系列

一个数学系列是某些内容中的一个无限的元素<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/terminology-of-sequences-and-series/" class="wiki_link" title="序列" target="_blank">序列．一个术语系列 $一个$， 在哪里 $N.$不同 $1$通过所有正整数，表示为 $\ sum_ {n = 1} ^ \ idty a_n。$这 $n ^ \文本{th}$部分和 $S_n$级数的值 $s_n = \ sum_ {i = 1} ^ n a_i。$

例如，对于等式 $f（n）= n ^ 2，$总数是 $f (n)$对于每一个 $N.$之间 $1$和 $\ infty$可以表示为 $\ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots。$如果我们只想要条款总和 $n = 10,$那将是 $s_ {10} = \ sum_ {n = 1} ^ {10} n ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + cdots + 10 ^ 2 = 385。$

系列在整个数学和科学中都很有用，作为一种手段<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/numerical-analysis/" class="wiki_link" title="近似" target="_blank">近似那<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/analytic-continuation/" class="wiki_link" title="分析延续" target="_blank">分析延续,和评价。的值的隐式连接<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/derivatives/" class="wiki_link" title="衍生品" target="_blank">衍生品的功能提供了一个强大的工具，在所有领域使用<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/learn-and-practice-calculus-on-brilliant/" class="wiki_link" title="结石" target="_blank">结石．

符号 $\和$指示一个求和，它可以通过迭代参数(通常指定在求和下面)来解释，因为它接受指定范围内(从初始值到上限)的值(通常是整数)，然后添加得到的表达式。例如,

$\ sum_ {k = 1} ^ {200} f（k）= f（1）+ f（2）+ \ dots + f（200）。$

的参数 $K.$有初始价值 $1$．它对所有整数值迭代（和包括） $200$，其上限。然后总结这些迭代。

的参数 $K.$可以替换（在所有情况下） $一世$或者其他变量。常用参数包括 $一世$那 $j$那 $K.$那 $M.$, $N.$．代表同一件事的另一种方式是符号，被视为

$\ sum_ {j \ in \ {1，\，2，\ dots，\,,200 \}} f（j）= f（1）+ f（2）+ \ dots + f（200）。$

通常，如果它是明确且定义的，则可以接受求和符号。为了定义明确，求和必须是有限的或<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/absolutely-convergent/" class="wiki_link" title="绝对收敛" target="_blank">绝对收敛（或有条件地收敛于求和）。它遵循<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/summation/">收敛是系列研究中最重要的问题之一。

像其他数学运算一样，求和可以在函数的定义中使用，也可以在级数中包含变量。<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/summation/">电源系列进一步探索这个想法。

主要文章：<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-tests/" class="wiki_link" title="收敛试验" target="_blank">收敛试验

据说一个系列汇合一个值<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/limits-of-functions/" class="wiki_link" title="限制" target="_blank">限制其部分总和的方法是该价值;就是给予无限序列 $\ {a_k \}$本系列,

$\ sum_ {k = 1} ^ \ infty a_k = \ lim_ {n \ \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n a_k。$

如果限制不存在，则据说该系列有分歧．级数发散的一个充分条件是:

散度测试

如果 $\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} a_n$不存在，或者存在并且是非零，然后 $\ \和limits_ {n = 1} ^ \ infty an$发散。

本质上讲，这就是说，如果某个函数的限制（不是该函数的总和的限制，但只是函数的限制）变得越来越大，但限制不等于 $0.$．如果函数的限制只是保持较大，那么它的函数的总和 $\ infty$正在分歧。但是，失败的发散测试并不意味着求和会聚。一般来说，<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-tests/" class="wiki_link" title="收敛试验" target="_blank">收敛试验对于确定无限求和是否会聚或发散是必要的。

据说一个系列绝对汇集如果由其项的绝对值构成的级数收敛;就是给予无限序列 $\ {a_k \}$那

$\ sum_ {k = 1} ^ \ idty | a_k |\文本{收敛。}$

据说一个系列收敛条件如果它会收敛但没有通过此测试，这意味着它不会完全收敛。

例如，总和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}$融合绝对。但总和 $\ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ idty \ frac {（ - 1）^ {n + 1}} {n}$是收敛的条件。如果我们知道两者都是收敛的，我们可以证明它们绝对收敛或条件收敛，只要取函数的绝对值之和:

