论：

• 考虑谓词 $\披：X \不\ x中$.
• 通过不受限制的理解，存在一个集合 $Y$由满足谓词的元素组成 $\ phi.$.
• 通过存在实例化，存在一个 $Z$以致 $\ FORALL X \大（X \ Z轴\ IFF \披（X）\大）$.
• 通过通用实例化， $Z$（这是在宇宙）满足谓词 $x\in z\iff\phi（x）$所以 $z\in z\iff z\not\in z$,

这是一个矛盾，意味着天真的集合论是不一致的。

粗略地说，有两种方法可以解决罗素悖论：要么

• 改变逻辑语言，即一阶逻辑，表示集合论的公理，或
• 改变集理论的公理，同时保留他们所表述的逻辑语言。

罗素在他的第一次尝试中用怀特黑德的方法重新定义了集合论数学原理，发展类型理论正在进行中。不过，虽然他们最终成功地以这样的方式定义算法，他们不能这样做，使用纯逻辑等其他问题出现。

事实上，哥德尔表明，皮亚诺算法是不完整的（假设Peano算法是一致的），本质上表明Russell的方法不可能形式化。在这样做的过程中，戈德尔展示了他广受赞誉的不完全性定理.

第二种方法改变了集合论的公理，Zermelo（后来与Franekel和Skolem一起）在推导ZFC.这与更换无限制理解解决的悖论理解受限（也称为规范):

给定一个谓语 $\ phi.$具有自由变量的 $X，Z，W_1，W_2，\ ldots，w_n$, $\forall z\forall w_1\forall w_2\ldots\forall w_n\存在于y\forall x（x\in y\iff\big（x\in z\land\phi）\big）。$

本质上，这意味着给定一组 $Z$和谓词 $\ phi.$，子集

$\ {X \沿z：\披（X）\}$

（即 $Z$满足谓词 $\ phi.$)存在。

这就解决了罗素悖论的唯一问题子集可以构造，而不是任何可在形式中表达的集合 $\ {X：\披（X）\}$.在这个意义上说，罗素悖论用来表明

不存在包含所有集合的集合，

这也是其本身就是一个有用的结果。

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