简谐运动gydF4y2Ba(SHM)是物体在受到与其从平均位置或平衡位置的位移成正比的力并趋向于向平均位置加速时所进行的一种特殊的振荡运动。最简单的例子是弹簧块系统。gydF4y2Ba
由此导出了SHM存在的必要条件gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba加速度gydF4y2Ba)gydF4y2Ba∝gydF4y2Ba(gydF4y2Ba−gydF4y2Ba位移gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
单孔位微吹气扰动方程gydF4y2Ba
我们知道SHM的必要条件是gydF4y2Ba
FgydF4y2Ba∝gydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba即。gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∝gydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是加速度,gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba是质量和gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba为从平均位置的位移。这给了我们gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba公斤ydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba是一个比例常数。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba公斤ydF4y2Ba=gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba然后gydF4y2Ba
vgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba∫gydF4y2BavgydF4y2BadgydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba∫gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2Ba∫gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba
)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
dgydF4y2BaxgydF4y2Ba⇒gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba⎝gydF4y2Ba⎛gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba
xgydF4y2Ba⎠gydF4y2Ba⎞gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba∫gydF4y2BaxgydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BacgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
dgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2Ba∫gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaωgydF4y2Ba∫gydF4y2BadgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba2gydF4y2BacgydF4y2Ba
=gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,那么这是SHM的振幅。因此,gydF4y2Ba
罪gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba⇒gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
这意味着上面的方程是SHM的方程。gydF4y2Ba
速度方程gydF4y2Ba
vgydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2BaωgydF4y2Ba因为gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba=gydF4y2Ba±gydF4y2BaωgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba
.gydF4y2Ba
加速度方程gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba一个gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba罪gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
与SHM相关的术语gydF4y2Ba
- 振幅gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)gydF4y2Ba:是物体到平均位置的最大距离。gydF4y2Ba
- 角频率gydF4y2Ba
(gydF4y2BaωgydF4y2Ba)gydF4y2Ba:我将在我们研究SHM的相图之后定义它。gydF4y2Ba
- 运动频率:是线性频率,即每秒钟振荡的次数。gydF4y2Ba
- 相位常数gydF4y2Ba
(gydF4y2BaϕgydF4y2Ba)gydF4y2Ba:它告诉我们物体的初始位置。gydF4y2Ba
相量的单孔位微吹气扰动gydF4y2Ba
我们观察到,当一个质点在其直径上作圆周运动时,其在直径上的运动为SHM。SHM的圆周运动表示形式为相图或相量,其角速度为gydF4y2Ba
ωgydF4y2Ba.gydF4y2Ba
..gydF4y2Ba
上面是相量的一个例子,其中gydF4y2Ba
ϕgydF4y2Ba是初始相位角或相位常数。gydF4y2Ba
看看下面的例子:gydF4y2Ba
单孔位微吹气扰动gydF4y2Ba
单孔位微吹气扰动的能量gydF4y2Ba
动能gydF4y2Ba
我们知道gydF4y2Ba
KgydF4y2BaEgydF4y2BaKgydF4y2BaEgydF4y2Ba单孔位微吹气扰动gydF4y2BaKgydF4y2BaEgydF4y2Ba单孔位微吹气扰动gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba单孔位微吹气扰动gydF4y2Ba2gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba2gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba因为gydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2BaωgydF4y2BatgydF4y2Ba+gydF4y2BaϕgydF4y2Ba)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba2gydF4y2Ba−gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
由于我们在平均位置有最大动能(因此没有势能),而且能量守恒,我们有最大动能等于总能量。gydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba
(总能量)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2BavgydF4y2Ba马克斯gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
最大速度可由上述公式计算,因此gydF4y2Ba
(总能量)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba2gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaωgydF4y2Ba)gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
请注意gydF4y2Ba:平均动能为gydF4y2Ba
4gydF4y2Ba1gydF4y2Ba米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba2gydF4y2BaωgydF4y2Ba2gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
势能gydF4y2Ba
(势能)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(总能量)gydF4y2Ba−gydF4y2Ba(动能)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
请注意gydF4y2Ba:平均位置的势能不一定为零,但在平均位置的势能总是最小的。gydF4y2Ba
下图显示了能量的变化。注意总能量是恒定的。gydF4y2Ba
..gydF4y2Ba