极坐标GYdF4y2Ba

我们可以用极坐标在平面上放置一个点GYdF4y2Ba $(r,θ\ \)。GYdF4y2Ba$欧拉公式表明GYdF4y2Ba $E ^{i\theta} = cos{\theta} + isin {\theta}。GYdF4y2Ba$利用这个公式，我们得到GYdF4y2Ba $re^{i\theta}=r\cos{\theta}+i r\sin{\theta}=x+iy，GYdF4y2Ba$我们有笛卡尔坐标GYdF4y2Ba $(x, y)GYdF4y2Ba$从极坐标。因此，平面上的一点可以用极坐标表示GYdF4y2Ba $(r,θ\ \),GYdF4y2Ba$它们有相等的复数GYdF4y2Ba $r e^{i\theta}。GYdF4y2Ba$

两点的乘法GYdF4y2Ba $（r_1，\\theta_1）GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $（r_2，\\theta_2），GYdF4y2Ba$它们的复数相等，可以很容易地计算出来。给定两个等价的复数GYdF4y2Ba $r_1 e ^{我\ theta_1}GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $r_2 e^{i\theta_2}，GYdF4y2Ba$乘法是GYdF4y2Ba $\{对齐}重新开始^{我\θ}= & \离开(r_1 e ^{我\θ_1}\)\离开(r_2 e ^{我θ_2 \}\)\ \ = & (r_1 r_2) \离开(e ^{我\θ_1}e ^{我θ_2 \}\)\ \ = & r_1 r_2 e ^{我(\θ_1 + \θ_2)},结束\{对齐}GYdF4y2Ba$用同样的方法将指数对实数的加法扩展到对复数的加法。因此，两点的乘法是GYdF4y2Ba $(r,θ\ \),GYdF4y2Ba$哪里GYdF4y2Ba $r=r_1 r_2GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $= _1 + _2。GYdF4y2Ba$

两点的乘法是什么GYdF4y2Ba $(3、5)GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $(2、4)GYdF4y2Ba$在极坐标系中？GYdF4y2Ba

---

乘法的第一个坐标是两个坐标的乘积。乘法的第二个坐标是两个第二个坐标的和。因此,我们有GYdF4y2Ba $（r，\theta）=（3乘以2,5+4）=（6,9）。\_\广场GYdF4y2Ba$

两点的乘法是什么GYdF4y2Ba $(5, 2)GYdF4y2Ba$在极坐标系和GYdF4y2Ba $(4, 3)GYdF4y2Ba$在笛卡尔坐标吗?用弧度近似计算小数点以下两位的角度。GYdF4y2Ba

---

转换GYdF4y2Ba $(4, 3)GYdF4y2Ba$在笛卡尔坐标系中转换为极坐标系中的表示：GYdF4y2Ba $左\ \√,{4 ^ 2 + 3 ^ 2}\反正切{\压裂{3}{4}}\右)= 0.64(5)。GYdF4y2Ba$

在极坐标系中，乘法的第一个坐标是两个第一坐标的乘积，乘法的第二个坐标是两个第二坐标的和。因此，我们有GYdF4y2Ba $（r，\theta）\n大约（5乘以5,2+0.64）=（25,2.64）。\_\广场GYdF4y2Ba$

两点的乘法是什么GYdF4y2Ba $(5, -12)GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $(6, 8)GYdF4y2Ba$在笛卡尔坐标吗?用弧度近似计算小数点以下两位的角度。GYdF4y2Ba

---

转换GYdF4y2Ba $(5, -12)GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $(6, 8)GYdF4y2Ba$在笛卡尔坐标系中表示为极坐标:GYdF4y2Ba $左\ \√{5 ^ 2 +(-12)^ 2},\反正切{\压裂{-12}{5}}\右)= -1.176(13日)GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $\左（\sqrt{6^2+8^2}，\arctan{\frac{8}{6}}}\右）=（10,0.927）。GYdF4y2Ba$

因此,我们有GYdF4y2Ba $（r，\theta）=（13乘以10，-1.176\ldots+0.927\ldots）\n约为（130，-0.25）。\_\广场GYdF4y2Ba$

