同态gydF4y2Ba

同态gydF4y2Ba是代数对象之间的映射。主要有两种类型:gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba同态和gydF4y2Ba环gydF4y2Ba同态。(其他例子包括gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba同态，通常被称为gydF4y2Ba线性映射gydF4y2Ba的同态gydF4y2Ba模块gydF4y2Ba的同态gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

一般来说，两个代数对象之间的同态gydF4y2Ba $A、BgydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $f \冒号A \到BgydF4y2Ba$哪个保留了代数结构gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $B。gydF4y2Ba$也就是说，如果元素在gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$满足一些涉及加法或乘法的代数方程，它们的象在gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$满足相同的代数方程。的代数结构决定了同态在各种情况下定义的细节gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $B。gydF4y2Ba$

如果操作在gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$都是加法，那么同态条件是gydF4y2Ba $F (a+b) = F (a)+ F (b)。gydF4y2Ba$如果gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$都是gydF4y2Ba环gydF4y2Ba，有加法和乘法，也有一个乘法条件:gydF4y2Ba $F (ab) = F (a) F (b)。gydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba双射gydF4y2Ba同态被称为同构。两个代数对象之间的同构gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$使它们彼此一致;从代数意义上讲，它们是同一个对象(可能有两种不同的写法)。同态在抽象代数中最常见的应用是通过三个所谓的gydF4y2Ba同构定理gydF4y2Ba，以便识别某些gydF4y2Ba商gydF4y2Ba具有某些其他子对象(子组、子对象等)的对象。gydF4y2Ba

代数对象之间相互作用的研究是代数研究的基础。从一个代数对象到另一个代数对象的同态的存在性和性质提供了关于对象及其关系的丰富的深度信息。很多重要的概念gydF4y2Ba抽象代数gydF4y2Ba，例如gydF4y2Ba

• 的整数gydF4y2Ba模gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$

• 一个主要gydF4y2Ba理想的gydF4y2Ba在一个环中gydF4y2Ba

• 一个符号gydF4y2Ba排列gydF4y2Ba，gydF4y2Ba

可以自然地考虑为(分别)同态的象，则gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba同态的，或者同态本身的。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是组，操作由gydF4y2Ba $\ circ_AgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ circ_BgydF4y2Ba$分别。一个gydF4y2Ba群同态gydF4y2Ba $f \冒号A \到BgydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f(x \circ_A y) = f(x) \circ_B f(y)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $x,y \in A。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$被戒指，用操作gydF4y2Ba $+gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\ cdotgydF4y2Ba$(这是对符号的轻微滥用，但下面的公式在操作上加上下标会更加笨拙)。一个gydF4y2Ba环同态gydF4y2Ba $f \冒号R \到SgydF4y2Ba$是一个函数gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba

• $F (a+b) = F (a)+ F (b)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $a,b \在R里gydF4y2Ba$

• $(ab) = f (a) (b)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $a,b \在R里gydF4y2Ba$

• $f(1_R) = 1_S。gydF4y2Ba$

(在本wiki中，“环”的意思是“团结的环”;的同态gydF4y2Ba环gydF4y2Ba以同样的方式定义，但没有第三个条件。)gydF4y2Ba

在这两种情况下，同态被称为gydF4y2Ba同构gydF4y2Ba如果它是双射。gydF4y2Ba

证明如果gydF4y2Ba $f \冒号R \到SgydF4y2Ba$是一个环同态，gydF4y2Ba $f(0_R) = 0_S。gydF4y2Ba$

---

请注意,gydF4y2Ba $f(0_R) = f(0_R+0_R) = f(0_R) + f(0_R)gydF4y2Ba$通过同态性质。自gydF4y2Ba $f (0 _r)gydF4y2Ba$有一个加性逆吗gydF4y2Ba $年代,gydF4y2Ba$我们可以把它加到方程两边得到gydF4y2Ba $0_S = f(0_R)。gydF4y2Ba$ $_ \广场gydF4y2Ba$

1. 对于任何团体gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $H,gydF4y2Ba$存在一个平凡同态gydF4y2Ba $z \冒号G \到HgydF4y2Ba$给出的gydF4y2Ba $z(g) = 1_HgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g \ g。gydF4y2Ba$

