π

$\ PI$是一个圆的周长和直径之间的比率。那是，

$文本\ dfrac{\{周长}}{\文本{直径}}= \π。$

$\ PI$是数学中的一个基本常数，尤其是几何，三角学习， 和微积分．的第一10位 $\ PI$（有时写成“PI”和发音为“饼”）是 $3.141592653 ......$，但数字任何有限名单的近似值 $\ PI$．这是因为 $\ PI$是一个无理数 $\大($这意味着它是不完全等同于整体数字的任何比率， $\压裂{A} {B} \大），$以及超越数．

包括常见的几何公式 $\ PI：$

• $\ PI = \压裂{C} {d}，$在哪里 $C$是一个的圆周圆和 $d$是直径。
• $A = r^2，$在哪里 $一个$是个圆的面积和 $r$是半径。
• $V = frac{4}{3}\ r^3，$在哪里 $V$是个球体的体积和 $r$是半径。
• $SA = 4\ r^2，$在哪里 $SA$是个球面的表面积和 $r$是半径。
• $A = ab，$在哪里 $一个$是个椭圆的面积和 $一个$和 $b$是半小调和半大调轴。

通过测量这些多边形的周长，我们可以近似圆的周长。

这些周长 $n$- 可以从中获得常规的多边形三角，我们可以再使用小角度近似为了求极限， $2 \π。$

一个近似的 $\ PI$可以从外接正方形和内接正方形的周长推导出来。

让 $P_1$是较大的正方形的周界， $P_2$小正方形的周长，还有 $C$该圆的圆周上。

圆的周长可以用两个周长的平均值来近似:

$C \大约\压裂{P_1 + P_2}{2}。$

如果 $d$是圆的直径，那么较大正方形的一侧也是如此 $d$．可以使用a的较小方块的一侧的长度特殊直角三角形．这个长度是 $\压裂{\ SQRT {2}} {2} d$．现在我们有

$\开始{对齐} P_1＆= 4D \\ P_2＆= 2 \ SQRT {2} d。结束\{对齐}$

所以，我们对圆周近似 $Ç\约\大（2+ \ SQRT {2} \大）d$．除以这个方程通过 $d$产生我们的近似 $\ PI：$

$\ PI \约2+ \ SQRT {2}。$

这是不是一个特别好近似!然而，对于有更多边的正多边形，使用类似的方法可以获得更好的近似。

有许多模拟和统计技术可以用来近似 $\ PI$．发明计算机前不久，法国数学家布冯 $（1707年至1788年）$和拉普拉斯 $（1749-1827）$使用随机模拟来估计的值提出 $π$．

著名的《布冯针》(Buffon’s needle)近似于此 $\ PI$使用的事实，直针等可能地在任何角度，当它被扔在一个平面上。

认为 $n$长度为1的针被滴到用开木材1单元的条地板。这期望值交叉两条木条的针的数量是 $\压裂{2} {\ PI} \ CDOTñ。$

证明的关键是每一针破碎成小片段的念头。宽泛地说，线性的期望告诉我们，针将木材的两条之间的交叉的预期次数是成正比的针的长度。

因此，作为长度的函数 $我，$过路的预期数量为 $cl$对于一些常数 $c。$然而，考虑一个直径为1的圆(圆周 $\ PI$）;以概率1，该圆相交恰好2木交叉的。因此， $Ç\ PI = 2，$所以 $C = \压裂{2} {\ PI}。$如果一个人是圆的想法不舒服，可以考虑通过将一束非常，非常小的直线段的近似圆形。 $_\正方形$

这就产生了一种简单的近似模拟技术 $\ PI。$简单地把 $n$地上有针，数一数有多少针 $x$其交叉木两个条带，然后 $\π\大约\压裂{2 n} {x}。$这种类型的模拟技术被称为蒙特卡罗模拟．

另一种近似就更简单了。想想刻写了一圈的正方形，长的边 $2$，使半径 $r$的圆的是长度的 $1$．

圆的真实面积是 $\ PI R 1 {2} = \ PI$．布丰提出，他可以通过在广场附近投下大量的针(他认为针落下时沿着随机的路径)来估计一个圆的面积。然后，尖头位于正方形内的针的数量与尖头位于圆形内的针的数量之比就可以用来估计圆的面积:

$\压裂{{A} _ {C}} {{A} _ {S}} = \压裂{\ PI {R} ^ {2}} {4 {R} ^ {2}} \意味着\ PI = 4\压裂{{A} _ {C}} {{A} _ {S}}。$

