全纯函数

在复杂的分析,一个全纯函数是一个复可微函数。复可微的条件是非常强的，并导致一个特别优雅的微积分理论，这些函数。

一个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$据说是可微的在 $x \ \ mathbb {R}$如果 $h \中\ \ lim_{\打翻{mathbb {R}} {h \ 0}} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h}$的存在。如果极限存在，则调用其值 $f (x)$．

类似地,一个函数 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $（$也就是说, $f$接受一个复数并返回一个复数 $）$据说是复杂的可微的在 $z \ \ mathbb {C}$如果 $h \中\ \ lim_{\打翻{mathbb {C}} {h \ 0}} \压裂{(z + h) - f (z)} {h}$的存在。同样，如果极限存在，它的值被调用 $f ' (z)$．如果 $f$复在每个点都可微吗 $z\在U \子集\mathbb{C}$,然后 $f$据说是全纯在 $U$．

虽然这两个条件在符号上是相同的，但复可微条件实际上比函数的可微条件要强得多 $R \ mathbb {} \ \ mathbb {R}$．

这是因为 $h$方法 $0$在复极限中，它必须从各个方向这样做，而这些方向有无穷多个。(在真正的极限中，只有两个方向 $h$可能的方法 $0$:正方向和负方向。因此,如果 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$复可微在 $z \ \ mathbb {C}$,然后 $\ lim_{\打翻{t \ \ mathbb {R}} {t \ 0}} \压裂{f (z + th) - f (z)} {th}$对于所有存在 $在h \ \ mathbb {C}$和= $f ' (z)$．

一个可以查看 $C \ mathbb {}$作为 $R \ mathbb {} ^ 2$通过识别复数 $x +易$与对 $(x, y)$．从这个角度，人们可以写作 $F (z) = F (x,y) = u(x,y) + I \cdot v(x,y)$,在那里 $u (x, y) ={你}\ \文本大(f (z) \大)$而且 $v (x, y) = {Im} \ \文本大(f (z) \大)$．但复可微性条件要求 $\{对齐}开始f ' (z) & = \ lim_{\打翻{t \ \ mathbb {R}} {t \ 0}} \压裂{f (z + t \ cdot 1) - f (z)} {t \ cdot 1} \ \ & = \ lim_{\打翻{t \ \ mathbb {R}} {t \ 0}} \离开(\压裂{u (x + t y) - u (x, y)} {t} + i \ cdot \压裂{v (x + t y) - v (x, y)} {t} \) \ \ & = \离开了。\压裂{\偏u} {x} \部分正确\ | _ {(x, y)} + i \离开了。\压裂{\部分v} {x} \部分正确\ | _ {(x, y)} \{对齐}结束$而且 $\{对齐}开始f ' (z) & = \ lim_{\打翻{t \ \ mathbb {R}} {t \ 0}} \压裂{f (z + t \ cdot我)- f (z)} {t \ cdot我}\ \ & = - i \ cdot \ lim_{\打翻{t \ \ mathbb {R}} {t \ 0}} \离开(\压裂{u (x, y + t) - u (x, y)} {t} + i \ cdot \压裂{v (x, y + t) - v (x, y)} {t} \) \ \ & = - i \ cdot \离开(\压裂{\偏u}{\偏y} + i \ cdot \压裂{\部分v}{\偏y} \) \ \ & = \离开了。\压裂{\部分v}{\偏y} \右| _ {(x, y)} -我\ cdot \离开。\frac{\partial u}{\partial y} \right|_{(x,y)}。结束\{对齐}$让它们相等证明了这一点 $f$复函数是可微的吗 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}，\quad \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}。$这些都是柯西黎曼方程，即每一个全纯函数必须在其定义域上满足的微分方程组。因此，对于全纯函数的行为有严格的限制;也就是说，它只能按照这些方程所规定的那样运行。

也许全纯函数最重要的性质是它们分析性．这意味着任何全纯函数都可以展开为幂级数。

假设 $f: U \to \mathbb{C}$是全纯 $U$一个开放的集合。那么存在一个复数序列 $n \ \ {an \} _{0}通用电气$这样 $F (z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$在收敛半径关于 $z_0$(即，它对所有的都收敛 $z$在以。为中心的圆盘上 $z_0$)和= $f (z)$当它是收敛的。具体地说, $an = \压裂{f ^ {(n)} (z_0)} {n !｝$．

让 $\γ$是一条闭合曲线。使用柯西积分公式而且几何级数,我们有

$\{对齐}开始f (z) & = \压裂{1}{2π\}\ int_ \伽马\压裂{f(\ζ)}{\ zeta-z} \ d \ζ\ \ & = \压裂{1}{2π\}\ int_ \伽马\压裂{f(\ζ)/ (\ zeta-z_0)}{1 - \压裂{z-z_0} {\ zeta-z_0}} \ d \ζ\ \ & = \压裂{1}{2π\}\ int_ \伽马\压裂{f(\ζ)}{\ zeta-z_0} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \离开(\压裂{z-z_0} {\ zeta-z_0} \右)^ n \ d \ζ\ \ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \离开(\压裂{1}{2π\}\ int_ \伽马\压裂{f(\ζ)}{(\ zeta-z_0) ^ {n + 1}} \ d \ζ\右)(z-z_0) ^ n \ \ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \压裂{f ^ {(n)} (z_0)} {n !} (z-z_0) ^ n。\ \ _ \广场结束{对齐}$