逻辑微分方程
Logistic方程的求解
人口增长建模
Logistic函数最早是在人口增长的背景下研究的指数模型在经过相当长的时间后失败。得到的微分方程 可以看作是添加了修正因子的结果吗 对模型;如果没有这个因子,微分方程将是 ,它有一个指数解。
时间过得不多,而且 是小的,这个修正项实际上是零,人口几乎呈指数增长,这与经验证据大致一致。然而,随着时间的推移,修正项变得越来越重要。从实际的角度来看,这是有道理的:人口多必然会争夺资源(如食物、生活空间等),而人口少通常不受这些因素的限制,可以照常呈指数级增长。
在这种情况下,这两个参数有物理解释:
- 是增长速度在缺乏有限资源的情况下;例如,如果有无限的资源可用,人口将以指数速度增长。
- 是承载能力,或生态系统能够无限期维持的最大种群。
为了近似曲线,这两个值都应该预先确定,但它们不一定容易计算;例如,人类的承载能力是未知的(但怀疑略低于100亿)。这些对于先验了解很重要,因为试图拟合已知数据可能会导致灾难性的结果:
上面显示了将1790-1930年的美国人口拟合到logistic函数的结果。在那些年里,模型工作得很好,但之后logistic函数大大低估了实际人口。这是因为假设模型使用 (百万),随着时间的推移,它会逐渐接近这个值,但我们今天知道,人口完全有能力超过这个值。
也有可能承载能力本身取决于时间,在这种情况下,微分方程就变成 大多数情况下,这种情况被认为是 是周期,特别是在季节的背景下:例如,在冬季,当可用的资源较少时,承载力可能会显著降低。可以证明,在这种情况下, 也是周期的吗 .
其他应用程序
逻辑微分方程在其他领域也很有用,因为它们通常比指数方程提供更实用的模型。例如,它们可以用来为创新建模:在创新的早期阶段,随着创新努力获得认可,几乎没有观察到增长。后来,大量的研究和开发完成,行业大致呈指数级增长。最后,在市场上有多个竞争对手,并且已经完成了“最简单”的改进的后期,创新速度明显放缓,并接近某些极限值。
类似的分析可以应用于语言的变化:例如,一个新词在它的生命周期开始时,随着它开始被采用,它的使用在它的生命周期开始时增长很小,然后随着它的曝光率开始呈指数级增长,最后随着它被普遍采用而放缓。
这种从缓慢增长开始,扩展到指数增长,然后放缓到对数增长的现象是由逻辑分布模拟的。因此,任何经历这种增长的数量都可以在逻辑上建模;这些领域包括医学、机器学习、化学和语言学。