Sravanth和朱利安gydF4y2B一个
直到现在,我们才有了一个简单的了解gydF4y2B一个保守力gydF4y2B一个;现在我们试着寻找一些方法来确定一个力是否是保守的。在本节中,我们将通过四种不同的方法来理解这一点。要理解这一点,你必须熟悉gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个,gydF4y2B一个偏导数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个物理学中的格林函数gydF4y2B一个.我们来看看如何确定一个保守力gydF4y2B一个
方法1:测试不同的路径,保持端点相同gydF4y2B一个
来源:汗学院gydF4y2B一个
这个方法只是检查字段是否与路径无关。根据这种方法,如果我们证明所做的功不随路径变化而变化,那么力是保守的。这个方法不需要证明,因为这个方法本身就是保守力的核心。所以我们只需要确保gydF4y2B一个
∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个1gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
.gydF4y2B一个
上图指定了2条不同的路径gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个1gydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个.当且仅当上述表达式成立时,向量场是保守的。它只是说明了,无论你走哪条路径,所做的功都不会改变只要你从同一点开始,到同一点结束。gydF4y2B一个
方法二:保守力的环性gydF4y2B一个
假设我们有一个闭环/路径,起点和终点分别为gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个,那么根据这种方法,如果从gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个和回gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个从gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个为零,那么力是保守的。数学上说gydF4y2B一个
∮gydF4y2B一个任何闭合回路gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个0gydF4y2B一个∀gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
∈gydF4y2B一个保守的领域gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
2比1的优势:gydF4y2B一个我们还不能确定gydF4y2B一个1gydF4y2B一个那gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
即使它遵循了,也算保守吗gydF4y2B一个1gydF4y2B一个因为我们所选择的路径或点可能是符合条件的特例。现在,我们来看看这个方法的证明gydF4y2B一个2gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
来源:托马斯微积分gydF4y2B一个
假设有两个点gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个哪些是环路上的单连(见图)gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个.假设路径从gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个是gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个1gydF4y2B一个从gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个来gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个是gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个.但是如果我们逆转路径的方向gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个从gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个,其符号变化为gydF4y2B一个
−gydF4y2B一个CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个,所以我们有gydF4y2B一个
∮gydF4y2B一个CgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个1gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个+gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个2gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个BgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个−gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个BgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个0gydF4y2B一个.gydF4y2B一个□gydF4y2B一个
方法三:每一个保守力都可以表示为gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个FgydF4y2B一个.gydF4y2B一个
根据这种方法,如果一个向量场gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
可以表示为gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个FgydF4y2B一个对于一个可微函数gydF4y2B一个
FgydF4y2B一个,则为保守。换句话说,如果gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个FgydF4y2B一个,gydF4y2B一个然后是线积分的值gydF4y2B一个
∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
是路径独立。更正式的定义是:gydF4y2B一个
如果gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个=gydF4y2B一个米gydF4y2B一个我gydF4y2B一个+gydF4y2B一个NgydF4y2B一个jgydF4y2B一个+gydF4y2B一个PgydF4y2B一个kgydF4y2B一个一个向量场的三个分量在开放区域内是连续的吗gydF4y2B一个
DgydF4y2B一个在太空中,那么如果gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
可以表示为gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个FgydF4y2B一个F是agydF4y2B一个标量gydF4y2B一个,gydF4y2B一个
然后gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
是一个gydF4y2B一个保守的gydF4y2B一个力。gydF4y2B一个
让我们看看如何证明这一点:gydF4y2B一个
让gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个=gydF4y2B一个米gydF4y2B一个我gydF4y2B一个+gydF4y2B一个NgydF4y2B一个jgydF4y2B一个+gydF4y2B一个PgydF4y2B一个kgydF4y2B一个.现在,假设我们有gydF4y2B一个
2gydF4y2B一个点在空间gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个,如果gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
这是梯度场吗gydF4y2B一个
∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个BgydF4y2B一个)gydF4y2B一个−gydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个一个gydF4y2B一个)gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
假设路径是一条光滑的曲线gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个,让我们也说我们有一个观点gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个0gydF4y2B一个与坐标gydF4y2B一个
(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个0gydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个附近gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个与坐标gydF4y2B一个
(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个,它们由一条线段连接gydF4y2B一个
lgydF4y2B一个.还有,路径从gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个0gydF4y2B一个是另一个曲线gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个0gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
那如果我们要从gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个,gydF4y2B一个我们要穿过这条路gydF4y2B一个
