简单的组gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba没有不平凡的固有gydF4y2Ba正常的gydF4y2Ba子组。的gydF4y2BaJordan-Holder定理gydF4y2Ba给出了将有限群分解为简单群的某种组合的方法。所以在某种意义上,有限简单群是有限群理论的基石。gydF4y2Ba
这是近年来规模最大、最雄心勃勃的数学研究项目之一gydF4y2Ba 世纪是所有有限简单群的分类,完成于2008年(尽管大部分工作在20世纪80年代中期完成)。有限简单群理论包括几个非常漂亮的例子,来自组合学和几何学,包括著名的gydF4y2Ba怪物群gydF4y2Ba,它有超过gydF4y2Ba 元素,与现代数论甚至有很深的联系gydF4y2Ba弦理论gydF4y2Ba,通过模形式理论。gydF4y2Ba
简单群的定义和基本性质gydF4y2Ba
一个简单群是一个非平凡群gydF4y2Ba 这样,如果gydF4y2Ba 是正常的,然后gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba
该集团gydF4y2Ba 整数的国防部gydF4y2Ba 很简单,gydF4y2Ba 一个正的素数。这是显而易见的gydF4y2Ba拉格朗日定理gydF4y2Ba,因为子组的顺序gydF4y2Ba 分gydF4y2Ba 所以要么gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba 没有非平凡的真子群(因为它是交换的,所以所有的子群都是自动正规的)。gydF4y2Ba
任意有限交换单群是同构的gydF4y2Ba 对于一些'gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是有限阿贝尔单群的非单位元gydF4y2Ba 然后生成的子组gydF4y2Ba 是正常的(一个交换组的所有子组都是自动正常的),所以它必须是所有的gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba 是由gydF4y2Ba (即,gydF4y2Ba 由…的权力组成gydF4y2Ba ).gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba 给出的gydF4y2Ba 显然是同构,所以呢gydF4y2Ba 是同构的gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba 是由任何非标识元素生成的,是吗gydF4y2Ba 只有当gydF4y2Ba 是质数,如果gydF4y2Ba 是复合,假设gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 不等于gydF4y2Ba 然后小组gydF4y2Ba 一个非平凡真正规子群,因为gydF4y2Ba 由gydF4y2Ba 元素国防部gydF4y2Ba 哪些是的倍数gydF4y2Ba 同样,在gydF4y2Ba 不产生gydF4y2Ba 因为生成的子组gydF4y2Ba 由gydF4y2Ba 元素gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba
交替组gydF4y2Ba
最易接近的非gydF4y2Ba阿贝耳gydF4y2Ba简单群是gydF4y2Ba互联gydF4y2Ba 它的简单性是由伟大的(不幸短命的)法国数学家伽罗瓦发现的,它与一个事实有关(由于阿贝尔和鲁菲尼),没有办法“通过根式”解决一个五次多项式方程,也就是说,没有表达式只使用代数运算gydF4y2Ba 包括gydF4y2Ba 根gydF4y2Ba 关于产生一个五次多项式的通解的多项式的系数。(更简单地说,有一个gydF4y2Ba二次方程gydF4y2Ba,以及更难的三次和四次公式;但没有五次公式。)gydF4y2Ba
真相gydF4y2Ba :gydF4y2Ba
- 是?的子组gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba 的gydF4y2Ba排列gydF4y2Ba在gydF4y2Ba 符号。它包括gydF4y2Ba甚至gydF4y2Ba排列,是偶数个置换的产物。gydF4y2Ba
- 是gydF4y2Ba内核gydF4y2Ba的标志gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba 它是的正规子群gydF4y2Ba 的索引gydF4y2Ba 它的顺序是gydF4y2Ba
- 很简单的gydF4y2Ba 这意味着没有性爱,败血症,…一次多项式的根的公式gydF4y2Ba ;请参阅下面关于可解性的部分。gydF4y2Ba
关于简单群体的事实gydF4y2Ba
这里有一组关于有限简单群的经典定理。这些都是对所有有限简单群进行一般分类的动机(见下文)。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是一个有限的非交换单群。然后gydF4y2Ba
必须能被至少三个不同的质数整除。(伯恩赛德,1904)gydF4y2Ba