主要条款：GYdF4y2Ba极地笛卡儿GYdF4y2Ba,GYdF4y2Ba笛卡尔到极GYdF4y2Ba

复数GYdF4y2Ba $Z = x + x + yGYdF4y2Ba$由点表示GYdF4y2Ba $（x，y）GYdF4y2Ba$在复平面上。根据复数的性质，我们可以写GYdF4y2Ba $\{对齐}开始x & = \ z Re (z) = | | \ cosθ(\)\ \ y和z = \ Im (z) = | | \罪(\θ),结束\{对齐}GYdF4y2Ba$哪里GYdF4y2Ba $|z |=\sqrt{x^2+y^2}GYdF4y2Ba$. 如下图所示：GYdF4y2Ba

复数GYdF4y2Ba

请注意GYdF4y2Ba $（x，y）GYdF4y2Ba$一对可以等价地用另一对的三角函数来描述GYdF4y2Ba $（|z |，\theta）GYdF4y2Ba$，常指GYdF4y2Ba $（r，\theta）GYdF4y2Ba$．这些被称为复数的极坐标GYdF4y2Ba $ZGYdF4y2Ba$．GYdF4y2Ba

$RGYdF4y2Ba$是一个非负数，表示复数（圆的半径）的大小，表示在从原点向外延伸的径向轴上GYdF4y2Ba $(0,0)GYdF4y2Ba$．一个表达式为GYdF4y2Ba $\西塔GYdF4y2Ba$可以通过除法得到GYdF4y2Ba $Y = |z| sin ()GYdF4y2Ba$通过GYdF4y2Ba $X = |z| \cos (\)GYdF4y2Ba$:GYdF4y2Ba

$左(\ \θ= \反正切\压裂{y} {x} \右)GYdF4y2Ba$称为复数的辐角。GYdF4y2Ba

复数的极性形式是什么GYdF4y2Ba $z=1+1i？GYdF4y2Ba$

---

我们可以在复平面上画出这个点GYdF4y2Ba

例子GYdF4y2Ba

从图中我们可以看出三角形有两条等边;由此我们知道它也有两个相等的角。因为其中一个角度是GYdF4y2Ba $90GYdF4y2Ba$度，我们可以有把握地得出结论GYdF4y2Ba $\西塔GYdF4y2Ba$等于GYdF4y2Ba $45GYdF4y2Ba$学位或GYdF4y2Ba $\分形{\pi}{4}GYdF4y2Ba$弧度。我们可以找到GYdF4y2Ba $|z|GYdF4y2Ba$通过使用毕达哥拉斯定理计算三角形的斜边：GYdF4y2Ba $x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 \ z意味着| | = \√{1 ^ 2 + 1 ^ 2}= \ sqrt{2}。GYdF4y2Ba$因此我们可以把复数写成GYdF4y2Ba $z=\sqrt{2}\左（\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\右）。\\uSquareGYdF4y2Ba$

写GYdF4y2Ba $1+\sqrt{3}iGYdF4y2Ba$它的极坐标形式。GYdF4y2Ba

---

应用我们的公式,GYdF4y2Ba $\“arctan{{{对齐}}{{{{{对齐}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{对齐}}}\门塔塔邦[3}}{{{{{{3}}\门塔邦[3}}}\门塔邦[3}\门塔邦[3}\门塔[3}{{{{{{3}}}\门塔邦[3}}{{{{{{3}}}}}}}}}}\3}}}}}\3}}}\3}}}\门塔塔邦邦[3}}{{{{3}{{{3}{{3}}\3}}}}}}}\3}}\3}\3}{3}}\3}}}}{3}}}}\3}}}}}}}}\3}}}}}\3}}}}}}}uu\square\end{aligned}GYdF4y2Ba$

写GYdF4y2Ba $6 \离开(\因为\压裂{5 \π}{3}+ i \罪\压裂{5 \π}{3}\右)GYdF4y2Ba$呈长方形。GYdF4y2Ba

---

我们知道GYdF4y2Ba $z | | = 6,GYdF4y2Ba$我们评估GYdF4y2Ba $\sin\frac{5\pi}{3}=\frac{-\sqrt{3}{2}、\quad\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}。GYdF4y2Ba$因此我们的复数GYdF4y2Ba $ZGYdF4y2Ba$是GYdF4y2Ba $\开始{aligned}z&={z}（\cos\theta+i\sin\theta）\\&=6\left（\frac{1}{2}+\frac{-\sqrt{3}{i\ right）\&=3\left（1-\sqrt{3}i\ right）\\&=3-3\sqrt{3}i.\\平方\结束{aligned}GYdF4y2Ba$

