格林公式GyD.F4.y2Ba

格林的定理GyD.F4.y2Ba给出了两者之间的关系GyD.F4.y2Ba线积分GyD.F4.y2Ba二维GyD.F4.y2Ba向量场GyD.F4.y2Ba在平面中的闭合路径上和其包围区域的双积分。一个（二维）的积分的事实GyD.F4.y2Ba保守的GyD.F4.y2Ba封闭路径上的场为零是格林定理的一个特例。GyD.F4.y2Ba

格林定理本身就是一个更一般的特例GyD.F4.y2Ba斯托克斯公式GyD.F4.y2Ba．绿色的定理中的语句可以使用两个不同类型的积分来计算任一类型：有时绿色的定理用于将一条线路整体转换为双积分，有时它用于将双积分转换为一行积分。GyD.F4.y2Ba

格林定理：GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$在平面上是一条正向、分段光滑、简单的闭合曲线，并让GyD.F4.y2Ba $D.GyD.F4.y2Ba$以…为界的区域GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$．如果GyD.F4.y2Ba $P.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $问：GyD.F4.y2Ba$是功能GyD.F4.y2Ba $（x，y）GyD.F4.y2Ba$在包含GyD.F4.y2Ba $D.GyD.F4.y2Ba$这里有连续的偏导数GyD.F4.y2Ba $\oint_C (P \， dx + Q \， dy) = \iint_D \left(\frac{partial Q}{partial x} - \frac{partial P}{partial y} right) dx \， dy，GyD.F4.y2Ba$其中，路径积分逆时针遍历。GyD.F4.y2Ba

评估积分GyD.F4.y2Ba $\ oint_c \ big（y ^ 2 \，dx + x ^ 2 \，dy \ big），GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$是单位圆盘上半部分的边界，逆时针方向移动。GyD.F4.y2Ba

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边界是分段定义的，因此直接计算该积分会很繁琐。格林定理给出GyD.F4.y2Ba $\ oint_C \大(dx x ^ 2 + y ^ 2 \ \, dy \大)= \ iint_D (2 x - 2 y) dx \, dy,GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $D.GyD.F4.y2Ba$是上半圆盘。可以轻松地计算这种积分GyD.F4.y2Ba $\开始{对齐}\ int_ {1} ^ 1 \ int_0 ^ {\ sqrt {1 - x ^ 2}} (2 x - 2 y) dy \, dx & = \ int_{1} ^ 1 \大(2 xy-y ^ 2 \大)\大| _0 ^ {\ sqrt {1 - x ^ 2}} \, dx \ \ & = \ int_{1} ^ 1 \左2 x \√{1 - x ^ 2} - \大(1 - x ^ 2 \大)\)\,dx \ \ & = 0 - \ int_{1} ^ 1 \大(1 - x ^ 2大)\ \,dx \ \ & = - \离开。\大(x - \压裂{x ^ 3}{3} \大)正确\ | _{1}^ 1 = 2 + \压裂{2}{3}= - \压裂{4}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$(积分也可以用GyD.F4.y2Ba极坐标GyD.F4.y2Ba．）GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $GGyD.F4.y2Ba$具有连续部分衍生物的两个变量的连续功能，让GyD.F4.y2Ba ${\ bf f} = \ nabla gGyD.F4.y2Ba$是梯度GyD.F4.y2Ba $克,GyD.F4.y2Ba$被定义为GyD.F4.y2Ba ${\ bf f} = \ left（\ dfrac {\ partial g} {\ partial x}，\ dfrac {\ partial g} {\ partial y} \右）。GyD.F4.y2Ba$显示GyD.F4.y2Ba $\ oint_c {\ bf f} \ cdot（dx，dy）= \ oint_c \ left（\ dfrac {\ partial g} {\ partial x} \，dx + \ dfrac {\ partial g} {\ partial y} \，dy \右）= 0GyD.F4.y2Ba$任何闭合曲线GyD.F4.y2Ba $C。GyD.F4.y2Ba$

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这是格林定理的一个直接应用:GyD.F4.y2Ba ${对齐}\ oint_C \ \开始离开(\ dfrac{\部分G} {x} \部分\,dx + \ dfrac{\部分G}{\偏y} \, dy \右)& = \ iint_R \离开(\ dfrac{\部分^ 2 G}{\偏y \部分x} - \ dfrac{\部分^ 2 G}{\部分x \偏y} \右)dx \, dy = 0 \ \ iint_R, dx \, dy = 0, \{对齐}GyD.F4.y2Ba$因为混合偏导数GyD.F4.y2Ba ${偏x偏y}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba ${偏y偏x}GyD.F4.y2Ba$是相等的。GyD.F4.y2Ba $_ \广场GyD.F4.y2Ba$

