线积分
线积分(也被称为路径或曲线的概念简单的积分(用于寻找平面二维表面的区域)到可以用于寻找“弯曲”成三维的表面区域的积分,就像窗帘一样。注意,与线积分是关于轮廓整合;而轮廓积分通常适用于复杂平面上的积分。
线积分有各种各样的应用。例如,在电磁学,它们可以用来计算带电粒子沿某条曲线运动时所做的功力由向量字段。或者,在经典力学,它们可以用来计算对质量所做的功 在引力场中运动。这两个问题都可以通过广义向量方程来解决。
或者,例如,a线积分可以确定一个海盗在通往宝藏的路上会受到多少辐射源的辐射。
注意,在他的路径上的不同点,他将受到不同剂量的辐射,这取决于他离辐射源有多近。对每一点的辐射积分线积分将有助于确定海盗所受到的总辐射。
或者有人可能想要算出一个游泳者在沿着某条路线游泳时会消耗多少卡路里,这样所有区域的洋流都能被准确预测。
这也需要使用线积分因为他需要做的总功会随着电流的强度和方向而变化。所以,一个线积分上面所示的路径将有助于确定游泳者在沿着路径游泳时所消耗的总能量(或卡路里)。
线积分——基本概念
线积分方程的求导
曲线的线积分面积 -平面由上面的方程给出
该方程的推导如下:
首先,有一条曲线 在 -平面,由一组参数化方程定义 而且 在点处终止 而且
然后曲线 是由一个函数扩展到三维的吗 定义“幕布”之间 而且 躺在曲线上
这个积分的定义和平坦积分类似 定义宽度的每一个小垂直段的表面上图 .每一段的面积是
在哪里 是每条线段在趋于0时的宽度:
那么用 而且
从勾股定理,可以得出
积分方程如下:
让 将上式转换为
那么积分就变成了
而且 的参数化函数是 :
同时, 可以包含在 方程:
然后将它代入面积方程:
如何将上述结果推广到不仅存在于 -plane,但在 方向。例如,过山车或一个随。变化的方程
主要的区别是 是的函数吗 也一样,所以 ,这 上面的定义现在需要推广到三维空间。
参考上图,
所以,当 ,
对于最后的积分,它是这样的
求解线积分,一步一步的方法
步骤1:识别 在上面的方程和曲线中 在此基础上进行整合。对于涉及对物体做功的问题, 表示作用在粒子/物体上的力。例如,对于原点的一个点电荷, ,在那里 电荷的大小是和吗 就是电荷到路径的距离。或者,用 而且 对于原点的点电荷, 曲线 这决定了粒子的运动路径,也需要确定。
步骤2:确定参数方程
这是求解线积分的一个比较简单的部分,因为方程是函数
需要翻译成
例如,这个方程
转化成一个圆,它有参数方程
而且
,在那里
下表显示了一些比较常见的参数方程:
步骤3:计算
步骤4:解决积分:
求线积分 沿着圆定义的等高线 沿着所示直线的方向:
步骤1:在这种情况下,很明显 和路径 沿着圆 .
步骤2:我们需要平移这个方程 转化成一对参数方程 而且 .
对于半径的圆 ,以下参数方程符合要求: 在这种情况下 为了跟上上面的红色曲线。现在我们使用上面的一般方程: 用在了
步骤3:我们有
由于
步骤4:所以,面积变成 这是我们所期望的由于问题的对称性。
银行抢劫犯
现在要研究一个切实的问题:
假设有一个银行抢劫犯想要找到一把钥匙,然后用它打开一个保险箱。
诀窍是,当他拿到钥匙时,他会触发警报,触发辐射炸弹,以恒定的速度释放辐射,直到他打开保险箱,此时不再释放辐射。
他现在想要优化他的路线,这样他就可以得到最低剂量的辐射。
假设键在 .保险箱在 ,而辐射强度的释放速率为
举个例子,如果抢劫犯站在 离开了一段时间 ,他接受的总辐射量为
现在问题来了…以下哪一种方式能让劫匪在辐射最小的情况下拿到钥匙并打开保险箱?(假设无论他走哪条路,他都会以恒定的速度移动。)
让我们考虑以下三个选项:
一个。圆心的圆弧
B。直接从
来
C。圆心的圆弧
.
显然,盗贼面临的问题是如何在最少的时间里暴露在辐射下,同时又能离辐射源足够远。
直观地说,一个是出来的,既然不仅比B但这也让他更接近辐射。哎哟!
然而,B而且C没有那么明显。B作为最直接的路线(一条直线),它使他暴露在辐射下的总时间最短,但使他稍微接近辐射C.另外,C让他远离辐射,但让他暴露在辐射下的总时间更长了。
那么,哪条路更好呢?
这时对每条路径做线积分就派上用场了。
让我们开始吧C.虽然可以在这里做线积分,但这并不是很有趣因为尽管他是沿弧线移动的,但他与辐射源在原点处的距离是相同的,所以总辐射量 将
在哪里 是他到达那里的总时间。因为WLOG他的速度可以取为1,这就是弧的长度,或者
现在对于路径B…
为此,一个线积分这是必要的,因为盗贼距离辐射的距离不同,因此在沿途的不同点受到的辐射量也不同。
很明显,在这一点上 辐射会达到最大值,而在 而且 辐射暴露将处于最低水平(对于这条特定路径)。定性地说,沿路径的辐射看起来是这样的:
沿路径的总辐射暴露B, ,用曲线下的面积(蓝色区域)表示,是线积分能够求出的值:
在哪里
- .
对于线积分,第一步是建立参数方程, 而且 .
从 来 , 从 来 的速率 由于 路径的角度。
这给了
所以,
最后,一个线积分可以用来发现沿途的辐射暴露吗B,
如果 然后 这意味着
因此, .他最好的选择是 .