由于每个坐标都有一个偏导数算子,函数的偏导数可以排列成向量,称为gydF4y2Ba梯度gydF4y2Ba 和表示gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
vec{\微分算符}\ fgydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba :gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
var {vec{nabla} f = left \ angle \frac{partial f}{partial x}, \frac{partial f}{partial y}, \frac{partial f}{partial z} \right \rangle。gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
上面的定义是针对三维情况的,但将其推广到任意维度(仅包括二维)是很简单的;向量的每个分量都是在一个独立坐标方向上的偏导数。操作员gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
vec{\ \微分算符}gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
通常被称为梯度算子或gydF4y2Ba倒三角形gydF4y2Ba .可将其视为导数算子的向量:gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
\vec{\nabla} = left \ angle \frac{partial}{partial x}, \frac{partial}{partial y}, \frac{partial}{partial z} \right \rangle。gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
通过在向量运算(如叉积和点积)中使用del算子,新的类导数对象称为gydF4y2Ba旋度gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
×gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
vec{\微分算符}\ \ * \ vec {F}gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
×gydF4y2Ba FgydF4y2Ba
和gydF4y2Ba分歧gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
⋅gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
vec{\微分算符}\ \ cdot \ vec {F}gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⋅gydF4y2Ba FgydF4y2Ba
可以在向量场上定义gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
...gydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
vec {F} = \ \大\ langle F (x, y, z),₂(x, y, z) \ ldots \ \大捕杀gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba FgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ...gydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba 在多变量微积分。gydF4y2Ba
求向量场的散度gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
vec {F} = \ \左\ langle \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ \捕杀gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba 原点以外的任何地方。gydF4y2Ba
治疗德尔运营商作为载体,发散由点积给出gydF4y2Ba
∇gydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
⋅gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
⋅gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
0.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
\ BEGIN {对齐} \ VEC {\ nabla} \ CDOT \ VEC {F}&= \左\ langle \压裂{\局部} {\部分X},\压裂{\局部} {\部分Y} \右\rangle \ CDOT \左\ langle \压裂{X} {X ^ 2 + Y ^ 2},\压裂{Y} {X ^ 2 + Y ^ 2} \右\ rangle \\&= \压裂{\局部}{\局部X} \左(\压裂{X} {X ^ 2 + Y ^ 2} \右)+ \压裂{\局部} {\部分Y} \左(\压裂{Y} {X ^ 2 +Y 1 2} \右)\\&= \压裂{2} {X ^ 2 + Y ^ 2} + \压裂{-x(2×)} {\大(X ^ 2 + Y ^ 2 \大)^2} + \frac{-y(2y)}{\big(x^2+y^2\big)^2} \\ &= 0.\ _\square \end{aligned}
∇gydF4y2Ba
⋅gydF4y2Ba FgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba ⋅gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba +gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba .gydF4y2Ba □gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
XYZ.gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba zgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
x + y + zgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba zgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xy + yz + zxgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba zgydF4y2Ba +gydF4y2Ba zgydF4y2Ba xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
x + ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba
向量场的散度是什么gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
⃗gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
⟨gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
zgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
⟩gydF4y2Ba
?gydF4y2Ba
vec{F} =左角度xy,yz,zx右角度?gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba ⟨gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba zgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ⟩gydF4y2Ba ?gydF4y2Ba
计算高阶部分衍生物也与单变微积分相同;只需多次应用衍生操作员:gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
\frac{partial^2 f}{partial x} = \frac{partial x} {partial x}\frac{partial f}{partial x} = \partial^2_{xx} f = f_{xx}gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
其中最右边的表达式是相对于写入所述第二偏导数的另一种方法gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba .如果两个导数算子不相同,高阶偏导数称为agydF4y2Ba混合偏导数gydF4y2Ba :gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
\frac{partial^2 f}{partial x \partial y} = \frac{partial x}\frac{partial f}{partial y} = \partial^2_{xy} f = f_{xy}gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba .gydF4y2Ba
通常情况下(但不总是这样!)不同方向的偏导数会交换:gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
\局部^ 2_ {XY} F = \局部^ 2_ {YX} F。gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba .gydF4y2Ba
只要两个混合偏导都成立gydF4y2Ba连续gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
表明,该函数的混合偏导数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
{gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
≠gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
f (x, y) ={病例}\ \开始dfrac {xy (x ^ 2 y ^ 2)} {x ^ 2 + y ^ 2} \四& (x, y) \ neq 0(0,0) \ \ \ \ \四& (x, y) =(0,0) \{病例}结束gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ⎩gydF4y2Ba ⎪gydF4y2Ba ⎪gydF4y2Ba ⎨gydF4y2Ba ⎪gydF4y2Ba ⎪gydF4y2Ba ⎧gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba )gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba )gydF4y2Ba