格林的定理可以“反向”使用，也可以计算某些双积分。必须以绿色定理右侧给出的形式表明。这是一个非常有用的例子。GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$是一个由简单的闭合曲线包围的平面区域GyD.F4.y2Ba $C。GyD.F4.y2Ba$表明该地区GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$等于以下任一积分（路径逆时针遍历）：GyD.F4.y2Ba $\ Oint_c x \，dy，\ quad - \ oint_c y \，dx，\ quad \ frac12 \ oint_c（x \，dy - y \，dx）。GyD.F4.y2Ba$

作为一个应用，计算半长轴椭圆的面积GyD.F4.y2Ba $一种GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $湾GyD.F4.y2Ba$

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第一个表述的证明是立即的:格林定理应用于上述三个积分中的任何一个，表明它们都是相等的GyD.F4.y2Ba $iint_R 1 \， dx \， dy，GyD.F4.y2Ba$的面积是多少GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$

要计算椭圆区域，请使用参数化GyD.F4.y2Ba $X =a cos t y = b sin t 0 t 2，GyD.F4.y2Ba$要得到GyD.F4.y2Ba $\ oint_c x \，dy = \ int_0 ^ {2 \ pi}（a \ cos t）（b \ cos t）\，dt = ab \ int_0 ^ {2 \ pi} \ cos ^ 2 t \，dt = \pi ab。\ _ \ squareGyD.F4.y2Ba$（a）对GyD.F4.y2Ba $\ cos ^ 2 tGyD.F4.y2Ba$是一个标准的三角积分，留给读者。）GyD.F4.y2Ba

此方法特别适用于由参数曲线限定的区域。GyD.F4.y2Ba

一种GyD.F4.y2Ba心脏GyD.F4.y2Ba是一个由半径圆圈周边的固定点追踪的曲线GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$是绕另一个半径的圆滚动GyD.F4.y2Ba $r。GyD.F4.y2Ba$它由方程参数化GyD.F4.y2Ba $\开始{aligned}x&=r（2\cos t-\cos 2t）\\y&=r（2\sin t-\sin 2t），\end{aligned}GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $0 t 2。GyD.F4.y2Ba$心脏线内的面积是多少?GyD.F4.y2Ba

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这里GyD.F4.y2Ba $dy=r（2\cos t-2\cos 2t）\，dt，GyD.F4.y2Ba$所以GyD.F4.y2Ba $\ \开始{对齐}\ oint_C x, dy & = \ int_0 ^{2 \π}r ^ 2(2 \因为t - \ cos 2 t)(2 \因为2 \因为2 t) \, dt \ \ & = r ^ 2 \离开(\ int_0 ^{2 \π}4 t \ \因为^ 2,dt + \ int_0 ^{2 \π}2 \ cos ^ 2 2 t \, dt - \ int_0 ^{2 \π}4 t \因为2 t \ \因为,dt \右)。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$前两个积分是恒等式的直接应用GyD.F4.y2Ba $\cos^2（z）=\frac12（1+\cos 2t）。GyD.F4.y2Ba$它们等于GyD.F4.y2Ba $4 \ PI.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $2 \ pi，GyD.F4.y2Ba$分别。通过身份简化第三个积分GyD.F4.y2Ba $\ cos 2t \ cos t = \ frac12（\ cos 3t + \ cos t），GyD.F4.y2Ba$和=GyD.F4.y2Ba $0GyD.F4.y2Ba$所以最后的答案是GyD.F4.y2Ba $6 \ pi r ^ 2。GyD.F4.y2Ba$ $_ \广场GyD.F4.y2Ba$

生命理论的基本成果之一GyD.F4.y2Ba轮廓集成GyD.F4.y2Ba从复分析得到的是柯西定理GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $FGyD.F4.y2Ba$做一个GyD.F4.y2Ba罗形功能GyD.F4.y2Ba,让GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$是复杂平面中的简单闭合曲线。然后GyD.F4.y2Ba $\点C f（z）dz=0。GyD.F4.y2Ba$

证明将问题减少到绿色的定理。GyD.F4.y2Ba

写GyD.F4.y2Ba $f = u + 4GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $Dz = dx + idy。GyD.F4.y2Ba$那么积分是GyD.F4.y2Ba $\ oint_C (u + iv) (dx + i dy) = \ oint_C (u \, dx - v \ dy) + i \ oint_C (dy, dx + u v \ \)。GyD.F4.y2Ba$这些积分可以用格林定理计算:GyD.F4.y2Ba $\ begin {senugented} \ oint_c（u \，dx - v \，dy）＆= \ iint_r \ left（ - \ frac {\ partial v} {\ partial x} - \ frac {\ partialu} {\ partial y} \右）dx \，dy \\ \ oint_c（v \，dx + u \，dy）＆= \ iint_r \ left（\ frac {\ partialu} {\ partial x} - \ frac {\ partial v}{\ partial y} \右）dx \，dy。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