一个gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个0gydF4y2B一个然后从gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个0gydF4y2B一个来gydF4y2B一个
BgydF4y2B一个简而言之,我们必须独自旅行gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个0gydF4y2B一个然后gydF4y2B一个
lgydF4y2B一个.因此,gydF4y2B一个
FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个=gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个0gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个+gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个lgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个.gydF4y2B一个
对它求导,我们得到gydF4y2B一个
∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个=gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个∫gydF4y2B一个CgydF4y2B一个0gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个+gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个∫gydF4y2B一个lgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个.gydF4y2B一个
因为第二项取决于gydF4y2B一个
xgydF4y2B一个,我们到达gydF4y2B一个
∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个=gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个∫gydF4y2B一个lgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个.gydF4y2B一个
我们可以参数化路径gydF4y2B一个
lgydF4y2B一个作为gydF4y2B一个
rgydF4y2B一个(gydF4y2B一个tgydF4y2B一个)gydF4y2B一个=gydF4y2B一个tgydF4y2B一个我gydF4y2B一个+gydF4y2B一个ygydF4y2B一个jgydF4y2B一个+gydF4y2B一个zgydF4y2B一个kgydF4y2B一个,gydF4y2B一个的价值gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个是gydF4y2B一个
xgydF4y2B一个0gydF4y2B一个≤gydF4y2B一个tgydF4y2B一个≤gydF4y2B一个xgydF4y2B一个.因此我们有gydF4y2B一个
dgydF4y2B一个tgydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个我gydF4y2B一个,gydF4y2B一个dgydF4y2B一个tgydF4y2B一个fgydF4y2B一个⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个米gydF4y2B一个,gydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
∫gydF4y2B一个lgydF4y2B一个fgydF4y2B一个⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个=gydF4y2B一个∫gydF4y2B一个xgydF4y2B一个0gydF4y2B一个xgydF4y2B一个米gydF4y2B一个(gydF4y2B一个tgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个dgydF4y2B一个tgydF4y2B一个.gydF4y2B一个把这些代入上面的积分得到gydF4y2B一个
∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个FgydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个=gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个∫gydF4y2B一个xgydF4y2B一个0gydF4y2B一个xgydF4y2B一个米gydF4y2B一个(gydF4y2B一个tgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个dgydF4y2B一个tgydF4y2B一个=gydF4y2B一个米gydF4y2B一个(gydF4y2B一个xgydF4y2B一个,gydF4y2B一个ygydF4y2B一个,gydF4y2B一个zgydF4y2B一个)gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
我们可以对其他两个偏导做同样的处理gydF4y2B一个
∂gydF4y2B一个zgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个=gydF4y2B一个PgydF4y2B一个zgydF4y2B一个而且gydF4y2B一个
∂gydF4y2B一个ygydF4y2B一个∂gydF4y2B一个fgydF4y2B一个=gydF4y2B一个NgydF4y2B一个,gydF4y2B一个结论gydF4y2B一个
FgydF4y2B一个=gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个fgydF4y2B一个.gydF4y2B一个□gydF4y2B一个
下面是另一种证明方法:gydF4y2B一个点击这里gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
方法4:保守场的旋度为0。gydF4y2B一个
向量场的旋度gydF4y2B一个
fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个米gydF4y2B一个我gydF4y2B一个+gydF4y2B一个NgydF4y2B一个jgydF4y2B一个+gydF4y2B一个PgydF4y2B一个kgydF4y2B一个被定义为gydF4y2B一个
∇gydF4y2B一个×gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个(gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个ygydF4y2B一个∂gydF4y2B一个PgydF4y2B一个−gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个zgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个NgydF4y2B一个)gydF4y2B一个我gydF4y2B一个+gydF4y2B一个(gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个zgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个米gydF4y2B一个−gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个PgydF4y2B一个)gydF4y2B一个jgydF4y2B一个+gydF4y2B一个(gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个xgydF4y2B一个∂gydF4y2B一个NgydF4y2B一个−gydF4y2B一个∂gydF4y2B一个ygydF4y2B一个∂gydF4y2B一个米gydF4y2B一个)gydF4y2B一个kgydF4y2B一个.gydF4y2B一个
根据这个方法,如果一个场的旋度为零,那么它就是保守的。正式声明如下:gydF4y2B一个
如果gydF4y2B一个
∇gydF4y2B一个×gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个0gydF4y2B一个在a的每一个点gydF4y2B一个单连通gydF4y2B一个地区的gydF4y2B一个
DgydF4y2B一个在太空中,然后gydF4y2B一个
∮gydF4y2B一个CgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个0gydF4y2B一个⟹gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
是保守的gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
因此它意味着它是一个在空间区域上的保守力。gydF4y2B一个
这里有一个方法来证明它使用gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个:gydF4y2B一个
我们有一个来自数学分支“拓扑学”的定理,它说:“每一条光滑的简单闭合曲线gydF4y2B一个
CgydF4y2B一个在一个单连通的开放区域gydF4y2B一个
DgydF4y2B一个一个光滑的双面曲面的边界是吗gydF4y2B一个
年代gydF4y2B一个这也在于gydF4y2B一个
DgydF4y2B一个."[4]gydF4y2B一个
因此,使用gydF4y2B一个斯托克斯公式gydF4y2B一个,我们有gydF4y2B一个
∮gydF4y2B一个CgydF4y2B一个fgydF4y2B一个
dgydF4y2B一个rgydF4y2B一个
=gydF4y2B一个∬gydF4y2B一个年代gydF4y2B一个∇gydF4y2B一个×gydF4y2B一个fgydF4y2B一个
⋅gydF4y2B一个ngydF4y2B一个dgydF4y2B一个σgydF4y2B一个=gydF4y2B一个0gydF4y2B一个.gydF4y2B一个