内核(零空间)

的内核(或零空间)的线性变换 $T \冒号{\mathbb R}^n \到{\mathbb R}^m$是一组 ${ker} \文本(T)$向量的 ${\bf x} \in {\mathbb R}^n$这样 $T({\bf x}) = {\bf 0}。$这是一个子空间的 ${} \ mathbb R ^ n$谁的维被称为零度．的rank-nullity定理将此维度与排名的 $T。$

当 $T$是由左乘an得到的吗 $m \ n$矩阵 $一个,$这 $T({\bf x}) = A{\bf x}$ $（$在哪里 ${\bf x} \in {\mathbb R}^n$被认为是 $n \ * 1$矩阵 $)，$通常指的是矩阵的核，而不是线性变换的核。 ${ker} \文本(A)$而不是 $文本\ {ker} (T)。$

许多子空间 ${} \ mathbb R ^ n$可以自然地描述为特定线性变换的核(和的每一个子空间 ${} \ mathbb R ^ n$可以描述为内核的一些线性变换)。给定一个线性方程组 $A{\bf x} = {\bf b}，$核的计算 $一个$(通过高斯消去法)可以用来给出系统的通解，只要已知一个特解。

让 $= \ {pmatrix}开始1 2 3 \ \ 4 5和6 \ \ 7 8和9 \ {pmatrix}结束。$找到 ${ker} \文本(A)。$

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高斯消去法: $\begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix} 1&2&3\\0&3&6\\0&6&12 \end{pmatrix} 1&2&3\\0&3&6\\0&0&0 \end{pmatrix} 1&2&3\\0&1&2\\0&0&0 \end{pmatrix} \ righttarrow \begin{pmatrix} 1&0& 1\\0&1&2\\0&0&0 \end{pmatrix}。$行约简并不改变矩阵的核，这是一个事实(在下一节中证明)。矩阵的核 $U$在淘汰过程的最后，也就是行简化阶梯形，通过将主变量( $x_1、x_2$在本例中)的自由(非主元)变量( $x_3$在这种情况下)。也就是说, $U{\bf x} = {\bf 0}$相当于 $\{对齐}x_1 - x_3 & = 0开始\ \ x_2 + 2 x_3 & = 0 \{对齐}结束$

所以解向量 ${\ bf x} = {pmatrix} \开始x_1 \ \ x_2 \ \ x_3 \ {pmatrix}结束$= $\begin{pmatrix} x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}。$

核是一个一维子空间 ${} \ mathbb R ^ 3$谁的基础是单个向量 $开始\ {pmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 1 \ {pmatrix}结束。$

• 吸水:内核对吸水的 $T$：

一个线性变换 $T \冒号{\mathbb R}^n \到{\mathbb R}^m$是单射当且仅当 $\text{ker}(T) = \{{\bf 0}\}。$

要理解这一点，请注意，核是映射到的向量的集合 $\ bf 0$,所以如果 $T$是单射的，那么核只能有一个元素，这是必然的吗 $\ bf 0$．另一方面，如果内核是平凡的，那么 $T({\bf x}) = T({\bf y})$意味着 $T({\bf x}-{\bf y}) = \bf 0$，由于内核是平凡的，这意味着 ${\bf x}-{\bf y} = {\bf 0}，$所以 ${\bf x} = {\bf y}。$所以 $T$是单射。

• 子空间的子空间 ${} \ mathbb R ^ n,$只要检查它在加法和标量乘法下是否封闭就足够了: ${\ bf x}, {\ bf y} \ \文本{ker} (A) \ Rightarrow {\ bf x} = {\ bf 0}, {\ bf y} = {\ bf 0} \ Rightarrow ({x} \ bf + {\ bf y}) = {\ bf 0} + {\ bf 0} = {\ bf 0} \ Rightarrow {x} \ bf + {\ bf y} \ \文字{ker} (A)$ ${x} \ bf \ \文本{ker} (A)中,r \ {\ mathbb r} \ Rightarrow (r {x} \ bf) = rA {x} \男朋友= r {\ bf 0} = {\ bf 0} \ Rightarrow r {x} \ bf \ \ {ker} (A)文本。$

• 正交性:表示矩阵核的一种方法 $一个$就点积在 ${} \ mathbb R ^ n$是: ${ker} \文本(A) = (R (A)) ^ \补,$在哪里 $R (A)$是行空间的 $一个,$而且 $V ^ \补$表示与中的所有向量正交的所有向量的集合 $V。$

这个直接的结果在wiki上得到了证明行和列空间．

• 基本行运算下不变:如上例所述，高斯消去中的基本行运算不改变的核 $一个$．理解这个的一种方法是做一个基本行变换和乘法是一样的 $一个$左边是可逆初等矩阵 $E。$但是核心是 $EA$和的核是一样的吗 $一个$:如果 $A{\bf x} = {\bf 0}$然后 $EA{\bf x} = E{\bf 0} = {\bf 0}，$如果 $EA{\bf x} = {\bf 0}$然后 $E^{-1} EA{\bf x} = E^{-1}{\bf 0}，$所以 $A{\bf x} = {\bf 0}。$这证明了上面示例中所概述的计算内核的方法是正确的。