必须是偶数。(Feit-Thompson, 1963)gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 是质数除以gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba 的除数的集合gydF4y2Ba 哪个是相等的gydF4y2Ba 如果的唯一元素gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba 然后gydF4y2Ba 有正规的有序子群吗gydF4y2Ba 对于一些gydF4y2Ba 因此并不简单。(gydF4y2BaSylowgydF4y2Ba, 1872)gydF4y2Ba
有gydF4y2Ba 正整数gydF4y2Ba 通过上述定理的检验的非交换单群的可能阶。列表开始gydF4y2Ba .列表中最小的两个数实际上是简单群的顺序gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 群的阶是多少gydF4y2Ba 称为射影特殊线性群。gydF4y2Ba
还有其他一些技巧可以限制对给定阶的有限单群的搜索;下面的练习说明了其中之一。回忆,gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba子群的gydF4y2Ba 有限群的gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba 做一个有限的群体,让gydF4y2Ba 是索引的子组gydF4y2Ba 表明,gydF4y2Ba 有没有正规的索引子组gydF4y2Ba 包含在gydF4y2Ba
考虑到gydF4y2Ba 叠合组gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 是每个陪集的代表性元素。左乘一个元素gydF4y2Ba 置换这些陪集,每个元素gydF4y2Ba 对应于陪集的排列,因此对应于的元素gydF4y2Ba 这给出了一个函数gydF4y2Ba 很容易证明这是一个同态gydF4y2Ba 这可以归结为,左边乘以gydF4y2Ba 然后通过gydF4y2Ba 和乘以一样吗gydF4y2Ba
由gydF4y2Ba第一同构定理gydF4y2Ba,地图gydF4y2Ba 给出的同构gydF4y2Ba 到它的图像上,它是gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba ;然后gydF4y2Ba 是正常的,它的索引等于它的图像的大小,是什么gydF4y2Ba .还要注意,乘以的元素是gydF4y2Ba 修正每个陪集,所以它必须修正平凡陪集gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba 对于任何gydF4y2Ba 这表明,gydF4y2Ba 所以gydF4y2Ba 包含在gydF4y2Ba
这个事实,加上gydF4y2BaSylow定理gydF4y2Ba,有时也可以用来排除某些顺序的简单组。gydF4y2Ba
可解性和组合级数gydF4y2Ba
每一个有限群gydF4y2Ba 有一系列的子组形式吗gydF4y2Ba 其中每个gydF4y2Ba 是一个gydF4y2Ba最大gydF4y2Ba正规子群的gydF4y2Ba 这个条件等价于gydF4y2Ba商集团gydF4y2Ba 是简单的,由gydF4y2Ba第三个同构定理gydF4y2Ba.这个级数叫做agydF4y2Ba组合系列gydF4y2Ba.单商群称为gydF4y2Ba构成因素gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 一个组合系列gydF4y2Ba 如下:gydF4y2Ba 在这里gydF4y2Ba 是一组gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 是由,例如,gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba 还有一个更简单的构图系列:gydF4y2Ba
一个有限集团gydF4y2Ba 被称为gydF4y2Ba可以解决的gydF4y2Ba如果它有一个复合级数其复合因子都是同构的gydF4y2Ba 对于一些gydF4y2Ba
这个术语来自于多项式方程的求解:它证明了一个多项式的次的根的公式gydF4y2Ba 只使用gydF4y2Ba 根和系数的代数表达式当且仅当gydF4y2Ba 是可以解决的。gydF4y2Ba
(gydF4y2BaJordan-HoldergydF4y2Ba有限群的每一个合成级数gydF4y2Ba 具有相同的组成因子(可达排列)。gydF4y2Ba
Jordan-Hölder定理的一个推论是gydF4y2Ba 是不可解的gydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba 是简单和构图系列吗gydF4y2Ba 它的复合因子不是素数阶的循环群。gydF4y2Ba
简单群的分类gydF4y2Ba
有限简单群的完整列表在2008年完成,尽管关于分类问题的绝大多数工作是在20世纪70年代和80年代早期完成的。完整的证据目前跨越数万页,并正在被提炼成更精简的形式。以下是对分类的部分描述。gydF4y2Ba
有限单群gydF4y2Ba 与下列群之一同构:gydF4y2Ba
- 对于一些'gydF4y2Ba
- 对于一些gydF4y2Ba
- 一个“李型”的简单群,它是与有限域上的线性变换群相关的几个无限群族中的一个成员gydF4y2Ba
- 不属于上述任何家族的26个“零星”群体之一。gydF4y2Ba
介绍中提到的怪物群是最大的零星群。它可以写成可逆群的某个子群gydF4y2Ba 具有复数项的矩阵,并且有顺序gydF4y2Ba