微分方程GyD.F4y2Ba

一种GyD.F4y2Ba微分方程GyD.F4y2Ba是涉及a的等式GyD.F4y2Ba函数GyD.F4y2Ba及其GyD.F4y2Ba衍生品GyD.F4y2Ba．换句话说，微分方程描述了一个量的值与这个量的变化率之间的关系。例如，对于发射的火箭，可以写出一个连接其速度和位置的方程，因为速度是位置变化的速率，这是一个微分方程。用时间来解这个位置微分方程可以在任何时候确定火箭的位置。GyD.F4y2Ba

函数的导数GyD.F4y2Ba $x \ sin（x ^ 2）+1GyD.F4y2Ba$在不同的观点GyD.F4y2Ba^{［1］GyD.F4y2Ba}

微分方程经常出现在各种上下文中。GyD.F4y2Ba

假设火箭有质量GyD.F4y2Ba $毫克yD.F4y2Ba$下降使它经历了力量的力量GyD.F4y2Ba $毫克GyD.F4y2Ba$由于重力，并且假设它经历了与其速度成比例的拖曳力GyD.F4y2Ba $BV.GyD.F4y2Ba$，常数GyD.F4y2Ba $B.GyD.F4y2Ba$．然后,GyD.F4y2Ba牛顿的第二法GyD.F4y2Ba告诉我们，如果GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$是加速，GyD.F4y2Ba

$f = ma = mg-bv \意味着\ frac {dv} {dt} = g- \ frac {b} {m} v，GyD.F4y2Ba$

这是一个微分方程GyD.F4y2Ba $V.GyD.F4y2Ba$．这是一个GyD.F4y2Ba可分离变量的微分方程GyD.F4y2Ba，它有解决方案GyD.F4y2Ba

$v = \ dfrac {mg} {b} \离开(单电子^ {bt / m} \右),GyD.F4y2Ba$

现在我们可以融合时间来找到这个职位，GyD.F4y2Ba $x（t）GyD.F4y2Ba$， 作为GyD.F4y2Ba

$x (t) = \ dfrac {mg} {b} t + \ dfrac {m ^ 2 g} {b} ^ 2 e ^ {bt / m} + C,GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $CGyD.F4y2Ba$取决于初始位置的常数GyD.F4y2Ba $（X_0）GyD.F4y2Ba$火箭，即GyD.F4y2Ba

$c = x_0- \ dfrac {m ^ 2g} {b ^ 2}。GyD.F4y2Ba$

在生物学中，我们通常有一个种群GyD.F4y2Ba $P.GyD.F4y2Ba$以与细菌数量成比例的速率生长的细菌，因为有更多的细菌，正在产生更多细菌。这意味着GyD.F4y2Ba

$\压裂{dP} {dt} = kP,GyD.F4y2Ba$

这是另一个GyD.F4y2Ba可分离变量的微分方程GyD.F4y2Ba用解决方案GyD.F4y2Ba

$P = P_0e ^ {kt},GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $P_0.GyD.F4y2Ba$是殖民地的初始规模。GyD.F4y2Ba

许多化学反应在进行过程中由于反应物的消耗而减慢。例如，反应物浓度的速率GyD.F4y2Ba $一种GyD.F4y2Ba$，表示GyD.F4y2Ba $(一)GyD.F4y2Ba$，降低往往与反应物的量成比例，即，当反应物较少时，反应减速。这给出了方程式GyD.F4y2Ba

$\压裂{d[一]}{dt} = - k(一个),GyD.F4y2Ba$

出现负号是因为速率在减小。这是另一个可分离变量方程，它有解GyD.F4y2Ba

$[a] = [a] _0e ^ { - kt}，GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $[a] _0GyD.F4y2Ba$是初始浓度。GyD.F4y2Ba

为了解微分方程，将它们归类到可以用类似技术解出的类别中是很有帮助的，这是用各种描述它们的词来完成的。GyD.F4y2Ba

一个GyD.F4y2Ba普通的GyD.F4y2Ba微分方程是一个涉及只有一个变量的衍生物，而aGyD.F4y2Ba部分的GyD.F4y2Ba微分方程是涉及关于多个变量的衍生物的等式。这些通常缩写为ode和PDE。GyD.F4y2Ba

微分方程GyD.F4y2Ba $f'（x）+ x ^ 2f（x）= f''（x）GyD.F4y2Ba$是普通的，而微分方程GyD.F4y2Ba $\ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y ^ 2} = xyGyD.F4y2Ba$是一个偏微分方程。GyD.F4y2Ba

这GyD.F4y2Ba命令GyD.F4y2Ba微分方程的最高阶导数。GyD.F4y2Ba

微分方程GyD.F4y2Ba $f'（x）+ x ^ 2f（x）= f''（x）GyD.F4y2Ba$是二级，因为它包含一个GyD.F4y2Ba $f''（x）GyD.F4y2Ba$术语，而微分方程GyD.F4y2Ba $\frac{partial f}{partial x}+\frac{partial f}{partial y}=xyGyD.F4y2Ba$是一阶的，因为它只包含一阶导数。GyD.F4y2Ba