但全纯函数满足GyD.F4.y2Ba柯西黎曼方程GyD.F4.y2Ba $\ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\ frac {\ partial u} {\ partial y} = - \ frac {\ partial v} {\ partial x}。GyD.F4.y2Ba$因此，两个积分都是0，结果如下。GyD.F4.y2Ba $_ \广场GyD.F4.y2Ba$

格林的定理是三维版本的特殊情况GyD.F4.y2Ba斯托克斯公式GyD.F4.y2Ba，哪些指出了矢量字段GyD.F4.y2Ba $\bf F，GyD.F4.y2Ba$ $\ oint_c {\ bf f} \ cdot d {\ bf s} = \ iint_r（\ nabla \ times {\ bf f}）\ cdot {\ bf n} \，da，GyD.F4.y2Ba$在哪里GyD.F4.y2Ba $n \男朋友GyD.F4.y2Ba$这个区域的法向量是多少GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $\纳布拉\times{\bf F}GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba卷曲GyD.F4.y2Ba属于GyD.F4.y2Ba $\高炉煤气。GyD.F4.y2Ba$当GyD.F4.y2Ba ${\bf F} = (P,Q,0)GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$一个地区在GyD.F4.y2Ba $xyGyD.F4.y2Ba$-平面，格林定理的背景，GyD.F4.y2Ba ${\bf n}GyD.F4.y2Ba$为单位向量GyD.F4.y2Ba $(0, 0, 1)GyD.F4.y2Ba$第三个组成部分GyD.F4.y2Ba $\纳布拉\times{\bf F}GyD.F4.y2Ba$是GyD.F4.y2Ba $\ frac {\ partial q} {\ partial x} - \ frac {\ partial p} {\ partial y}，GyD.F4.y2Ba$所以定理成为GyD.F4.y2Ba $\oint_C (P,Q,0) \cdot (dx,dy,dz) = \iint_R (left(偏Q}{偏x} -偏P}{偏y}) dAGyD.F4.y2Ba$左侧只是GyD.F4.y2Ba $\ Oint_c（p \，dx + q \，dy）GyD.F4.y2Ba$如预期的。GyD.F4.y2Ba

这个证明是另一个证明的相反版本;看它GyD.F4.y2Ba在这里GyD.F4.y2Ba．GyD.F4.y2Ba

让GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$是平面上一条分段光滑的简单封闭曲线。让这条平滑的曲线封闭在区域内GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$，并假设GyD.F4.y2Ba $P.GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $问：GyD.F4.y2Ba$他们的第一个GyD.F4.y2Ba偏导数GyD.F4.y2Ba在区域中的每个点都是连续的GyD.F4.y2Ba $R.GyD.F4.y2Ba$包含GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$．我们需要证明这一点GyD.F4.y2Ba

$\ oint_c \ mathbf f \ cdot d \ mathbf s = \ oint_c p \，d \ hat {\ mathbf x} + q \，d \ hat {\ mathbf y} = \ iint_r \ left（\ dfrac {\ partial q}{\ partial x} - \ dfrac {\ partial p} {\ partial y} \右）\，dx \，dy。GyD.F4.y2Ba$

让我们说曲线GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$由两条曲线组成GyD.F4.y2Ba $c₁GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $c₂GyD.F4.y2Ba$这样GyD.F4.y2Ba

$\begin{aligned} C_1: y &= f_1(x) \\ forall a\leq x\leq b\\ C_2: y &= f_2(x) \\ forall b\leq x\leq a\ end{aligned}GyD.F4.y2Ba$

现在，在以下条件下，积分GyD.F4.y2Ba $\压裂{\部分P}{\偏y}GyD.F4.y2Ba$关于GyD.F4.y2Ba $yGyD.F4.y2Ba$之间的GyD.F4.y2Ba $y = f_1（x）GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $y = f_2（x）GyD.F4.y2Ba$收益率GyD.F4.y2Ba

$\ int_ {f (x)} ^{₂(x)} \ dfrac{\部分P}{\偏y} \, dy = P (x,₂(x)) - P (x, f (x))。GyD.F4.y2Ba$