在原点处不相等,也就是说gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba - - -gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba -directions不通勤[1]。gydF4y2Ba
考虑偏导数的限制gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba 到了gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba - - -gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba 相互重合。局限于gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba 设在gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
(y = 0)gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 原产地外,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_y fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba fgydF4y2Ba 看起来像gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
5gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
∣gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
\ partial_y F = \压裂{X ^ 5-4的x ^ 3 Y ^ 2-X Y ^ 4} {(X ^ 2 + Y ^ 2)^ 2} \ Biggr | _ {Y = 0} = X,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 3.gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
而受限于gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba 设在gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
0gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
(X = 0)gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 原产地外,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_x fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba fgydF4y2Ba 同样的样子gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
3.gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
5gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
\ partial_x f = \压裂{x ^ 4 y + 4 x ^ 2 y ^仍^ 5}{(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = - y。gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba fgydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 3.gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba .gydF4y2Ba
在原点,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\局部^ 2_ {XY} F到gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 对应于gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
\ partial_xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 的gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_y fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba fgydF4y2Ba ,即的导数gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_y fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba fgydF4y2Ba 采取沿gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba -轴。相似地,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
f \部分^ 2 _ {y}gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 对应于gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
\ partial_ygydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 的gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_x fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba fgydF4y2Ba ,即的导数gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
\ partial_x fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba fgydF4y2Ba 采取沿gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba -轴。由于只有一阶导数与所述坐标轴的限制问题,希望在原点的二阶导数,上述足矣表达式的计算。因此,混合的偏导数是gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
≠gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
\偏^2_{xy} = 1 \neq \偏^2_{yx} = -1,gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
所以在偏导gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba - - -gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
ygydF4y2Ba -方向不通勤。gydF4y2Ba
这是由于混合偏导数不连续的结果,可以从图中看出gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
:gydF4y2Ba
f: \部分^ 2 _ {xy}gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba :gydF4y2Ba 混合二阶偏导数的不同值对应着混合二阶偏导数从不同方向逼近原点时表达式的不同极限。gydF4y2Ba
正如一阶偏导数可以排列成一个向量(梯度),二阶偏导数可以排列成一个矩阵,称为gydF4y2Ba海赛矩阵gydF4y2Ba :gydF4y2Ba
HgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
∂gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
H(f) = \begin{pmatrix} \frac{partial^2 f}{\partial ^2 x} & \frac{partial^2 f}{partial x \partial y} \frac{partial y \partial x} & \frac{partial^2 f}{partial y \partial y} \end{pmatrix}。gydF4y2Ba
HgydF4y2Ba (gydF4y2Ba fgydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba )gydF4y2Ba .gydF4y2Ba
Hessian的行列式在描述临界点的稳定性时是重要的,其中一个一阶偏导数消失了,类似于gydF4y2Ba二阶导数测试gydF4y2Ba 在变量微积分。gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
12gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
12 \大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
x ^ 2 + y ^ 2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
−gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
x y ^ ^ 4 + 4 - 4 xygydF4y2Ba
xgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 4gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba
对应于这个函数的Hessian矩阵的行列式是什么gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
,gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
=gydF4y2Ba
1gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
+gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
)gydF4y2Ba
2gydF4y2Ba
?gydF4y2Ba
F (x,y) = F (x,y) = F (x,y) = F (x,y) = F (x,y) = F (x,y)gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba )gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ?gydF4y2Ba