微分方程是GyD.F4y2Ba线性GyD.F4y2Ba如果它只涉及GyD.F4y2Ba线性组合GyD.F4y2Ba未知函数的导数(与多项式相反)，或者非线性的。GyD.F4y2Ba

微分方程GyD.F4y2Ba $f'（x）+ x ^ 2f（x）= f''（x）GyD.F4y2Ba$是线性的,因为GyD.F4y2Ba $f'（x）-f''（x）GyD.F4y2Ba$是线性组合吗GyD.F4y2Ba $FGyD.F4y2Ba$及其衍生物和微分方程GyD.F4y2Ba $\ frac {\ partial f} {\ partial x} + \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y ^ 2} = xyGyD.F4y2Ba$是线性的。但是，等式GyD.F4y2Ba $f'（x）f（x）+ x ^ 2 = f''（x）GyD.F4y2Ba$是非线性的，因为GyD.F4y2Ba $f'（x）f（x）GyD.F4y2Ba$是一个非线性术语。GyD.F4y2Ba

任意微分方程通常很难解决。然而，当微分方程采取几种形式之一时，它们可以完全解决：GyD.F4y2Ba

• 可分离的微分方程GyD.F4y2Ba $\压裂{dy} {dx} = f (x) g (y)GyD.F4y2Ba$
• 一阶线性微分方程GyD.F4y2Ba $y ' + p (x) y = (x)GyD.F4y2Ba$
• 简单的谐波运动GyD.F4y2Ba
  $V \frac{dv}{dx} = - (^2 xGyD.F4y2Ba$
• 具有恒定系数的均匀线性微分方程GyD.F4y2Ba $a_ny ^ {（n）} + \ cdots + a_1y'+ a_0y = 0GyD.F4y2Ba$
• Bernoulli的等式GyD.F4y2Ba $Y'+ P（x）y = q（x）y ^ nGyD.F4y2Ba$
• 物流差动方程GyD.F4y2Ba $f'（x）= r \ left（1- \ frac {f（x）} {k} \右）f（x）GyD.F4y2Ba$
• 线性微分方程系统GyD.F4y2Ba $\ begin {对齐} f_1'（x）＆= a_ {11} f_1（x）+ \ cdots + a_ {1n} f_n（x）\\ f_2'（x）＆= a_ {21} f_1（x）+\ cdots + a_ {2n} f_n（x）\\＆vdots \\ f_n'（x）＆= a_ {n1} f_1（x）+ \ cdots + a_ {nn} f_n（x）\\ \ neg {对齐}GyD.F4y2Ba$

除了上面提到的形式，在大多数情况下，微分方程不能精确求解。大多数情况下，微分方程是用数值逼近来求解的，比如GyD.F4y2Ba欧拉的方法GyD.F4y2Ba和GyD.F4y2Ba龙格-库塔方法GyD.F4y2Ba．在这些情况下，通过计算机模拟往往可以最好地理解其解，用模拟服从该方程的系统行为的计算问题代替求解微分方程的数学问题。GyD.F4y2Ba

一个维度的热方程是GyD.F4y2Ba $u_t = \ alpha u_ {xx}GyD.F4y2Ba$， 在哪里GyD.F4y2Ba $u (x, tGyD.F4y2Ba$）在时间给出热量GyD.F4y2Ba $T.GyD.F4y2Ba$和位置GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$,GyD.F4y2Ba $\αGyD.F4y2Ba$是一个常数。该方程是相对棘手的，因此而不是解决它，我们可以尝试近似函数GyD.F4y2Ba $u（x，t）GyD.F4y2Ba$基于微分方程。这使我们能够理解，例如，即使我们无法解决涉及的微分方程，热量流过热量的杆。GyD.F4y2Ba

不幸的是，存在一些无法解决的微分方程，因此关于微分方程的最重要问题之一是我们可以找到解决方案，以及这些解决方案是唯一的。关于这的一个非常重要的结果是GyD.F4y2BaPicard-Lindelof.GyD.F4y2Ba定理，它表示表单的微分方程GyD.F4y2Ba $y'= f（y）GyD.F4y2Ba$具有独特的解决方案，只要某些条件是唯一的GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$得到满足。但是，但是，确定存在和唯一性很难，这么多，所以其中一个GyD.F4y2Ba年奖金问题GyD.F4y2Ba关注确定解决方案的存在和唯一性GyD.F4y2Ban - s方程GyD.F4y2Ba，这是模拟流体流动的微分方程。GyD.F4y2Ba

1. 迪诺，。，＆lfahlberg，。GyD.F4y2Bafunction_tangents_annimation.GyD.F4y2Ba．2016年9月7日，从GyD.F4y2Bahttps://en.wikipedia.org/wiki/file :tangent_function_animation.gif.GyD.F4y2Ba