在间隔内集成生成的集成和GyD.F4.y2Ba $(a, b)GyD.F4.y2Ba$， 我们获得GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} \ int_a ^ b \ int_ {f_1（x）} ^ {f_2（x）} \ dfrac {\ partial p} {\ partial y} \，dy \，dx＆= \ int_a ^ b \ big（p（x，f_2（x）） - p（x，f_1（x））\ big）\，dx \\＆= \ int_a ^ b（p（x，f_2（x））\，dx - \ int_a^ b（p（x，f_1（x））\，dx \\＆= - \ int_b ^ a（p（x，f_2（x））\，dx - \ int_a ^ b（p（x，f_1（x））\, dx\\ &=-\int_{C_2} P \, dx-\int_{C_1} P \, dx \\ &=-\oint_{C} P \, dx.\\ \end{aligned}$

因此，我们得到了所需表达式的前半部分GyD.F4.y2Ba

$\ oint_ {c} p \，dx = - \ int_a ^ b \ int_ {f_1（x）} ^ {f_2（x）} \ dfrac {\ partial p} {\ partial y} \，dy \，dx = \eint_r \ left（ - \ dfrac {\ partial p} {\ partial y} \右）\，dx \，dy。GyD.F4.y2Ba$

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同样地，我们可以得到证明的另一半。比方说曲线GyD.F4.y2Ba $CGyD.F4.y2Ba$由两条曲线组成GyD.F4.y2Ba $C ' _1GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $C ' _2GyD.F4.y2Ba$这样GyD.F4.y2Ba

$\ begin {对齐} c'_1：x＆= g_1（y）\ \ forall d \ leq x \ leq c \\ c'_2：x＆= g_2（y）\ \ forall c \ leq x \ leq d。\结束{对齐}GyD.F4.y2Ba$

现在，整合GyD.F4.y2Ba $\压裂{\部分Q} {x} \部分GyD.F4.y2Ba$关于GyD.F4.y2Ba $XGyD.F4.y2Ba$之间的GyD.F4.y2Ba $x = g_1（y）GyD.F4.y2Ba$和GyD.F4.y2Ba $x = g_2（y）GyD.F4.y2Ba$收益率GyD.F4.y2Ba

$\int{g_1（y）}{g_2（y）}\dfrac{\partial Q}{\partial x}\，dx=Q（g_2（y），y）-Q（g_1（y），y）。GyD.F4.y2Ba$

在间隔内集成生成的集成和GyD.F4.y2Ba $（光盘）GyD.F4.y2Ba$我们获得GyD.F4.y2Ba

$\ \开始{对齐}\ int_c ^ d int_ {g_1里面(y)} ^ {g_2 (y)} \ dfrac{\部分Q} {x} \部分\,dx \, dy & = \ int_c ^ d \大(Q (g_2 (y), y) - Q (g_1里面(y), y) \大)\,dy \ \ & = \ int_c ^ d (Q (g_2 (y), y) \, dy - \ int_c ^ d (Q (g_1里面(y), y) \, dy \ \ & = \ int_c ^ d (Q (g_2 (y), y) \, dy + \ int_d ^ c (Q (g_1里面(y), y) \, dy \ \ & = \ int_ {c ' _2}问\,dy + \ int_ {c ' _1}问\,dy \ \ & = \ oint_ {c}问\,dy, \ \ \{对齐}GyD.F4.y2Ba$

这样，我们就得到了所需表达式的后半部分。GyD.F4.y2Ba $\ oint_ {c} q \，dy = \ int_c ^ d \ int_ {g_1（x）} ^ {g_2（x）} \ dfrac {\ partial q} {\ partial x} \，dy \，dx = \ iint_r\左（\ dfrac {\ partial q} {\ partial x}右）\，dx \，dy。GyD.F4.y2Ba$

把两个结果加起来就完成了格林定理的证明:GyD.F4.y2Ba

$\开始{对齐}\ oint_ {C} P \, dx + \ oint_ {C}问\,dy = F \ cdot d \ \ oint_C \ mathbf mathbf s & = \ iint_R \离开(- \ dfrac{\部分P}{\偏y} \) \, dx \, dy + \ iint_R \离开(\ dfrac{\部分Q} {x} \部分\)\,dx \, dy \ \ & = \ iint_R \离开(\ dfrac{\部分Q} {x} \部分——\ dfrac{\部分P}{\偏y} \) \, dy, dx \。广场\ _ \ \{对齐}结束。GyD.F4.y2Ba$

• 斯托克斯的定理GyD.F4.y2Ba

• 线积分GyD.F4.y2Ba

• 偏导数GyD.F4.y2Ba

• 向量的介绍GyD.F4.y2Ba

• 绿色物理中的功能GyD.F4.y2Ba

• 明确的积分GyD.F4.y2Ba

• 保守力GyD.F4.y2Ba

• 了解保守派与非保守力量GyD.F4.y2Ba