• 用平移法求解一般线性方程:与线性方程组一样，核可以用来求解一般形式的方程 $A{\bf x} = {\bf b}。$如果 $A{\bf x_0} = {\bf b}，$那么通解是这样的形式 ${\bf x} = {\bf x_0} + {\bf v}，$在哪里 ${\bf v} \in \text{ker} A。$这是因为 $\开始{对齐}{\ bf x} = {\ bf b} & \ Leftrightarrow {x} \ bf - {\ bf x_0} = {\ bf b} - {\ bf b} = {\ bf 0} \ \ & \ Leftrightarrow ({x} \ bf - {\ bf x_0}) = {\ bf 0} \ \ & \ Leftrightarrow {x} \ bf - {\ bf x_0} \ \文字{ker} \ \ & \ Leftrightarrow {\ bf x} = {\ bf x_0} + {\ bf v} \ \文字一些}{{\ bf v} \ \文本A {ker} \ \ \{对齐}结束$

所以解的集合 $A{\bf x} = {\bf b}$是一个陪集核的，形式的 ${\bf x_0} + \text{ker}(A)。$

为 $= \ {pmatrix}开始1 2 3 \ \ 4 5和6 \ \ 7 8和9 \ {pmatrix},$找到所有解决方案 $A{\bf x} = \begin{pmatrix} 0\\3\\6 \end{pmatrix}，$考虑到 ${\ bf x_0} = {pmatrix} \开始1 \ \ \ \ 1 \ {pmatrix}结束$就是这样一种解决方案。

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介绍中的例子说明了 $一个$向量的集合是的标量倍吗 $开始\ {pmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 1 \ {pmatrix},$所有解的集合 $A{\bf x} = \begin{pmatrix} 0\\3\\6 \end{pmatrix}$是 ${\ bf x} = {pmatrix} \开始1 \ \ \ \ 1 \ {pmatrix} + t结束\开始{pmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 1 \ {pmatrix},$对所有 $t \ {\ mathbb R}。$

直观地说，核函数衡量了线性变换的程度 $T$崩溃的域 ${} \ mathbb R ^ n。$如果内核是平凡的，那么 $T$那么，不会瓦解域吗 $T$是单射的(如前一节所示);所以 $T$嵌入 ${} \ mathbb R ^ n$成 ${} \ mathbb R ^ m。$但如果核是非平凡的， $T$不再是一个嵌入，那么它的图像在 ${} \ mathbb R ^ m$更小。

这种直觉表明核的大小和像的大小之间存在着反比关系 $T。$这种直觉的形式是秩零定理。下面以矩阵形式说明:

让 $一个$是一个 $m \ n$矩阵。然后 $\text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{rank}(A) = n。$

在这里,排名的 $一个$列空间(或行空间)的维数是 $一个。$求和的第一项，核的维数 $一个,$通常被称为零度的 $一个。$

要看出这个定理是正确的，最自然的方法是把它放在前两节的例子中来看。核的计算 $一个$明确了核的维数等于的行简化阶梯形中自由(非主)列的个数 $一个。$另一方面，回想一下秩等于主列的个数。所以维数的和等于列数，也就是 $n。$

再次 $= \ {pmatrix}开始1 2 3 \ \ 4 5和6 \ \ 7 8和9 \ {pmatrix},$验证rank-nullity为 $一个。$

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我们已经看到了 $文本\{暗}({ker} \文本(A)) = 1,$和级别 $一个$等于行简化阶梯形中主列的个数 $U = \开始{pmatrix} 1 &0&-1 \ \ 0 1 2 0 0 0 \ \ \ {pmatrix},$这是 $2.$正如所料, $1 + 2 = 3。$

本维基集中讨论了使用矩阵的内核实际应用，但上面的语句更适用于线性变换 $T \冒号V \到W$在任意向量空间之间 $V, W。$核仍然是一个子空间，仍然可以用来求解这种形式的线性方程 $T({\bf x}) = {\bf b};$秩零定理仍然是正确的，如果“列数” $n$取而代之的是 ${暗}\文本(V)。$

让 $V = W =$实向量空间 ${\ mathbb P} _4$的多项式 $4 \勒$与真正的系数。验证线性变换的秩零性 $T V结肠\ \ W$给出的 $T (f) = f”。$

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的内核 $T$多项式的集合在里面了吗 $V$它的二阶导数消失了。这显然是多项式的集合 $a_0 + a_1x,$与 $a_0,a_1 \in {\mathbb R}。$这是一个二维子空间 $V$与基础 $\ \} {1, x。$

的形象 $T$多项式的集合在里面了吗 $W$多项式的二阶导数是什么 $V。$不难看出这是的子空间 $W$由次多项式组成的 $\ le 2。$这是一个三维子空间 $W$与基础 $\ {1, x, x ^ 2 \}。$

的维数 $V$是 $5，$因为它的标准基础是 $\ {1, x, x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4 \}。$满足秩零 $2 + 3 = 5。$