这个证明是另一个证明的相反版本;看它gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba是平面上一条分段光滑的简单封闭曲线。让这条平滑的曲线封闭在区域内gydF4y2Ba
RgydF4y2Ba,并假设gydF4y2Ba
PgydF4y2Ba和gydF4y2Ba
问gydF4y2Ba和他们的第一个gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba区域内的每一点都是连续的吗gydF4y2Ba
RgydF4y2Ba包含gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba.我们需要证明这一点gydF4y2Ba
∮gydF4y2BaCgydF4y2BaFgydF4y2Ba⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∮gydF4y2BaCgydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba^gydF4y2Ba+gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba^gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba.gydF4y2Ba
假设这条曲线gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba是由两条曲线组成的gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba2gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba1gydF4y2Ba:gydF4y2BaygydF4y2BaCgydF4y2Ba2gydF4y2Ba:gydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∀gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BabgydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∀gydF4y2BabgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在,在下列条件下,积分gydF4y2Ba
∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2Ba关于gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba之间的gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba收益率gydF4y2Ba
∫gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
对得到的被积函数在区间内进行积分gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BabgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,我们获得gydF4y2Ba
∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba∫gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BabgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba(gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba(gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaCgydF4y2Ba2gydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BaCgydF4y2Ba1gydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∮gydF4y2BaCgydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这样,我们就得到了所需表达式的前半部分gydF4y2Ba
∮gydF4y2BaCgydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2Ba∫gydF4y2BafgydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BafgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba.gydF4y2Ba
同样地,我们可以得到证明的另一半。比方说曲线gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba是由两条曲线组成的gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba1gydF4y2Ba′gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba2gydF4y2Ba′gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba
CgydF4y2Ba1gydF4y2Ba′gydF4y2Ba:gydF4y2BaxgydF4y2BaCgydF4y2Ba2gydF4y2Ba′gydF4y2Ba:gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba∀gydF4y2BadgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BacgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba∀gydF4y2BacgydF4y2Ba≤gydF4y2BaxgydF4y2Ba≤gydF4y2BadgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
现在,整合gydF4y2Ba
∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2Ba关于gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba之间的gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba收益率gydF4y2Ba
∫gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
对得到的被积函数在区间内进行积分gydF4y2Ba
(gydF4y2BacgydF4y2Ba,gydF4y2BadgydF4y2Ba)gydF4y2Ba我们获得gydF4y2Ba
∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba∫gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba−gydF4y2Ba∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba+gydF4y2Ba∫gydF4y2BadgydF4y2BacgydF4y2Ba(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BaCgydF4y2Ba2gydF4y2Ba′gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba+gydF4y2Ba∫gydF4y2BaCgydF4y2Ba1gydF4y2Ba′gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∮gydF4y2BaCgydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba.gydF4y2Ba
这样,我们就得到了所需表达式的后半部分。gydF4y2Ba
∮gydF4y2BaCgydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BacgydF4y2BadgydF4y2Ba∫gydF4y2BaggydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BaggydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba.gydF4y2Ba
把两个结果加起来就完成了格林定理的证明:gydF4y2Ba
∮gydF4y2BaCgydF4y2BaPgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba∮gydF4y2BaCgydF4y2Ba问gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∮gydF4y2BaCgydF4y2BaFgydF4y2Ba⋅gydF4y2BadgydF4y2Ba年代gydF4y2Ba=gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba+gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba=gydF4y2Ba∬gydF4y2BaRgydF4y2Ba(gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba∂gydF4y2Ba问gydF4y2Ba−gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba∂gydF4y2BaPgydF4y2Ba)gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba.gydF4y2Ba□gydF4y2Ba.gydF4y2Ba