物理学中的格林函数
有关……
- 经典力学年代pan>>年代pan>
格林函数年代trong>解决困难的装置是普通的和局部的吗<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-differential-equation-pde/" class="wiki_link" title="微分方程gydF4y2Ba" target="_blank">微分方程一个>这可能是其他方法无法解决的。考虑一个微分方程,比如
d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>⟹年代pan>l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan> 上面的符号<年代pan class="katex">
l年代pan>=年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>是这样定义的<年代pan class="katex">
l年代pan>是一个<年代trong>微分算子年代trong>; 导数运算符乘以函数的线性组合。如上所述,微分方程可由作用于函数的此类算子表示。在这种情况下,格林函数类似于<年代pan class="katex">
l年代pan>:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>−年代pan>1年代pan>∼年代pan>(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>.年代pan> 其思想是,格林函数使运算符反转,也就是上面的非齐次版本,<年代pan class="katex">
l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,可以通过类比来求解<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.在这种情况下,上述对应关系给予<年代pan class="katex">
l年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∼年代pan>l年代pan>l年代pan>−年代pan>1年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>g年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.见下面的形式数学的基础上的想法和为什么<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>是两个变量的函数。
对函数等的导数的逆并不是一个很明确的对象;推导和证明更精确的结构需要严格的数学。因此,格林函数的构造和求解是一个复杂而困难的过程。
格林函数在计算机中有着广泛的应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/electrodynamics/" class="wiki_link" title="电动力学gydF4y2Ba" target="_blank">电动力学一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-field-theory/?wiki_title=quantum field theory" class="wiki_link new" title="量子场论gydF4y2Ba" target="_blank" rel="nofollow">量子场论一个>,其中相关的微分算子通常很难或不可能精确求解,但可以求解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/perturbation-theory/" class="wiki_link" title="扰乱性的gydF4y2Ba" target="_blank">扰乱性的一个>使用格林函数。在场论语境中,格林函数通常被称为<年代trong>传播者年代trong>或<年代trong>两点相关函数年代trong>因为它与在一个点上测量一个场的概率有关,假设这个场来自于另一个点。
格林函数的定义
形式上,格林函数是任意线性微分算子的逆<年代pan class="katex">
l年代pan>.它是一个二元函数<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>满足方程
l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan> 与<年代pan class="katex">
δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dirac-delta-function/" class="wiki_link" title="狄拉克δ函数gydF4y2Ba" target="_blank">狄拉克δ函数一个>.这就是说格林函数是微分方程的解它有一个强迫项由点源给出。非正式地,同一个微分方程的解
u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>,年代pan> 从那时起
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>∫年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 一般来说,格林函数实际上不是函数,而是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/distributions/" class="wiki_link" title="分布gydF4y2Ba" target="_blank">分布一个>,这意味着它们可以与函数积分。虽然得到的积分可能很难或不可能计算,但它们提供了一个直接的解任意线性微分方程时,可能无法找到其他方法的解,至少可以计算数值。
下面概述了几种构造Green函数的方法。哪种方法是最优的取决于上下文。
直接积分法
如上所述,任意线性微分方程的解可以用格林函数通过
u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan>
因为格林函数是解
l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>
函数在点外消失<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>,构造格林函数的一个方法是代之以求解 这个过程可以写成更正式的形式如下:
下面,为了简单起见,讨论仅限于monic(前导系数单位)二阶线性微分算子的特例。首先,在问题的两边写下解决方案的一般形式<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>{年代pan>c年代pan>1年代pan>G年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>c年代pan>2年代pan>G年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>d年代pan>1年代pan>G年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>d年代pan>2年代pan>G年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>x年代pan><年代pan>y年代pan>x年代pan>>年代pan>y年代pan>,年代pan> 哪里<年代pan class="katex">