数量 $\ PI$最重要的是三角学习，因为它提供了一个更自然的角度解释程度做的。具体地说,弧度定义使 $2 \ PI.$弧度相当于一个完整的圆（换言之， $\ PI$,理解为 $\ PI$弧度，通常等于三角使用时）180度;以这种方式，角 $\θ$对应于的弧长 $\ THETA \ CDOT [R$， 在哪里 $r$是圆圈的半径。等效地，定义弧度，使得一个弧度对应于等于圆的半径的弧长。

这也使三角函数的求值变得容易:

这也使得复数在呈现极坐标的，这意味着任何复杂的数可以在形式被写入 $再^ {I \ THETA}$对于一些实数 $r$和 $\θ$．数量 $\ PI$发挥在他们的分析中起关键作用，因为这复数相当于

$再^ {I \ THETA} = R（\ COS \ THETA + I \犯罪\ THETA）$

由于双方均表示相同点在复平面．设置 $\θ= \π$给出了著名的身份

$E 1 {I \ PI} + 1 = 0。$

它是猜想这就是只要数之间的非平凡关系 $艾凡,我,$和 $\ PI$，使这个结果(称为欧拉公式）更为显着。

虽然 $\ PI$不能被表示为任何有限级数有理数（作为存在的结果非理性），有很多的方式来表达 $\ PI$作为A.无限系列。的“第一”，从历史上说，这些序列中的是一个无限产物：

$\压裂{2}{\π}= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ * \压裂{\√6 {2 + \ sqrt{2}}}{2} \ * \压裂{\√6 {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2}}}} {2} \ \ cdots,$

其中，由于 $N R个\ {文本第}$无穷积的项是 $\ COS \压裂{\ PI} {2 ^ N}$由半角式的重复应用，等效于声明

$n \ rightarrow \ \ lim_ {infty} \压裂{1}{2 ^ n \罪\压裂{\π}{2 ^ {n + 1}}} = \压裂{2}{\π},$

这是真的，因为 $罪\ \压裂{\π}{2 ^ {n + 1}} \大约\压裂{\π}{2 ^ {n + 1}}$对于大型 $n$．

更有用的级数是无穷级数总和而不是乘积，因为计算无穷表达式的前几项 $\ PI$提供其价值的良好近似值。最简单的是Gregory-Leibniz系列，它使用了评估泰勒系列的 $\ arctan x$在1:

$\压裂{\π}{4}= 1 - \压裂{1}{3}+ \压裂{1},{5}\压裂{1}{7}+ \ cdots。$

但是，这是这样的汇聚慢慢地，这意味着有大量的术语都需要得到一个很好的近似 $\ PI$．更好的系列包括梅钦样公式：

$\开始{对齐}\压裂{\π}{4}& = 4 \反正切\压裂{1}{5}\反正切\压裂{1},{239}\ \ \压裂{\π}{4}& = 22 \反正切\压裂{24478}{873121}+ 17 \反正切\压裂{685601}{69049993}。结束\{对齐}$

在现代计算机时代，甚至还有更好的系列:

$\压裂{1}{\π}= \压裂{2 \√{2}}{9801}\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \压裂{(4 k) ! (1103 + 26390 k)} {k ! ^ 4 (396 ^ {4 k})},$

其可被用于计算数百万的数字 $\ PI$．

$\ PI$还可以在以下方面中定义积分．最简单的是那些表示圆的面积或周长的符号:

$\ INT _ { - 1} ^ 1个\ SQRT {1-x ^ 2} DX = \压裂{\ PI} {2}，$

作为 $\ left（x，\ sqrt {1-x ^ 2} \右）$代表圈子的上半部分 $[1]$．

更复杂的积分来自统计数据如下的面积正态分布：

$\ INT _ { - \ infty} ^ {\ infty}ë^ { - X ^ 2} DX = \ SQRT {\ PI}$

和柯西分布:

$\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \压裂{1}{x ^ 2 + 1} dx = \π。$

最后, $\ PI$出现在涉及的各种表达中γ函数，这是的一个扩展的阶乘函数定义为

$\γ(t) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {t - 1} e ^ {- x} dx,$

其中包含 $\ PI$当半整数评估。例如，

$左(\ \伽马\压裂{1}{2}\右)= \ sqrt{\π}~ ~ \伽马\离开(\压裂{5}{2}\右)= \压裂{3}{4}\ sqrt{\π}。$

第一位数500 $\ PI$是

$\ \ 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 \ \小8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 \ \ \ 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 \ \ \小724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146919415116094 \\ \小3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912…$

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