2. 让gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$为正整数。这个函数gydF4y2Ba $r \冒号{\mathbb Z} \到{\mathbb Z}_ngydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $R (a) = a \pmod ngydF4y2Ba$是环同态(因此，它是加性群的同态)。gydF4y2Ba

3. 定义gydF4y2Ba $c \冒号{\mathbb c} \to {\mathbb c}gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $C (z) = {\overline{z}}，gydF4y2Ba$即。gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$是复共轭。然后gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$同态是从gydF4y2Ba $\ mathbb CgydF4y2Ba$本身。它显然是一个双射，所以它实际上是一个同构gydF4y2Ba $\ mathbb CgydF4y2Ba$本身。gydF4y2Ba

4. 让gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$成为…的拥护者gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$，并选择gydF4y2Ba $\alpha \在S。gydF4y2Ba$然后有一个评价同态gydF4y2Ba $ev_{\alpha} \冒号R[x] \to S，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $R [x]gydF4y2Ba$有系数的多项式环在里面吗gydF4y2Ba $R。gydF4y2Ba$它是由gydF4y2Ba $Ev_ {\alpha}(f(x)) = f(\alpha)。gydF4y2Ba$

5. 地图gydF4y2Ba $f \冒号{\mathbb R} \到{\mathbb R}^*gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $F (x) = e^xgydF4y2Ba$是群同态。请注意,gydF4y2Ba $R \ mathbbgydF4y2Ba$是加性基团和gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ *,gydF4y2Ba$非零实数的集合，是一个乘法群。验证gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是群的同态恰恰是指数定律:gydF4y2Ba $E ^{x+y} = E ^x \cdot E ^y。gydF4y2Ba$

6. 让gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$是gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba在gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$信件。存在一个唯一的非平凡群同态gydF4y2Ba $\epsilon \冒号S_n \to \{\pm 1\}，gydF4y2Ba$后者是乘法下的群。的值gydF4y2Ba $σ\ε(\)gydF4y2Ba$为gydF4y2Ba $\sigma \在S_ngydF4y2Ba$叫做gydF4y2Ba标志gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $\σ,gydF4y2Ba$并且在许多应用中都很重要，包括的一个定义gydF4y2Ba行列式gydF4y2Ba矩阵的。gydF4y2Ba

任何同态gydF4y2Ba $f \冒号A \到BgydF4y2Ba$有两个对象与它相关联:内核，它是gydF4y2Ba $一个,gydF4y2Ba$这个图像是gydF4y2Ba $B。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $f \冒号G \到HgydF4y2Ba$是群同态。的核心gydF4y2Ba $f,gydF4y2Ba$ ${ker} \文本(f),gydF4y2Ba$的子集gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$由元素组成gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f(g) = 1_HgydF4y2Ba$(gydF4y2Ba $1 _hgydF4y2Ba$是组标识元素)。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $\phi \冒号R \到SgydF4y2Ba$是一个环同态。的核心gydF4y2Ba $\φ,gydF4y2Ba$ ${ker} \文本(\φ),gydF4y2Ba$的子集gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$由元素组成gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $\phi(r) = 0_S。gydF4y2Ba$

为进一步探索内核的设置gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba，请参阅gydF4y2Ba维基gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

同态核在群论和环论中都是一个重要的对象。下面的定理确定了它是什么类型的对象:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $f \冒号G \到HgydF4y2Ba$是群同态。然后gydF4y2Ba ${ker} \文本(f)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba正规子群gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $克,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $文本\ {im} (f)gydF4y2Ba$的子组是gydF4y2Ba $H。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $\phi \冒号R \到SgydF4y2Ba$是一个环同态。然后gydF4y2Ba ${ker} \文本(\φ)gydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba理想的gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $R,gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba ${im} \文本(\φ)gydF4y2Ba$是subring的gydF4y2Ba $年代。gydF4y2Ba$