c年代pan>1年代pan>,年代pan>c年代pan>2年代pan>,年代pan>d年代pan>1年代pan>,年代pan>d年代pan>2年代pan>是常数,<年代pan class="katex">
G年代pan>1年代pan>,年代pan>G年代pan>2年代pan>是微分方程的两个齐次解。
接下来,施加两个边界条件。这修复了两个常量<年代pan class="katex">
c年代pan>1年代pan>,年代pan>c年代pan>2年代pan>,年代pan>d年代pan>1年代pan>,年代pan>d年代pan>2年代pan>就另外两个而言。
第三,加强政策的连续性<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>在<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>.这修复了剩下的两个常量中的一个。
最后,要求<年代pan class="katex">
d年代pan>x年代pan>d年代pan>G年代pan>在函数处增加1。这来自于对原微分方程对两边小窗口的积分<年代pan class="katex">
y年代pan>:
Δ年代pan>d年代pan>x年代pan>d年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>=年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ϵ年代pan>y年代pan>+年代pan>ϵ年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>G年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ϵ年代pan>y年代pan>+年代pan>ϵ年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>x年代pan>=年代pan>1年代pan>.年代pan> 的原因<年代pan class="katex">
d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>单独被认为是不可能的<年代pan class="katex">
l年代pan>是因为解必须是连续的吗<年代pan class="katex">
y年代pan>;微分算子中的任何其他项在两侧不发生变化<年代pan class="katex">
y年代pan>集成时。
导数变化的条件固定了最后一个常数,因此求解格林函数。
考虑到<年代pan class="katex">
E年代pan>-电磁波在长度激光腔中的分量<年代pan class="katex">
ℓ年代pan>.年代pan>波浪是由电流产生的<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>它渗透到空腔中,墙壁由一种完全反射的导电材料制成,因此<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>l年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>麦克斯韦方程<年代pan class="katex">
E年代pan>-分量(极化在<年代pan class="katex">
z年代pan>方向)<年代pan class="katex-display">
(年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 的常数<年代pan class="katex">
k年代pan>2年代pan>等于<年代pan class="katex">
g年代pan>ω年代pan>2年代pan>/年代pan>c年代pan>2年代pan>哪里<年代pan class="katex">
c年代pan>是光速,<年代pan class="katex">
ω年代pan>是光的角频率,和<年代pan class="katex">
g年代pan>是 求的通解<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>在墙壁之间。
格林方法的主要思想是整个电流<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>对场的解有帮助我们可以把它分成小的电流包,用所有点的脉冲函数表示<年代pan class="katex">
y年代pan>在墙壁之间。如果我们能找到对这个领域的贡献<年代pan class="katex">
x年代pan>从这些小包里<年代pan class="katex">
y年代pan>,年代pan>
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>,然后我们可以把它们加起来得到整个字段:<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan> 那么,我们开始
∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan> 的<年代pan class="katex">
δ年代pan>函数在<年代pan class="katex">
y年代pan>会导致解的不连续导数如上所述。我们可以对这个方程进行积分<年代pan class="katex">
y年代pan>.年代pan>
∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>G年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>−年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>=年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>∫年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>d年代pan>x年代pan>G年代pan> 在极限中<年代pan class="katex">
ε年代pan>去<年代pan class="katex">
0年代pan>,年代pan>右边的积分为零,因为在0范围内连续函数的积分为零(<年代pan class="katex">
G年代pan>本身并不是<年代pan class="katex">
δ年代pan>-函数),剩下的是导数在<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>.年代pan>在这个积分中只有二阶项在左边起作用因为其他的都是一个没有值域的连续函数的积分,所以它变成了
∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>+年代pan>ε年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>∂年代pan>x年代pan>∂年代pan>G年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>∣年代pan>x年代pan>=年代pan>y年代pan>−年代pan>ε年代pan> 因为导数的跳跃不连续<年代pan class="katex">
G年代pan>,年代pan>我们希望在任何一边都有不同的解决方案<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>y年代pan>,年代pan>在哪里<年代pan class="katex">
δ年代pan>函数是<年代pan class="katex">
0年代pan>.年代pan>的通解<年代pan class="katex">
