轮廓集成

轮廓集成是一种评估沿复杂平面中取向曲线的功能积分的方法。它是沿着实数行中的间隔沿着函数的通常积分的延伸。可以使用直接计算来评估轮廓积分，即Cauchy积分公式， 或者残留定理。

一种曲线在复杂的平面中是一组由某个功能参数化的点 $[a，b] \ to \ mathbb {c}$，通常表示 $\ Gamma.$参数化的 $Z.$。 $\ Gamma.$是可怜的如果 $z'（t）$全部存在 $t \在[a，b]$。

让 $f：u \ to \ mathbb {c}$和 $\ Gamma.$是参数化的可差曲线 $z：[a，b] \ to \ mathbb {c}$。积分的 $f（z）\ dz$沿着 $\ Gamma.$被定义为

$\ int_ \ gamma f（z）\ dz = \ int_a ^ b f \ big（z（t）\ big）z'（t）\ dt。$

$（$如果 $f：u \ to \ mathbb {c}$是A.罗形功能，然后人们可以将其视为来自子集的函数 $\ mathbb {r} ^ 2$到整体 $\ mathbb {r} ^ 2$。换句话说， $F$隐含地定义了矢量字段 $\ mathbb {r} ^ 2$。因此，使用线路积分，自然地以与矢量字段相同的方式相同的方式集成了全统称功能。 $）$

可以手动计算一些轮廓积分。例如：

让 $\ Gamma.$表示圆形的圆圈 $O.$半径 $1$。然后计算

$\ int _ {\ gamma} \ frac {1} {z} \，dz。$

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首先，参数化圆圈 $\ gamma（t）= e ^ {2 \ pi i t}$，这样 $T.$范围内 $[0,1]$，整个圈子被追踪一次。注意 $\ Gamma（0）= \ Gamma（1）$;调用具有此属性的曲线关闭。

使用此参数化，一个计算

$\ int _ {\ gamma} \ frac {1} {z} \，dz = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {1} {\ gamma（t）} \ gamma'（t）\，dt = \一世nt_{0}^{1} e^{-2\pi i t} \cdot 2\pi i e^{2\pi i t} \, dt = \int_{0}^{1} 2\pi i \, dt = 2\pi i.\ _\square$

请注意，在上面的示例中，功能 $\ frac {1} {z}$在地区内部没有托运 $\ Gamma.$，因为它没有定义 $z = 0.$。

拿 $f：u \ to \ mathbb {c}$是罗形的。这原始的 $F$是一个功能 $f：u \ to \ mathbb {c}$这样 $f'（z）= f（z）$对所有人 $z \在你$。

认为 $\ Gamma.$是曲线参数化 $z：[a，b] \ to \ mathbb {c}$和 $F$有一个原始的。然后，由于复杂的差异遵循连锁规则那

$\begin{aligned} \int_\gamma f(z) \ dz &= \int_a^b f\big(z(t)\big) z'(t) \ dt \\ &= \int_a^b F'\big(z(t)\big) z'(t) \ dt \\ &= \int_a^b \frac{d}{dt} F\big(z(t)\big) \ dt \\ &= F\big(z(b)\big)-F\big(z(a)\big). \end{aligned}$

特别是，如果 $\ Gamma.$是一个闭合的曲线，即 $z（b）= z（a）$， 然后 $\ displaystyle \ int_ \ gamma f（z）\ dz = 0$。结果，所有全象功能都有基元。因此，沿闭合曲线的唯一非活动轮廓积分是那些被集成的功能的磁极封闭的那些。