继续上面的六个例子:gydF4y2Ba

1. 如果gydF4y2Ba $z\冒号G\到HgydF4y2Ba$那么这是平凡同态吗gydF4y2Ba $\text{ker}(z) = GgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $\text{im}(z) = \{1_H\}，gydF4y2Ba$的平凡子群gydF4y2Ba $H。gydF4y2Ba$

2. 约简模的核gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是理想gydF4y2Ba $n {\ mathbb Z}gydF4y2Ba$的倍数组成的gydF4y2Ba $n。gydF4y2Ba$图像是所有的gydF4y2Ba ${\ mathbb Z} _n”gydF4y2Ba$；减少国防部gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

3. 复共轭的核是gydF4y2Ba $\ \ {0},gydF4y2Ba$平凡的理想gydF4y2Ba $\ mathbb C。gydF4y2Ba$(注意,gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$总是在环同态的核上，通过上面的例子。)图像是所有的gydF4y2Ba $\ mathbb C。gydF4y2Ba$

4. 评价的核心在于gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$这个多项式的集合里面有系数吗gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$它们消失在gydF4y2Ba $\α。gydF4y2Ba$这种理想并不总是容易确定的，要视性质而定gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $年代。gydF4y2Ba$举一个常见的例子，假设gydF4y2Ba $R = {\ mathbb Q}, S = {\ mathbb C} \α= \ sqrt {2} + \ sqrt{3}。gydF4y2Ba$哪些有理数系数多项式会消失gydF4y2Ba $\ sqrt {2} + \ sqrt {3}gydF4y2Ba$？(见gydF4y2Ba代数数论gydF4y2Ba你可以在维基上找到答案。)gydF4y2Ba
   图像的评价在gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$一枚戒指叫做gydF4y2Ba $R \α,gydF4y2Ba$哪一种是gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$由多项式组成的gydF4y2Ba $\αgydF4y2Ba$系数在gydF4y2Ba $R。gydF4y2Ba$

5. 的幂核是映射到的单位元的元素集合gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ *,gydF4y2Ba$这是gydF4y2Ba $1.gydF4y2Ba$所以核函数是gydF4y2Ba $\ \{0}。gydF4y2Ba$取幂的像就是子群gydF4y2Ba ${} \ mathbb R ^ * _ +gydF4y2Ba$正实数。gydF4y2Ba

6. 符号同态的核被称为gydF4y2Ba互联gydF4y2Ba $an。gydF4y2Ba$它是一个重要的亚群gydF4y2Ba $S_ngydF4y2Ba$哪一个提供的例子gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba为gydF4y2Ba $N \ge 5;gydF4y2Ba$符号同态的像是gydF4y2Ba $1 \} \{\点,gydF4y2Ba$由于符号是一个非平凡映射，所以它同时具有这两种映射gydF4y2Ba $＋1gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $－1gydF4y2Ba$对于某些排列。gydF4y2Ba

• 成分:gydF4y2Ba同态的复合是同态。也就是说，如果gydF4y2Ba $f \冒号A \到BgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g \冒号B \到CgydF4y2Ba$那么，是同态吗gydF4y2Ba $g \circ f \冒号A \到CgydF4y2Ba$也是同态的。gydF4y2Ba

• 同构:gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是同构，也就是双射同构gydF4y2Ba $f ^ {1}gydF4y2Ba$也是同态的。(与gydF4y2Ba同胚gydF4y2Ba，拓扑学中类似的概念，是具有连续逆的连续函数;双射连续函数不一定有连续逆函数。)gydF4y2Ba

• 注入性与核:gydF4y2Ba群同态gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$当且仅当它的核是内射的gydF4y2Ba ${ker} \文本(f)gydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $\ \ {1},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $1gydF4y2Ba$表示域的单位元素。环同态是内射的当且仅当它的核等于gydF4y2Ba $\ \ {0},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$表示域的附加恒等式。gydF4y2Ba

• 字段同态:gydF4y2Ba如果gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba场gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$是不是零环，那么任何同态gydF4y2Ba $f \冒号R \到SgydF4y2Ba$是单射。(证明:核是一个理想，一个场中唯一的理想是整个场和零理想。自gydF4y2Ba $F (1) = 1，gydF4y2Ba$肯定是后者。)gydF4y2Ba