∂年代pan>x年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>是<年代pan class="katex-display">
一个年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>B年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>特别地,我们将写左手(有效时<年代pan class="katex">
x年代pan>在左边吗<年代pan class="katex">
y年代pan>:年代pan>
x年代pan><年代pan>y年代pan>)和右手(有效时间<年代pan class="katex">
x年代pan>在…的右边吗<年代pan class="katex">
y年代pan>:年代pan>
y年代pan><年代pan>x年代pan>)解决方案<年代pan class="katex-display">
G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>l年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>l年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>+年代pan>R年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan> 因为墙壁是反射导体,所以它们处的电场必须为零:<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>0年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>G年代pan>(年代pan>ℓ年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>这让我们想到<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>l年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>和<年代pan class="katex">
R年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>e年代pan>2年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan> 这让我们想到
G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>l年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>信义年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>e年代pan>k年代pan>x年代pan>−年代pan>e年代pan>2年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan> 在这里,我们已经拉了一个因素<年代pan class="katex">
2年代pan>e年代pan>−年代pan>k年代pan>l年代pan>进入<年代pan class="katex">
R年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>还有一个因素<年代pan class="katex">
2年代pan>进入<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan>这个仍然有两个未知数<年代pan class="katex">
l年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>和<年代pan class="katex">
R年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>.年代pan>为了找到这些,我们还有两个约束条件可以利用:
就解决方案而言,这些约束条件是:
l年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>信义年代pan>y年代pan>k年代pan>R年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>cosh年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>R年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>1年代pan>+年代pan>k年代pan>l年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>cosh年代pan>k年代pan>y年代pan>.年代pan> 解这两个方程会得到
l年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>R年代pan>1年代pan>′年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>y年代pan>,年代pan> 以便
G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>信义年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>y年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan> 现在,我们要做的就是对格林函数和当前函数积分<年代pan class="katex">
J年代pan>:年代pan>
E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>x年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>R年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>G年代pan>l年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>∫年代pan>x年代pan>d年代pan>y年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>y年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>x年代pan>∫年代pan>ℓ年代pan>d年代pan>y年代pan>k年代pan>1年代pan>信义年代pan>k年代pan>ℓ年代pan>信义年代pan>k年代pan>(年代pan>y年代pan>−年代pan>ℓ年代pan>)年代pan>信义年代pan>k年代pan>x年代pan>J年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan> 我们可以用几次试验电流来测试。在下面的图中<年代pan class="katex">
灰色年代pan>曲线表示电流<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>的<年代pan class="katex">
蓝色的年代pan>曲线表示结果字段,而<年代pan class="katex">
黑色年代pan>点表示表达式<年代pan class="katex">
