考虑一个非常简单的例子,一个函数gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba的gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba”gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.该微分方程可以精确求解,且具有解gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaegydF4y2BaxgydF4y2Ba的确切值gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba是gydF4y2Ba
egydF4y2Ba≈gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba7gydF4y2Ba1gydF4y2Ba8gydF4y2Ba.用欧拉方法进行近似gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba步长gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba然后用gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,并比较两种近似。gydF4y2Ba
我们有gydF4y2Ba
(gydF4y2BaxgydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.用欧拉步长法gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们计算gydF4y2Ba
(gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
所以gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≈gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba5gydF4y2Ba.另一方面,用欧拉步长法gydF4y2Ba
hgydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,我们发现gydF4y2Ba
(gydF4y2BaxgydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba5gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba7gydF4y2Ba2gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba6gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba7gydF4y2Ba2gydF4y2Ba8gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.gydF4y2Ba7gydF4y2Ba2gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba8gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba0gydF4y2Ba7gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba8gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba0gydF4y2Ba7gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba6gydF4y2Ba+gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba2gydF4y2Ba⋅gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba0gydF4y2Ba7gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba8gydF4y2Ba8gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
给gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba≈gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba4gydF4y2Ba8gydF4y2Ba8gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba这是一个更好的估计。下面是两项估计数的直观比较。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba