斯托克斯公式

斯托克斯公式是对格林公式更高的维度。格林定理将二维的面积积分与相应的线积分等同起来，而斯托克斯定理则是对an的积分 $n$-维面积，并将其简化为一个积分 $(n - 1)$-维边界，包括一维的情况，其中它被称为微积分基本定理．这允许一个用归纳法证明．

在许多应用中，“斯托克斯定理”被用来特指古典Stokes定理，即Stokes定理的情况 $n = 3$，它等于一个二维曲面上的积分(嵌入在 $\ mathbb R ^ 3$)与一维边界曲线上的积分。本文遵循这一惯例，重点讨论经典的斯托克斯定理。关于广义定理的讨论留到本文最后的参考文献中。

经典物理学的许多部分都依赖于斯托克斯定理来建立物理定律的不同等价公式，最著名的是控制电磁学的麦克斯韦方程。

假设一些表面 $年代$是否以封闭路径为界 $C$．考虑一个通过向量场的线积分 $F \ mathbf {}$采取对 $C$

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}，$

哪个将被称为循环．

如果将曲面分为两条封闭的路径，很容易看到，每条路径的循环总和与未分割的路径相同 $C$．无论在何处做“切割”来分割曲面，在每个循环的计算中，分割区域边界上的线积分都是在相反的方向上遍历的。与此同时，对原路径的线积分 $C$保持不变。

根据同样的推理，人们可以推测，无论表面分成多少部分，总环流永远不会改变。对于许多闭合路径 $为C_i$，一个人可以写

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \sum_i \int_{C_i} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$

显然，每个patch的循环在一定程度上取决于它的大小。我们可以继续无限地分割这个表面，就像这个区域 $ai$每个patch都变得任意小。当每个patch的面积消失到一个点时，就会得到表面上每个点的局部向量值属性，称为旋度,表示 $F \微分算符\ * \ mathbf {}$：

$(\ \微分算符\倍mathbf {F}) \ cdot \帽子{\ mathbf {n}} = \ lim_ {ai \ rightarrow 0} \离开(\压裂{1}{ai} \ int_{为C_i} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf{年代}\右)。$

与单位法向量的点积 ${\ \帽子mathbf {n}}$使得我们只需要关心旋度的法向分量。

如果把旋度的积分放在整个曲面上，那么就会得到

$\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}。$

但是所有循环的总和就是整个表面上的循环 $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}。$

Stokes定理断言两者是相等的:

$\ boxxed {\displaystyle\ mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \displaystyle\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}。$

因此，与其计算曲面边界上的线积分，不如计算整个曲面上向量场的旋度，反之亦然。

为了计算在特定坐标下的旋度，我们需要考虑在特定坐标下，循环是如何在一小块区域内消失的。考虑笛卡尔坐标的简单情况，对于这种情况，小表面的自然选择是矩形块。

假设有这样一个补丁，它的左下角是点 $(x, y)$．到一阶，向量场的线积分 $F \ mathbf {} = F_x \帽子{\ mathbf {x}} + F_y \帽子{\ mathbf {y}} + F_z \帽子{\ mathbf {z}}$在某个水平路径上 $\δx$仅仅是 $(\偏F_y/\偏x) \ x$．因此，如果一个人逆时针移动，首先遍历 $\δx$水平, $\δy$垂直, $- - - - - - \δx$水平,最后 $- - - - - - \δy$在垂直方向上，我们发现在某个向量场上的补丁边界上的线积分 $F \ mathbf {}$只是减少了

$\左(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \右)\Delta x \Delta y。$

对三个方向进行相同的计算 $x$， $y$, $z$收益率

$\nabla \时间mathbf{F} = \左(\frac{\partial F_z}{\partial y}} - \frac{\partial z}{\partial z}右)\帽子{mathbf{x} + \左(\frac{\partial F_x}{\partial z}右)\帽子{mathbf{y} + \左(\frac{\partial F_y}{\partial x}右)\帽子{mathbf{z}}，$

这是笛卡尔坐标系下旋度的表达式。在矩阵表示法中，是函数的旋度 $\ mathbf F$也可以表示为:

$\nabla \times \mathbf F = \begin{vmatrix} mathbf x & \mathbf y & \mathbf z\\ dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial x}\ M & N & P\\ \end{vmatrix}$

选择表示法的原因 $\微分算符\ *$在于对符号的轻微滥用。一个人可以“定义” $\微分算符$数量如下:

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \帽子{\mathbf{x}} + \frac{\partial}{\partial y} \帽子{\mathbf{y}} + \frac{\partial}{\partial z} \帽子{\mathbf{z}}，$

在这种情况下，旋度可以通过取的“外积”来计算 $\微分算符$与 $F \ mathbf {}$．

求旋度 $F \ mathbf {} (x, y, z) = (x + y) \帽子{\ mathbf {x}} + (y + z) \帽子{\ mathbf {y}} + (x + z) \帽子{\ mathbf {z}}。$

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利用笛卡尔坐标下的旋度表达式，我们可以发现

$F \微分算符\ * \ mathbf{} =(0 - 1)帽子\ {\ mathbf {x}} +(0 - 1)帽子\ {\ mathbf {y}} +(0 - 1)帽子\ {\ mathbf {z}} = -(\帽子{\ mathbf {x}} + \帽子{\ mathbf {y}} + \帽子{\ mathbf {z}})。$

一个字段保守的当且仅当它的旋度处处消失。表明,

$F \ mathbf {} (x, y) = - \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {x}} + \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {y}}$

是保守的。

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经检查，旋度在 ${\ \帽子mathbf {x}}$而且 ${\ \帽子mathbf {y}}$组件。还需要计算 ${\ \帽子mathbf {z}}$组件

$左(\ \压裂{\部分F_y} {x} \部分——\压裂{\部分F_x}{\偏y} \) \帽子{\ mathbf {z}} = \离开(\压裂{y ^ 2 - x ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} - \压裂{y ^ 2 - x ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \) \帽子{\ mathbf {z}} = 0。$

因此 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, $F \ mathbf {}$是保守的。

(一般来说，对于二维域，检查是否 $\偏F_y/\偏x = \偏F_x/\偏y$．）

让 $C$是一个半径为逆时针的圆路径 $R$在 $xy$平面并以原点为中心，让 $F \ mathbf {}$是由定义的字段

$F \ mathbf {} (x, y) = - \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {x}} + \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2} \帽子{\ mathbf {y}}。$

计算线积分

$\displaystyle\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}。$

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由斯托克斯定理,

$\displaystyle\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \displaystyle\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a}。$

但是通过前面的例子，我们知道 $\nabla \times \mathbf{F} = 0$，所以积分等于零。

根据Stokes定理，保守场(其旋度处处消失的场)在任意闭合路径上的线积分必须为零。

在经典电磁学中，人们可能希望用空间中的局部表述(例如，某一点上的电流密度)来重新定义关于系统区域特性的表述(例如，流过回路的总电流)。散度定理，Stokes定理，可以很自然地做到这一点，通过把某区域上的线积分，变成关于曲面上每一点的旋度的表达式。

安培定律表示磁场上的线积分 $\ mathbf {B}$正比于总电流 $文本I_ \ {encl}$它通过被积分的路径:

$文本\ int_{\{循环}}\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}= \ mu_0 I_ {encl} \文本。$

这就是所谓的积分形式安培定律。

用a表示Ampère的定律当地的形式，可以用Stokes定理重写线积分 $\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}$关于曲面积分的旋度的 $\ mathbf {B}$：

$\int_\text{loop} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \int_\text{surface} \nabla \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}。$

但是Ampère定律是这么说的

$\int_\text{loop} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \mu_0 I_\text{encl} = \mu_0 \int_\text{surface} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}，$

在哪里 $\ mathbf {J}$是电流密度．它是电流的广义、连续版本 $我$．当然，两个方程的曲面积分都可以取任意选择的封闭曲面，因此被积函数必须相等:

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}。$

这是微分形式Ampère定律，它在做解析电动力学计算时使用起来容易得多。

同样，法拉第定律描述了电场之间的如下关系 $\ mathbf {E}$还有磁场 $\ mathbf {B}$，随时间变化 $t$：

$\int_\text{loop} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}。$

我们可以在左边调用Stokes定理来使两个被积函数相等:

$\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}。$

同样，有人认为，既然这种关系必须适用于任何任意表面 $年代$，必须是两个被积函数相等的情况，因此

$\微分算符\ * \ mathbf {E} = - \压裂{d \ mathbf {B}} {dt}。$

这是微分形式法拉第定律。

[1]爱德华兹,h高等多元微积分。多佛,1994年。

[2]珀塞尔,。电和磁。第三版。剑桥大学出版社，2013年。

斯皮瓦克[3],迈克尔。微积分。第四版。出版或灭亡，2008年。

[4]斯图尔特,詹姆斯。微积分。第七版。布鲁克斯科尔,2012年。