(年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>我们期望等于多少<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 在第一个例子中,<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>x年代pan>e年代pan>−年代pan>5年代pan>x年代pan>/年代pan>ℓ年代pan>罪年代pan>ℓ年代pan>2年代pan>5年代pan>x年代pan>因为年代pan>ℓ年代pan>x年代pan>和<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>0年代pan>2年代pan>:年代pan>
在第二个例子中,我们使用<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>ℓ年代pan>−年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>ℓ年代pan>2年代pan>和<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>0年代pan>.年代pan>6年代pan>:年代pan>
考虑在具有电流密度的有源激光介质中一维传播方向极化的电磁波<年代pan class="katex">
J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.麦克斯韦方程<年代pan class="katex">
z年代pan>-这些波的电场分量的读数
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>κ年代pan>2年代pan>)年代pan>E年代pan>z年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>J年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 为<年代pan class="katex">
κ年代pan>一些常数。假设有一个源在<年代pan class="katex">
x年代pan>=年代pan>0年代pan>远处有一个传导镜,所以有效地<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>0年代pan>)年代pan>=年代pan>1年代pan>和<年代pan class="katex">
E年代pan>z年代pan>(年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>是边界条件。求格林函数<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>为<年代pan class="katex">
x年代pan><年代pan>y年代pan>这将允许测定空间中任何地方的电场。
特征向量展开法
如果知道微分算子的谱,就可以很容易地通过公式计算出格林函数
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>,年代pan>
在哪里<年代pan class="katex">
λ年代pan>n年代pan>是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eigenvalues-and-eigenvectors/" class="wiki_link" title="特征值gydF4y2Ba" target="_blank">特征值一个>对应于 这个定义的动机来自于考虑微分方程的解是在微分算子的特征函数的基础上展开的。很容易检查上述定义是否满足格林函数的条件:考虑微分方程<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,然后
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>∫年代pan>l年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>l年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>λ年代pan>n年代pan>1年代pan>λ年代pan>n年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan> 上图中,<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>取而代之的是<年代pan class="katex">
λ年代pan>n年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>自<年代pan class="katex">
u年代pan>n年代pan>特征函数是<年代pan class="katex">
l年代pan>.但现在
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>u年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>u年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>⟨年代pan>u年代pan>n年代pan>∣年代pan>f年代pan>⟩年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 在第二个等式中,我们强调了积分就是函数的内积,所以上面的右边实际上就是<年代pan class="katex">
f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>在特征函数的基础上展开,所以<年代pan class="katex">
l年代pan>u年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>f年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>像预期的那样。因此,格林函数的这个表达式是对给定微分方程的求解。
在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-mechanics/" class="wiki_link" title="量子力学gydF4y2Ba" target="_blank">量子力学一个>的波函数的运动方程<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quantum-harmonic-oscillator/" class="wiki_link" title="量子谐振子gydF4y2Ba" target="_blank">量子谐振子一个>为一维的边值特征问题:
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>E年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan> 与边界条件<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>±年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>和<年代pan class="katex">
E年代pan>在适当的单位系统中粒子的能量,使所有相关系数都是单位的。能量的允许值是<年代pan class="katex">
E年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>为<年代pan class="katex">
n年代pan>∈年代pan>{年代pan>0年代pan>,年代pan>1年代pan>,年代pan>2年代pan>,年代pan>...年代pan>}年代pan>;对应的标准正交特征向量是
ψ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>n年代pan>n年代pan>!年代pan>
1年代pan>π年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan> 与<年代pan class="katex">
H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>的
H年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>n年代pan>e年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>x年代pan>n年代pan>d年代pan>n年代pan>(年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>.年代pan> 求带有强迫项的量子谐振子的精确解<年代pan class="katex">
(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>和边界条件<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>±年代pan>∞年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>,即解决
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan> 为<年代pan class="katex">
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>根据这些边界条件。
把强迫项写成特征函数的和<年代pan class="katex">
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>)年代pan>.这需要最低的三个特征函数:
ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>π年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>2年代pan>x年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>(年代pan>4年代pan>x年代pan>2年代pan>−年代pan>2年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>.年代pan> 因此,强制项可以写成
(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>+年代pan>4年代pan>x年代pan>+年代pan>8年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>=年代pan>2年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.年代pan> 现在考虑量子谐振子的格林函数分解为特征向量的和:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>2年代pan>n年代pan>+年代pan>1年代pan>−年代pan>1年代pan>ψ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>n年代pan>∗年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>3.年代pan>1年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>+年代pan>⋯年代pan>.年代pan> 由于不相关,因此省略了其他项:微分算子的本征函数是正交的!写下格林函数的一般解,你会发现
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>f年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>−年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>−年代pan>3.年代pan>1年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>∫年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>(年代pan>2年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>.年代pan> 本征函数的正交性保证了展开式中所有其他积分的消失。本征函数的归一化得到最终结果:
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>9年代pan>π年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>3.年代pan>2年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>1年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>1年代pan>0年代pan>1年代pan>(年代pan>4年代pan>π年代pan>)年代pan>1年代pan>/年代pan>4年代pan>ψ年代pan>2年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>(年代pan>−年代pan>9年代pan>−年代pan>3.年代pan>4年代pan>x年代pan>−年代pan>5年代pan>1年代pan>(年代pan>2年代pan>x年代pan>2年代pan>−年代pan>1年代pan>)年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>x年代pan>2年代pan>/年代pan>2年代pan>.年代pan> 解满足给定的边界条件,因为它必须这样做,因为所有的特征函数也满足边界条件。<!-- end-example --> 下面哪个是格林函数<年代pan class="katex">
G年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>y年代pan>)年代pan>时间- 一维中随时间变化的自由粒子Schrödinger方程为
−年代pan>2年代pan>米年代pan>•年代pan>2年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>ψ年代pan>=年代pan>我年代pan>•年代pan>∂年代pan>t年代pan>∂年代pan>ψ年代pan>.年代pan> 注意:年代trong>回想一下,依赖于时间的薛定谔方程的解可以在独立于时间的薛定谔方程解的基础上写出
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>n年代pan>∑年代pan>c年代pan>n年代pan>ϕ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>E年代pan>n年代pan>t年代pan>/年代pan>•年代pan>,年代pan> 哪里<年代pan class="katex">
E年代pan>n年代pan>是与时间无关的本征函数的能量<年代pan class="katex">
ϕ年代pan>n年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>.
符号年代trong>:
经验值年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>为指数函数,<年代pan class="katex">
经验值年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>e年代pan>x年代pan>.
腹肌年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>表示绝对值函数。
傅里叶变换法
计算格林函数的最后一种常用方法是通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/contour-integration/" class="wiki_link" title="轮廓整合gydF4y2Ba" target="_blank">轮廓整合一个>和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-residue-theorem/" class="wiki_link" title="柯西的残数定理gydF4y2Ba" target="_blank">柯西的残数定理一个>.
柯西的残数定理年代trong>
解析函数的积分<年代pan class="katex"> f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>沿闭合等高线<年代pan class="katex"> γ年代pan>在复平面中
∮年代pan>γ年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>d年代pan>z年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>一个年代pan>我年代pan>∈年代pan>γ年代pan>∑年代pan>Res年代pan>z年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>,年代pan>
对所有极点求和<年代pan class="katex"> 一个年代pan>我年代pan>包含在等高线内<年代pan class="katex"> γ年代pan>.的<年代trong>残留年代trong>单极的<年代pan class="katex"> 一个年代pan>我年代pan>书面的<年代pan class="katex"> Res年代pan>z年代pan>=年代pan>一个年代pan>我年代pan>f年代pan>(年代pan>z年代pan>)年代pan>,是去掉简单极点后的函数值。
通常,这种方法是先对格林函数进行傅里叶变换然后将微分算子应用到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fourier-transform/" class="wiki_link" title="傅里叶变换gydF4y2Ba" target="_blank">傅里叶变换一个>.格林函数的傅里叶变换通常包含简单极点。然后通过轮廓积分计算傅里叶反变换,得到位置空间中的格林函数。
求一维时间无关的格林函数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/schrodinger-equation/" class="wiki_link" title="薛定谔方程gydF4y2Ba" target="_blank">薛定谔方程一个>
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>•年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>V年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>
与<年代pan class="katex"> k年代pan>2年代pan>=年代pan>•年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>E年代pan>.用它来构造任意势的Schrödinger方程的通解。
格林函数满足
(年代pan>d年代pan>x年代pan>2年代pan>d年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>δ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>,年代pan>
坐标发生了位移<年代pan class="katex"> y年代pan>=年代pan>0年代pan>在上面的标准定义中。拿<年代pan class="katex"> G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>等于其傅里叶变换的逆傅里叶变换<年代pan class="katex"> g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>:
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan> 1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
回想一下狄拉克函数的积分恒等式
δ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
代入格林函数的方程
2年代pan>π年代pan> 1年代pan>∫年代pan>(年代pan>−年代pan>年代年代pan>2年代pan>+年代pan>k年代pan>2年代pan>)年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>d年代pan>年代年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>,年代pan>
所以格林函数的傅里叶变换可以被读出:
g年代pan>(年代pan>年代年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan> 1年代pan>k年代pan>2年代pan>−年代pan>年代年代pan>2年代pan>1年代pan>.年代pan>
格林函数是由傅里叶反变换定义的
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∫年代pan>(年代pan>k年代pan>+年代pan>年代年代pan>)年代pan>(年代pan>k年代pan>−年代pan>年代年代pan>)年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>d年代pan>年代年代pan>.年代pan>
这个积分可以通过复杂的轮廓积分来实现<年代pan class="katex"> 年代年代pan>飞机。被积函数有两个简单极点<年代pan class="katex"> 年代年代pan>=年代pan>±年代pan>k年代pan>.所选的闭合等高线是上半平面或下半平面上的一个半圆,其半径取为无穷大。上半平面或下半平面的选择取决于符号<年代pan class="katex"> x年代pan>:希望积分在半圆弧上消失,因此选择半平面使<年代pan class="katex"> e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>格林函数方程中的因子指数衰减,当半径趋近于无穷时消失。因此,总的轮廓积分等于定义格林函数的原始实积分。如何绕过磁极是很重要的,稍后将加以讨论。在这种情况下,只有一个极点被任一等高线包围,而哪个极点的选择取决于半圆封闭在哪个半平面上。
为<年代pan class="katex"> x年代pan>>年代pan>0年代pan>,封闭极点为<年代pan class="katex"> 年代年代pan>=年代pan>k年代pan>和柯西剩余定理的结果
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>∮年代pan>k年代pan>+年代pan>年代年代pan>e年代pan>我年代pan>年代年代pan>x年代pan>年代年代pan>−年代pan>k年代pan>1年代pan>d年代pan>年代年代pan>=年代pan>−年代pan>2年代pan>π年代pan>我年代pan>2年代pan>π年代pan>1年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>
为以下对象执行类似的集成:<年代pan class="katex"> x年代pan><年代pan>0年代pan>产量
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>−年代pan>我年代pan>k年代pan>x年代pan>.年代pan>
结合这两个表达式,一维薛定谔方程的格林函数的最终结果是
G年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>−年代pan>我年代pan>2年代pan>k年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>∣年代pan>x年代pan>∣年代pan>.年代pan>
因此,任意势的Schrödinger方程的通解是
ψ年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>=年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>+年代pan>•年代pan>2年代pan>2年代pan>米年代pan>∫年代pan>G年代pan>(年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>)年代pan>V年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>=年代pan>ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>−年代pan>•年代pan>2年代pan>k年代pan>我年代pan>米年代pan>∫年代pan>e年代pan>我年代pan>k年代pan>∣年代pan>x年代pan>−年代pan>y年代pan>∣年代pan>V年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>ψ年代pan>(年代pan>y年代pan>)年代pan>d年代pan>y年代pan>
与<年代pan class="katex"> ψ年代pan>0年代pan>(年代pan>x年代pan>)年代pan>齐次方程的解。<!-- end-example -->
当进行上述轮廓积分时,如何绕过极点的选择是重要的。在量子力学和量子场论中<年代trong>费曼处方年代trong>为了避免使用电杆。这个公式表示了在一个点上测量的粒子稍后在另一个点上测量的可能性,或者相反:因为一个极点包含在任意一个积分轮廓的选择中,任何一个方向都可以发生。由此产生的Green函数通常被称为<年代trong>费曼宣传者年代trong>或者费曼格林函数。
然而,对于给定的物理环境,这并不总是合适的极点约定。例如,在电动力学中,人们通常关心的是,给定源的初始配置,电磁场的未来传播。磁场仅从电荷源辐射;传播没有反向运行。因此,使用了不同的极点约定,如果<年代pan class="katex">
x年代pan><年代pan>0年代pan>并且包括两个极点,如果<年代pan class="katex">
x年代pan>>年代pan>0年代pan>,称为<年代trong>智障极公约年代trong>.这就产生了另一个格林函数,叫做<年代trong>延迟传播算子年代trong>或者是格林功能迟钝,这通常是电磁问题中正确的格林功能。选择相反的极点公约,绕过两个极点,如果<年代pan class="katex">
x年代pan>>年代pan>0年代pan>反之亦然<年代trong>先进的传播算子年代trong>或者是高级格林函数,例如,当一个人知道一个系统接近无穷远的状态并且想要在有限的位置或时间推导出状态时,它在电磁学和场论中是有用的。
计算格林函数的一个更有效、通常更有效的捷径是采用相关的微分算子,用因子替换每个导数<年代pan class="katex">
我年代pan>k年代pan>,然后取倒数。这立刻得到了格林函数的傅里叶变换在一个乘法因子内。在量子场论中,格林函数的傅里叶变换通常更有用,这个技巧节省了很多工作。
一个巨大的标量场<年代pan class="katex">
ϕ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>的质量<年代pan class="katex">
米年代pan>在量子场论中满足<年代trong>克莱因戈登方程年代trong>
(年代pan>□年代pan>+年代pan>米年代pan>2年代pan>)年代pan>ϕ年代pan>(年代pan>x年代pan>,年代pan>t年代pan>)年代pan>=年代pan>0年代pan>,年代pan> 哪里<年代pan class="katex">
□年代pan>表示达朗贝尔波算符:
□年代pan>=年代pan>−年代pan>∂年代pan>t年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>x年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>y年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>+年代pan>∂年代pan>z年代pan>2年代pan>∂年代pan>2年代pan>.年代pan> 用傅里叶变换求动量空间中Klein-Gordon算子的格林函数。请注意,<年代pan class="katex">
k年代pan>=年代pan>(年代pan>E年代pan>,年代pan>k年代pan>
)年代pan>是一个有四个分量的矢量:粒子的能量和它的空间动量的三个分量。
符号年代trong>:<年代pan class="katex">
腹肌年代pan>(年代pan>⋅年代pan>)年代pan>表示绝对值函数。
在量子场论中,对应于特定场的格林函数用费曼图中的内线表示。例如,量子场论中的光子就是用场来表示的<年代pan class="katex">
一个年代pan>μ年代pan>它描述了电磁的电势和磁势。这个场的运动方程是麦克斯韦方程组,它可以用四向量表示
(年代pan>g年代pan>μ年代pan>ν年代pan>∂年代pan>2年代pan>−年代pan>∂年代pan>μ年代pan>∂年代pan>ν年代pan>)年代pan>一个年代pan>μ年代pan>=年代pan>j年代pan>ν年代pan>.年代pan> 对应的格林函数
D年代pan>μ年代pan>ν年代pan>(年代pan>k年代pan>)年代pan>=年代pan>k年代pan>2年代pan>−年代pan>我年代pan>(年代pan>g年代pan>μ年代pan>ν年代pan>−年代pan>k年代pan>2年代pan>k年代pan>μ年代pan>k年代pan>ν年代pan>)年代pan>.年代pan> 这对应于每条光子线的费曼图计算中包含的因素:
参考文献
[1] 麻省理工学院荷马·里德M.T.讲稿18.305
[2] D.V.施罗德和M.E.佩斯金。
大卫·J·格里菲斯
[4]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram#/media/File:Feynman-diagram-ee-scattering.png,在知识共享许可下重用和修改。