$\ begin {对齐} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ idty \ left | \ frac {（ - 1）^ {n + 1}} {2 ^ {n}} \ lex＆= frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ cdots + \ frac {1} {2 ^ {n}} \ lightarrow \ text {groudges} \\ \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ idty \ left | \ frac {（ - 1）^ {n + 1}} {n} \ lex＆= 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ cdots + \ frac {1} {n}} \ lightarrow \ text {不收敛}。\结束{对齐}$

绝对收敛或条件收敛是很重要的因为它提供了关于序列和序列本身的更多信息。例如,<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-series-theorem/" class="wiki_link" title="Riemann系列定理" target="_blank">Riemann系列定理说明如果级数是条件收敛的，那么它就不能自由地重新排序。对于幂级数，它可以帮助确定在正值或负值时的行为。

主要文章：<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/power-series/" class="wiki_link" title="电源系列" target="_blank">电源系列

电源系列是表达式 ${\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ idty} a_n x ^ n$由无限序列生成 $\ {an \}$．

幂级数在微积分中被用作<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/maclaurin-series/" class="wiki_link" title="函数的局部逼近" target="_blank">函数的局部逼近并在组织中作为<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions-solving-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="计算的抽象工具" target="_blank">计算的抽象工具．在微积分中，收敛问题是最重要的，但它不是组合问题的中心。在组合学中，可以对幂级数进行符号化处理，而不必担心收敛问题。

幂级数存在多变量展开式。收敛就变得更加复杂了，但是<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/fubinis-theorem/" class="wiki_link" title="Fubini-tonelli定理" target="_blank">Fubini-tonelli定理提供代数操纵的指导。

由于级数的无穷性质，不借助于代数方法是不可能直接计算和的。然而，一般来说，存在许多级数不能以封闭形式表示，所有现代计算器和计算机都需要某种估算软件，以提供一个令人满意的小数答案。这种近似方法属于<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/numerical-analysis/" class="wiki_link" title="数值分析" target="_blank">数值分析．强大的近似工具是双重重要的，如<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/definite-integrals/" class="wiki_link" title="一体化" target="_blank">一体化通常用数字表示为<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/riemann-sums/" class="wiki_link" title="无限和的一种" target="_blank">无限和的一种．

一个交替级数是一个可以用形式表示的级数

$\ sum_ {k = 1} ^ \ idty（-1）^ k a_k$

对于一些序列 $\ {a_k \}$的非负数字。交替级数称为减少如果 $an >现代{n + 1}$对所有人 $N.$．

让 $S_n$是 $n ^ \文本{th}$一系列部分的总和，让 $S.$是实际的总和。减少交替系列具有简单的错误给出

$S_n - a_{n+1} < S < S_n + a_{n+1}。$

这<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-tests/">积分判别法可以帮助估计积极系列减少的总和 $\ sum_ {k = 1} ^ \ idty a_k$， 在哪里 $a_k = f (k)$对所有人 $K.$和<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/improper-integrals/" class="wiki_link" title="反常积分" target="_blank">反常积分 $n^∞f(x) dx$是收敛的。误差范围是

$S_n + \ int_ {n + 1} ^ \ infty f (x) \, dx < S < S_n + \ int_n ^ \ infty f (x) \, dx。$

扭曲了<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/convergence-ratio-test/" class="wiki_link" title="比值判别法" target="_blank">比值判别法也可用于估计总和。让 $L = \lim_{n \to \infty} \tfrac{a_{n+1}}{a_n}$,假设 $L < 1$．

1. 如果比例 $\ tfrac {a_n {n + 1}} {a_n}$减少到 $L.$作为 $N.$那么 $s_n + a_n \ cdot \ left（\ frac {l} {1 - l}右）$ S.N.+一种N.⋅（1-L.L.的）<S.<S.N.+1-一种N.一种N.+1一种N.+1．
2. 如果比例 $\ tfrac {a_n {n + 1}} {a_n}$增加到 $L.$作为 $N.$那么 $s_n + \ frac {a_ {n + 1}} {1 - \ tfrac {a_ {n + 1}} {a_n}}$ S.N.+1-一种N.一种N.+1一种N.+1<S.<S.N.+一种N.⋅（1-L.L.的）．