$(1 +根号{2}i右)\cdot\left(1-根号{2}i右)GYdF4y2Ba$它的极坐标形式。GYdF4y2Ba

---

我们有GYdF4y2Ba $\开始{aligned}（1+\sqrt{2}i）\cdot（1-\sqrt{2}i）&=1\cdot1-\sqrt{2}i+\sqrt{2}i-\sqrt{2}i\cdot\sqrt{2}i\\\&=3+0\cdot i\结束{对齐}GYdF4y2Ba$然后根据我们的公式，我们得到GYdF4y2Ba $\θ=arg（z）=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{0}{3}=0。GYdF4y2Ba$那么从GYdF4y2Ba $R = rvert z = rvert z =根号{3^2 +0^2}= 3，GYdF4y2Ba$我们可以得出这样的结论GYdF4y2Ba $\begin{aligned} z &= |z|(\cos \theta + isin \theta) \\ &= 3(\cos 0 + isin 0)。\ \ _ \广场结束{对齐}GYdF4y2Ba$

写GYdF4y2Ba $i\left（1-\sqrt{3}i\right）GYdF4y2Ba$它的极坐标形式。GYdF4y2Ba

---

给定的表达式可以重写为GYdF4y2Ba $\开始{aligned}i（1-\sqrt{3}i）=\sqrt{3}+i\结束{对齐}GYdF4y2Ba$然后我们有GYdF4y2Ba $\θ= arg (z) = \反正切\压裂{y} {x} = \反正切\压裂{1}{\ sqrt{3}} = \压裂{\π}{6},GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $R = |z| =根号{1^2 +(根号{3})^2}= 2。GYdF4y2Ba$这就是极坐标形式GYdF4y2Ba $ZGYdF4y2Ba$是GYdF4y2Ba $\开始{aligned}z&={z}（\cos\theta+i\sin\theta）\\&=2\left（\cos\frac{pi}{6}+i\sin\frac{pi}{6}\ right）。\\ ux\square\end{aligned}GYdF4y2Ba$

如果GYdF4y2Ba $左（\cos\frac{\pi}{a}+\sin\frac{\pi}{a}i\right）GYdF4y2Ba$是地球的极性形式GYdF4y2Ba $3+3\sqrt{3}i，GYdF4y2Ba$是什么GYdF4y2Ba $A.GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $BGYdF4y2Ba$

---

注意GYdF4y2Ba $3 + 3 \ sqrt {3}GYdF4y2Ba$可以表示为GYdF4y2Ba $左（\frac{3}{c}+\frac{3\sqrt{3}}{c}i\right），GYdF4y2Ba$哪里GYdF4y2Ba $CGYdF4y2Ba$是一个正整数。那么从GYdF4y2Ba $\sin^2\theta+cos^2\theta=1，GYdF4y2Ba$我们可以得到GYdF4y2Ba $CGYdF4y2Ba$如下:GYdF4y2Ba ${对齐}\ \开始离开(\压裂{3}{c} \右)^ 2 + \离开(\压裂{3 \ sqrt {3}} {c} \右)^ 2 = \压裂{3 ^ 2 + 3 \√{3})^ 2}{c ^ 2} = \压裂{36}{c ^ 2} & = 1 \ \ \ Rightarrow c = 6。结束\{对齐}GYdF4y2Ba$自GYdF4y2Ba $c=6，GYdF4y2Ba$ $3 + 3 \ sqrt {3}GYdF4y2Ba$可以表示为GYdF4y2Ba $左（\frac{3}{c}+\frac{3\sqrt{3}}{c}i \右）=6\左（\frac{3}{6}+\frac{3\sqrt{3}{6}i \右）=6\左（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}{i \右）。GYdF4y2Ba$因此,GYdF4y2Ba $\cos\frac{\pi}{a}=\frac{1}{2}GYdF4y2Ba$和GYdF4y2Ba $\sin\frac{\pi}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}，GYdF4y2Ba$从三角学我们可以得出结论GYdF4y2Ba $= 3。GYdF4y2Ba$因此，答案是GYdF4y2Ba $a=3，b=6_\广场GYdF4y2Ba$